BCE Maths approfondies emlyon ECG 2023Sujet et corrigé

Epreuve de maths approfondies - ECG 2023

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Annale de maths approfondies BCE emlyon pour la filiere ECG, session 2023.

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L'énoncé complet, avec les formules et les figures, sans ouvrir le PDF.

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Conception : emlyon business school

MATHEMATIQUES APPROFONDIES

FILIÈRE ÉCONOMIQUE ET COMMERCIALE

VOIE GENERALE

Mercredi 26 avril 2023, de 14 h. à 18 h.

La présentation, la lisibilité, l'orthographe, la qualité de la rédaction, la clarté et la précision des raisonnements entreront pour une part importante dans l'appréciation des copies.
Les candidats sont invités à encadrer dans la mesure du possible les résultats de leurs calculs.
Aucun document n'est autorisé. L'utilisation de toute calculatrice et de tout matériel électronique est interdite. Seule l'utilisation d'une règle graduée est autorisée.
Si au cours de l'épreuve, un candidat repère ce qui lui semble être une erreur d'énoncé, il la signalera sur sa copie et poursuivra sa composition en expliquant les raisons des initiatives qu'il sera amené à prendre.

Exercice 1

Somme d'une série

Dans cet exercice

x

désigne un élément de

]0, 1[

. Pour

n \in ℕ^*

, on pose

S_n = \sum_(k = 1)^n 1/k

a) Soit $k \in ℕ^*$ . Démontrer que l'on a : $1/(k + 1) ⩽ \int_k^(k + 1)1/t dt ⩽ 1/k$ .
b) Soit $n$ un entier supérieur ou égal à 2. Démontrer que : $S_n - 1 ⩽ \int_1^n(dt)/t ⩽ S_n - 1/n$ .
c) En déduire, pour tout entier $n$ supérieur ou égal à 2 , un encadrement de $S_n$ .
d) Démontrer que $S_n \sim _(+ \infty)lnn$ .

2. Informatique.

a) On considère la fonction suivante écrite en langage Python.

def rang(a):
    k=1
    s=1
    while s<a:
        k=k+1
        s=s+1/k
    return k

Expliquer ce que produit l'appel rang (50).
b) Le code suivant

from numpy import exp
exp (49)

renvoie:

1.9073465724950998e + 21

.
Expliquer rapidement ce que cela laisse penser si l'on fait l'appel rang(50).
3. a) Soient

n \in ℕ^*

t \in [0, x]

. Simplifier la somme

\sum_(k = 1)^n t^(k - 1)

.
b) En déduire que pour tout

n \in ℕ^*

on a :

\sum_(k = 1)^n(x^k)/k = - ln(1 - x) - \int_0^x(t^n)/(1 - t) dt

.
c) Démontrer que :

lim_(n \to + \infty)\int_0^x(t^n)/(1 - t) dt = 0

.
d) En déduire que la série

\sum_(k ⩾ 1)(x^k)/k

converge, de somme

\sum_(k = 1)^(+ \infty)(x^k)/k = - ln(1 - x)

Exercice 2

Des variables aléatoires

On considère une suite de variables aléatoires indépendantes

(X_k)_(k \in ℕ^*)

suivant toutes la loi uniforme sur

]0, 1[

et définies sur le même espace probabilisé (

Ω, A, P

).
Pour tout entier

n ⩾ 2

on pose :

Z_n = inf(X_1, \dots, X_n)

, c'est à dire que pour tout

ω \in Ω

on a :

Z_n(ω) = min(X_1(ω), X_2(ω), \dots, X_n(ω)).

On admet que

Z_n

est bien une variable aléatoire.

Soit $n ⩾ 2$ entier.
a) Démontrer que la fonction de répartition $F_n$ de $Z_n$ est définie par :

F_n(x) = {0, si x < 0; 1 − (1 − x)^n, si x ∈ [0, 1]; 1, si x > 1.

b) Justifier que la variable aléatoire

Z_n

est à densité.
c) Démontrer qu'une densité

f_n

Z_n

est donnée, pour

x

réel, par :

f_n(x) = {n(1 − x)^(n − 1), si x ∈ [0, 1]; 0, sinon.

Informatique. Compléter la fonction suivante en langage Python de manière que l'appel VarZ(10) simule la variable aléatoire $Z_(10)$ . On rappelle que, la fonction random() ayant été importée, l'appel random (3) renvoie un vecteur de trois coordonnées qui simulent des variables aléatoires indépendantes de loi uniforme sur $]0, 1[$ .

def VarZ(n):
    from numpy import min
    from numpy.random import random
    return ........

Étudier la convergence en loi de la suite de variables aléatoires $(Z_n)_(n ⩾ 2)$ .
Soit $n ⩾ 2$ entier. Lorsque $U$ est une variable aléatoire qui suit la loi uniforme sur $]0, 1[$ , indépendante des variables aléatoires $X_1, \dots, X_n$ , on admet que $Z_n - U$ est une variable aléatoire à densité $g_n$ donnée par :

g_n(x) = {1 − (− x)^n, pour x ∈ [ − 1, 0[; (1 − x)^n, pour x ∈ [0, 1]; 0, pour x ∈ ℝ∖[ − 1, 1].

On pose :

T_n = Z_n - X_n

.
a) Démontrer que

P(Z_n = X_n) = 1/n

On pourra considérer la variable aléatoire

Z_(n - 1) = inf(X_1, \dots, X_(n - 1))

.
b) La variable aléatoire

T_n

est-elle à densité?
c) Informatique. Écrire une fonction VarT en langage Python, d'argument n , qui simule la variable aléatoire

T_n

.
5. La figure 1 présente un histogramme de 2000 rectangles donnant la répartition de 20000 valeurs d'une simulation de la variable aléatoire

T_(500)

de la question 4 . La figure 2 est un zoom de la partie de droite de la figure 1.

Figure 1 - Répartition de 20000 valeurs prises par

T_(500)

Figure 2 - Zoom de la partie droite de la figure 1

a) La variable aléatoire

T_(500)

vous semble-t-elle discrète? Justifiez votre avis en une phrase.
b) Le rectangle le plus à droite de la figure 2 est-il cohérent avec le résultat de la question 4a ?

Problème

Formes linéaires sur un espace vectoriel de dimension finie

Dans tout le problème,

n

est un entier supérieur ou égal à 2 et

E

est un espace vectoriel de dimension finie

n

Notations et définition

On note $0_E$ le vecteur nul de $E$ .
Lorsque $F$ est un espace vectoriel on note $L(E, F)$ l'espace vectoriel des applications linéaires de $E$ dans $F$ .
Une forme linéaire sur $E$ est une application linéaire $φ : E \to ℝ$ .
On note, dans ce problème, $E^* = L(E, ℝ)$ l'espace vectoriel des formes linéaires sur $E$ .
Un hyperplan de $E$ est un sous-espace vectoriel de dimension $n - 1$ de l'espace vectoriel $E$ .

Lorsque

F

est un espace vectoriel de dimension finie, on admettra que la dimension de l'espace vectoriel

L(E, F)

est :

dimL(E, F) = dimE \times dimF.

On admettra aussi qu'une intersection de sous-espaces vectoriels de

E

est encore un sous-espace vectoriel de

E

. Enfin, on rappelle le théorème de la base incomplète : toute famille libre de

E

peut se compléter en une base de

E

Préliminaire

Justifier que les espaces vectoriels $E$ et $E^*$ ont la même dimension.
Soit $φ$ un élément de $E^*$ .
a) Quelles sont les dimensions possibles pour l'image $Imφ$ de $φ$ ?
b) En déduire que $φ$ est soit nulle, soit surjective.
c) On suppose que $φ$ n'est pas l'application nulle. Démontrer que ker $φ$ est un hyperplan de $E$ .

Partie I - Des exemples

3. Premier exemple

Dans cette question,

p

est un entier naturel non nul et

E

est l'espace vectoriel

ℝ_p[x]

des fonctions polynômes à coefficients réels de degré inférieur ou égal à

p

.
On considère l'application

g : E \to ℝ

définie par :

g(P) = \int_0^1 P(t)dt

.
a) Démontrer que

g

est un élément de

E^*

.
b) Quelle est la dimension du noyau de

g

?
c) Pour

k \in {1, \dots, p}

on considère la fonction polynôme

Q_k : x \mapsto x^k - 1/(k + 1)

Démontrer que la famille

(Q_1, \dots, Q_p)

est une base du noyau de

g

4. Second exemple

Dans cette question,

p

est un entier naturel non nul et

E

est l'espace vectoriel

ℝ_p[x]

des fonctions polynômes à coefficients réels de degré inférieur ou égal à

p

.
On considère l'application

f : E \to ℝ

définie par :

f(P) = P(0)

.
a) Démontrer que

f

est un élément de

E^*

.
b) Déterminer le noyau de

f

.
5. Dans cette question, on revient au cadre général.

Soient

f

g

deux éléments de

E^*

, non nuls, tels que ker

f \subset kerg

.
a) Démontrer que ker

f = kerg

.
b) Justifier de l'existence d'un élément

x_0

E

qui n'appartient pas au noyau de

f

.
c) Démontrer que

E = kerf \oplus vect(x_0)

, où vect

(x_0)

désigne le sous-espace vectoriel de

E

engendré par le vecteur

x_0

.
d) On pose

h = g(x_0)f - f(x_0)g

. Démontrer que

h

est nulle.
e) Que peut-on en conclure pour les formes linéaires

f

g

Partie II - Hyperplans et formes linéaires

On a vu à la question 2c que le noyau d'une forme linéaire non nulle est un hyperplan. Le but de cette question est de démontrer que tout hyperplan de $E$ est le noyau d'une forme linéaire non nulle. Soit $H$ un hyperplan de $E$ .
a) Soit ( $e_1, \dots, e_(n - 1)$ ) une base de $H$ . Justifier de l'existence d'un vecteur $e_n$ dans $E$ tel que $β = (e_1, \dots, e_n)$ soit une base de l'espace vectoriel $E$ .
b) Soit $φ$ l'élément de $L(E, ℝ)$ défini par :

φ(e_i) = {0, si i ∈ {1, …, n − 1}; 1, si i = n

Justifier que cette définition est correcte et démontrer que

kerφ = H

.
Dans la suite de cette partie, on considère un entier

p ⩾ 2

et une famille (

f_1, \dots, f_p

) de formes linéaires sur

E

, ainsi que l'application:

f = (E, ⟶, ℝ^p; x, \mapsto, (f_1(x), \dots, f_p(x)))

On tiendra pour acquis que l'application

f

est linéaire.
7. Démontrer que :

kerf = ⋂_(i = 1)^p kerf_i

.
8. On suppose dans cette question que l'application

f

est surjective.
a) On note

(ε_1, \dots, ε_p)

la base canonique de

ℝ^p

. Justifier que

ε_1

admet un antécédent

x

par

f

.
b) Démontrer que la famille (

f_1, \dots, f_p

) est libre dans

E^*

.
9. On suppose dans cette question que l'application

f

n'est pas surjective.
a) Que peut-on dire de la dimension

m

Imf

?
b) En complétant une base

(e_1, \dots, e_m)

Imf

en une base de

ℝ^p

, démontrer que

Imf

est inclus dans un hyperplan

H

ℝ^p

.
c) En déduire que la famille

(f_1, \dots, f_p)

est liée dans

E^*

(on pourra utiliser la question 6).
10. On suppose dans cette question que la famille

(f_1, \dots, f_p)

est libre dans l'espace vectoriel

E^*

.
a) Justifier que

f

est surjective.
b) Démontrer que :

dim(⋂_(i = 1)^p kerf_i) = n - p

Partie III - Formes linéaires et structure euclidienne

Dans cette partie, l'espace vectoriel

E

est muni d'un produit scalaire

⟨

⟩.

Pour

a \in E

on note

f_a

l'application qui à un élément

x

dans

E

associe le réel

f_a(x) = ⟨a, x⟩

.
11. Soit

a \in E

.
a) Démontrer que

f_a

est un élément de

E^*

.
b) Déterminer le noyau de

f_a

.
c) Démontrer que si

f_a

est l'application nulle alors

a = 0_E

.
12. Théorème de représentation des formes linéaires

On considère maintenant l'application

Φ : E \to E^*

définie, pour

a \in E

, par :

Φ(a) = f_a

.
a) Démontrer que

Φ

est linéaire.
b) Démontrer que

Φ

est un isomorphisme de

E

sur

E^*

.
c) Justifier que pour tout

φ \in E^*

il existe un unique

a \in E

tel que :

\forallx \in E, φ(x) = ⟨a, x⟩

Application aux formes linéaires sur $M_p(ℝ)$

Dans cette question,

p

est un entier naturel non nul et on considère

M_p(ℝ)

, l'espace vectoriel des matrices carrées de taille

p

.
a) Démontrer que

⟨⟩ :, (A, B) \mapsto tr(^t AB)

est un produit scalaire sur

M_p(ℝ)

.
b) Démontrer que si

φ : E \to ℝ

est une forme linéaire alors il existe une matrice

A

dans

M_p(ℝ)

telle que pour toute matrice

M

dans

M_p(ℝ)

on ait :

φ(M) = tr(AM)

Fin de l'énoncé

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