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BCE Maths approfondies emlyon ECS 2011

Epreuve de maths approfondies - ECS 2011

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Probabilités continuesSuites et séries de fonctionsSéries entières (et Fourier)Algèbre linéaireIntégrales généraliséesCalcul différentiel et fonctions à plusieurs variables
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Banque
BCE
Année
2011
Filière
ECS
Matière
Mathématiques
Annales BCE ECS MathématiquesBCE ECS 2011ECS MathématiquesMathématiques 2011

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Description

Annale de maths approfondies BCE emlyon pour la filiere ECS, session 2011.

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Concepteur : EMLYON Business School

è épreuve (option scientifique)
MATHÉMATIQUES

Lundi 2 mai 2011 de 8 heures à 12 heures

La présentation, la lisibilité, l'orthographe, la qualité de la rédaction, la clarté et la précision des raisonnements entreront pour une part importante dans l'appréciation des copies.
Les candidats sont invités à encadrer dans la mesure du possible les résultats de leurs calculs.
Ils ne doivent faire usage d'aucun document : l'utilisation de toute calculatrice et de tout matériel électronique est interdite. Seule l'utilisation d'une règle graduée est autorisée.
Si au cours de l'épreuve, un candidat repère ce qui lui semble être une erreur d'énoncé, il la signalera sur sa copie et poursuivra sa composition en expliquant les raisons des initiatives qu'il sera amené à prendre.

Partie I : Somme de variables aléatoires suivant la loi exponentielle de paramètre 1

  1. Rappeler une densité, l'espérance et la variance d'une variable aléatoire suivant la loi exponentielle de paramètre égal à 1 .
On considère une suite de variables aléatoires réelles mutuellement indépendantes, qui suivent la loi exponentielle de paramètre égal à 1 .
Pour tout , on note la variable aléatoire définie par .
2. a. Pour tout , donner l'espérance et la variance de la variable aléatoire .
b. Pour tout , rappeler une densité de .
3. Soit une variable aléatoire suivant la loi uniforme sur l'intervalle . Montrer que la variable aléatoire suit une loi exponentielle dont on déterminera le paramètre.
4. Écrire un programme PASCAL, utilisant le générateur aléatoire PASCAL, simulant la variable aléatoire , l'entier étant entré par l'utilisateur.
5. Pour tout , on note la variable aléatoire égale à 0 si l'événement est réalisé, et, sinon, au plus grand entier tel que l'événement ( ) est réalisé.
Ainsi, pour tout , pour tout , l'événement ( ) est égal à l'événement .
Écrire un programme PASCAL, utilisant le générateur aléatoire PASCAL, simulant la variable aléatoire , le réel étant entré par l'utilisateur.

Partie II : Polynômes de Laguerre

On considère, pour tout , les applications
où désigne la dérivée -ième de .
6. Calculer, pour tout .
7. Montrer :
  1. En déduire que, pour tout est une fonction polynomiale dont on précisera le degré et le coefficient du terme de plus haut degré.
  2. Montrer :
  1. En déduire :
  1. Montrer :
  1. En déduire:
  1. Établir :

Partie III : Produit scalaire, orthogonalité, endomorphisme

On note le -espace vectoriel des applications polynomiales de dans .
Soit fixé. On note le sous-espace vectoriel de formé des applications polynomiales de dans de degré inférieur ou égal à .
14. Montrer que, pour tout , l'intégrale converge.
On considère l'application
  1. Montrer que < ., . > est un produit scalaire sur .
On considère, pour tout , l'application définie par :
  1. Vérifier que est un endomorphisme du -espace vectoriel .
  2. Montrer que, pour tout , l'application de dans est la dérivée de l'application de dans .
  3. En déduire, pour tout :
  1. Établir : .
  2. En utilisant le résultat de la question 13, calculer, pour tout .
  3. En déduire que la famille est orthogonale.
  4. Montrer :
On note l'endomorphisme induit par sur , c'est-à-dire l'endomorphisme de défini par :
  1. Montrer que est une base de .
  2. Donner la matrice de dans la base de .
  3. Est-ce que est diagonalisable ? Est-ce que est bijectif ?

Partie IV : Nature d'une série de maximums

On considère, pour tout , l'application
  1. Montrer que, pour tout admet un maximum, noté , et calculer .
On note, pour tout et .
27. Former le développement limité de à l'ordre 2 lorsque l'entier tend vers l'infini.
28. En déduire la nature de la série .
29. Établir que la suite converge et que sa limite est strictement positive.
30. Quelle est la nature de la série ?

Partie V : Étude d'extremum local pour une fonction de deux variables réelles

On considère les applications
  1. Montrer que est de classe sur l'ouvert et exprimer, pour tout , les dérivées partielles premières et en fonction de et .
  2. Établir que, pour tout , l'équation , d'inconnue , admet au plus une solution distincte de .
  3. En déduire que, pour tout est un point critique de si et seulement si :
  1. Montrer que admet un point critique et un seul, noté , et montrer que .
  2. Montrer : et .
  3. Montrer que admet un extremum local, et un seul. Déterminer la nature de cet extremum.

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