BCE Maths approfondies EDHEC ECS 2013Sujet et corrigé

Epreuve de maths approfondies - ECS 2013

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Présentation du sujet

Séries numériques, hyperplans stables, loi limite d'un maximum de variables aléatoires et équivalent de la probabilité d'égalité de deux lois de Poisson

Le sujet comprend trois exercices indépendants et un problème. Le premier exercice étudie la convergence d'une série construite à partir des sommes partielles d'une suite dont l'inverse est sommable, avec une illustration en Pascal. Le deuxième démontre l'existence d'un hyperplan stable pour un endomorphisme d'un espace euclidien possédant une valeur propre réelle. Le troisième étudie la convergence en loi du maximum renormalisé d'une suite de variables aléatoires indépendantes.

1Exercice 1 : convergence d'une série de sommes partiellesÉtudier, sur deux exemples puis dans le cas général via l'inégalité de Cauchy-Schwarz, la convergence de la série de terme général n/(a1+...+an) à partir de la convergence de la série des inverses des an.
2Exercice 2 : existence d'un hyperplan stableDémontrer, à partir d'exemples en dimension 3 puis dans le cas général d'un espace euclidien, l'existence d'un hyperplan stable par un endomorphisme possédant une valeur propre réelle, à l'aide de l'endomorphisme adjoint.
3Exercice 3 : loi limite du maximum renormaliséDéterminer la fonction de répartition du maximum de n variables aléatoires indépendantes de même densité, puis établir la convergence en loi de ce maximum renormalisé et identifier la loi limite.
4Problème : équivalent de la probabilité d'égalité de deux lois de PoissonÉtudier une suite d'intégrales de Wallis puis une intégrale à paramètre liée à une fonction de Bessel, pour en déduire un équivalent, quand le paramètre tend vers l'infini, de la probabilité que deux variables de Poisson indépendantes et de même paramètre prennent la même valeur.

Description

Annale de maths approfondies BCE EDHEC pour la filiere ECS, session 2013.

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Les candidats sont invités à encadrer, dans la mesure du possible, les résultats de leurs calculs.
Ils ne doivent faire usage d'aucun document. Seule l'utilisation d'une règle graduée est autorisée.
L'utilisation de toute calculatrice et de tout matériel électronique est interdite.
Si au cours de l'épreuve, un candidat repère ce qui lui semble être une erreur d'énoncé, il la signalera sur sa copie et poursuivra sa composition en expliquant les raisons des initiatives qu'il sera amené à prendre.

Exercice 1

Soit

(a_n)_(n \in ℕ^*)

une suite de réels strictement positifs telle que la série de terme général

1/(a_n)

converge.
Le but de cet exercice est de prouver que la série de terme général

u_n = n/(a_1 + a_2 + \dots + a_n)

converge également et que, de plus, on a :

\sum_(n = 1)^(+ \infty)u_n \leq 2\sum_(n = 1)^(+ \infty)1/(a_n)

Étude d'un exemple : pour tout entier naturel $n$ non nul, on pose $a_n = n(n + 1)$ .
a) Vérifier que $1/(a_n) = 1/n - 1/(n + 1)$ puis en déduire que la série de terme général $1/(a_n)$ converge et donner sa somme.
b) Pour tout entier naturel non nul, déterminer $u_n$ en fonction de $n$ .
c) Établir la convergence de la série de terme général $u_n$ et donner sa somme, puis en déduire l'inégalité demandée.
Étude d'un deuxième exemple.

On suppose, dans cette question, que, pour tout entier naturel

n

non nul, on a :

a_n = n!

.
a) Écrire une déclaration de fonction Pascal dont l'en-tête est function fact (

n

: integer) : integer ; et qui renvoie

n!

à l'appel de fact

(n)

.
b) Écrire le corps principal d'un programme Pascal, utilisant cette fonction, et permettant de calculer et d'afficher la valeur de

u_n

lorsque la valeur de

n

est entrée au clavier par l'utilisateur.
c) Établir la convergence de la série de terme général

1/(a_n)

.
d) Montrer que, pour tout entier naturel

n

non nul, on a :

u_n \leq 1/((n - 1)!)

.
e) En déduire que la série de terme général

u_n

converge et que l'on a :

\sum_(n = 1)^(+ \infty)u_n \leq 2\sum_(n = 1)^(+ \infty)1/(a_n)

On revient au cas général.
3) Montrer, grâce à l'inégalité de Cauchy-Schwarz, que :

\foralln \in ℕ^*, (1 + 2 + \dots + n)^2 \leq (a_1 + a_2 + \dots + a_n)(1/(a_1) + 4/(a_2) + \dots + (n^2)/(a_n))

a) Utiliser le résultat précédent pour établir que :

\foralln \in ℕ^*, (2n + 1)/(a_1 + a_2 + \dots + a_n) \leq 4(1/(n^2) - 1/((n + 1)^2))\sum_(k = 1)^n(k^2)/(a_k)

b) En déduire, par sommation, que :

\forallN \in ℕ^*, \sum_(n = 1)^N(2n + 1)/(a_1 + a_2 + \dots + a_n) \leq 4\sum_(k = 1)^N 1/(a_k)

.
c) Montrer enfin que la série de terme général

(2n + 1)/(a_1 + a_2 + \dots + a_n)

converge puis établir le résultat demandé.

Exercice 2

Dans tout l'exercice,

n

désigne un entier naturel supérieur ou égal à 2 . On désigne par

E

un espace vectoriel de dimension

n

et on rappelle qu'un hyperplan de

E

est un sous-espace vectoriel de

E

de dimension

n - 1

. Pour finir, on désigne par Id l'endomorphisme identité de

E

Étude d'un premier exemple ( $n = 3$ et $E = ℝ^3$ ).

On considère, dans cette question seulement, l'endomorphisme

f

ℝ^3

dont la matrice dans la base canonique est

M = (0, 1, 2; 0, 0, 3; 0, 0, 0)

. Montrer que

lmf

est un hyperplan de

ℝ^3

et qu'il est stable par

f

.
2) Étude d'un deuxième exemple (

n = 3

E = ℝ^3

On considère, dans cette question seulement, l'endomorphisme

f

ℝ^3

dont la matrice dans la base canonique est

M = (2, 1, 1; 1, 2, 1; 1, 1, 2)

.
a) Déterminer les valeurs propres de

f

.
b) Montrer que

Ker(f - Id)

est un hyperplan de

ℝ^3

et qu'il est stable par

f

On suppose dans la suite que

E

est un espace euclidien de dimension

n

et on note

ℬ = (e_1, e_2, \dots, e_n)

une base orthonormale de

E

.
Le produit scalaire des vecteurs

x

y

E

est noté

⟨x, y⟩

et la norme de

x

est notée

‖x‖

.
On considère un endomorphisme

f

E

qui possède au moins une valeur propre

λ

réelle et on se propose de démontrer qu'il existe un hyperplan de

E

stable par

f

.
3) On note

f^*

l'endomorphisme de

E

dont la matrice dans la base

B

est la transposée de la matrice de

f

dans la base

B

.
a) Vérifier que l'on a :

\forall(x, y) \in E \times E, ⟨f(x), y⟩ = ⟨x, f^*(y)⟩

.
b) Établir que

f^*

est l'unique endomorphisme de

E

vérifiant :

\forall(x, y) \in E \times E, ⟨f(x), y⟩ = ⟨x, f^*(y)⟩

a) Montrer que $λ$ est valeur propre de $f^*$ .
b) On considère un vecteur propre $u$ de $f^*$ associé à la valeur propre $λ$ .

Montrer que

(vect(u))^⊥

est un hyperplan de

E

et qu'il est stable par

f

Exercice 3

On considère la fonction $f$ définie sur $ℝ$ par: $f(x) = {1/(2x^2), si x ≤ − 1 ou x ≥ 1; 0, sinon$ .

Montrer que

f

peut être considérée comme une fonction densité de probabilité.
Dans la suite, on considère une suite

(X_k)_(k \in ℕ^*)

de variables aléatoires, toutes définies sur le même espace probabilisé (

Ω, A, P

), mutuellement indépendantes et admettant toutes

f

comme densité.
De plus, pour tout entier naturel

n

non nul, on pose

S_n = Sup(X_1, X_2, \dots, X_n)

Y_n = (S_n)/n

. On admet que

S_n

Y_n

sont des variables aléatoires à densité définies, elles aussi, sur (

Ω, A, P

).
2) Déterminer la fonction de répartition, notée

F

, commune aux variables aléatoires

X_k

.
3) On note

G_n

la fonction de répartition de la variable aléatoire

Y_n

. Déterminer explicitement

G_n(x)

en fonction de

n

x

.
4) a) Montrer que, pour tout réel

x

négatif ou nul, on a

G_n(x) \leq 1/(2^n)

.
b) Justifier que, pour tout réel

x

strictement positif, il existe un entier naturel

n_0

non nul, tel que, pour tout entier

n

supérieur ou égal à

n_0

, on a

x > 1/n

.
En déduire que :

\forallx > 0, \existsn_0 \in ℕ^*, \foralln \geq n_0, G_n(x) = (1 - 1/(2nx))^n

.
5) a) Déterminer, pour tout réel

x

, la limite de

G_n(x)

lorsque

n

tend vers

+ \infty

. On note

G(x)

cette limite.
b) Montrer que la fonction

G

ainsi définie est la fonction de répartition d'une variable aléatoire à densité.
c) En déduire que la suite

(Y_n)_(n \geq 1)

converge en loi vers une variable aléatoire

Y

dont la fonction de répartition est

G

.
6) Vérifier que la variable aléatoire

1/Y

suit une loi exponentielle dont on précisera le paramètre.

Problème

On considère deux variables aléatoires

X

Y

définies sur un espace probabilisé (

Ω, A, P

), indépendantes, et suivant toutes les deux la loi de Poisson de paramètre

λ

, où

λ

désigne un réel strictement positif. On se propose de déterminer un équivalent de la probabilité

P(X = Y)

lorsque

λ

est au voisinage de

+ \infty

Partie 1

Pour tout entier naturel

n

, on pose

u_n = \int_0^(π/2)(sint)^n dt

a) Calculer $u_0$ et $u_1$ .
b) Montrer que la suite ( $u_n$ ) est décroissante.
c) Établir que : $\foralln \in ℕ, u_n > 0$ . En déduire que la suite ( $u_n$ ) est convergente.
a) Montrer, grâce à une intégration par parties, que : $\foralln \in ℕ, (n + 2)u_(n + 2) = (n + 1)u_n$ .
b) En déduire que : $\foralln \in ℕ, u_(2n) = ((2n)!)/((2^n \times n!)^2) \times π/2$ .
c) Montrer que: $\foralln \in ℕ, (n + 1)u_(n + 1)u_n = π/2$ .
d) En déduire la valeur de $u_(2n + 1)$ .
a) Calculer $lim_(n \to + \infty)(u_(n + 2))/(u_n)$ .
b) En déduire, en utilisant les variations de $(u_n)$ , que : $lim_(n \to + \infty)(u_(n + 1))/(u_n) = 1$ .
c) Montrer enfin que l'on a : $u_n \sim \sqrt(π/(2n))$ .

Partie 2

Établir, pour tout réel $x$ , la convergence de l'intégrale $I(x) = 1/π\int_(- 1)^1(e^(- tx))/(\sqrt(1 - t^2))dt$ .

Dans la suite de cette partie, x désigne un réel strictement positif.

a) Montrer qu'il existe une constante $M$ telle que : $0 \leq 1/π\int_0^1(e^(- tx))/(\sqrt(1 - t^2))dt \leq M$ .
b) Montrer que : $\forallu \in [0, 1/2], 1 \leq 1/(\sqrt(1 - u)) \leq 1 + u$ .
a) En se référant à une loi normale, donner les valeurs de $\int_0^(+ \infty)e^(- t^2)dt$ et $\int_0^(+ \infty)t^2 e^(- t^2)dt$ .
b) Utiliser le changement de variable $u = \sqrt(tx)$ pour montrer que : $\int_0^1(e^(- cx))/(\sqrtt)dt \sim \sqrt(π/x)$ .
c) Montrer de la même façon que : $\int_0^1 e^(- tx)\sqrttdt \sim (\sqrtπ)/(2x\sqrtx)$ .
a) Montrer, grâce au changement de variable $u = 1 + t$ , que :

\int_(- 1)^0(e^(- tx))/(\sqrt(1 - t^2))dt = (e^x)/(\sqrt2)\int_0^1(e^(- ux))/(\sqrt(u(1 - u/2)))du

b) Utiliser le résultat de la question 2b) pour en déduire que :

I(x) \sim _(+ \infty)(e^x)/(\sqrt(2πx))

Partie 3

Exprimer comme somme d'une série la probabilité $P(X = Y)$ .
a) On désigne par $t$ un réel de $[ - 1, 1]$ et par $x$ un réel strictement positif.

Montrer que, pour tout

u

compris entre 0 et

- tx

, on a:

e^u \leq e^x

. Écrire ensuite l'inégalité de TaylorLagrange à l'ordre

2n

pour la fonction

u\mapsto\toe^u

entre 0 et

- tx

.
b) Montrer que:

\forallk \in ℕ, \int_0^1(t^k)/(\sqrt(1 - t^2))dt = u_k

.
c) Déduire des deux questions précédentes que :

|I(x) - \sum_(k = 0)^n(x^(2k))/((k!)^2 2^(2k))| \leq (2x^(2n + 1)e^x)/(π(2n + 1)!)u_(2n + 1)

.
d) Montrer enfin que :

\forallx > 0, I(x) = \sum_(k = 0)^(+ \infty)(x^(2k))/((k!)^2 2^(2k))

.
3) Établir que :

P(X = Y) \sim _(λ \to + \infty)1/(2\sqrt(πλ))

Questions fréquentes

4 questions

Sur quels chapitres porte ce sujet de maths approfondies EDHEC ECS 2013 ?

Il porte sur les séries numériques, la réduction des endomorphismes en dimension finie, les variables aléatoires à densité et leur convergence en loi, ainsi que sur les intégrales à paramètre liées à la loi de Poisson.

Les exercices de ce sujet sont-ils indépendants ?

Oui, les trois exercices sont indépendants entre eux. Le problème, lui, est organisé en trois parties qui s'enchaînent.

Ce sujet demande-t-il de programmer en Pascal ?

Oui, l'exercice 1 demande d'écrire une fonction et un programme en Pascal pour calculer un terme de la suite étudiée.

Quel est le résultat final du problème ?

Le problème établit que la probabilité que deux variables de Poisson indépendantes de paramètre lambda soient égales est équivalente à 1/(2*racine(pi*lambda)) quand lambda tend vers l'infini.

Pas de description pour le moment

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