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BCE Maths approfondies emlyon ECS 2022Sujet et corrigé

Epreuve de maths approfondies - ECS 2022

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Annale de maths approfondies BCE emlyon pour la filiere ECS, session 2022.

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Conception : emlyon business school

OPTION SCIENTIFIQUE

MATHÉMATIQUES

Mercredi 4 Mai 2022, de 14 h. à 18 h.
La présentation, la lisibilité, l'orthographe, la qualité de la rédaction, la clarté et la précision des raisonnements entreront pour une part importante dans l'appréciation des copies.
Les candidats sont invités à encadrer dans la mesure du possible les résultats de leurs calculs. Aucun document n'est autorisé. L'utilisation de toute calculatrice et de tout matériel électronique est interdite. Seule l'utilisation d'une règle graduée est autorisée. Si au cours de l'épreuve, un candidat repère ce qui lui semble être une erreur d'énoncé, il la signalera sur sa copie et poursuivra sa composition en expliquant les raisons des initiatives qu'il sera amené à prendre.

PROBLĖME 1

Notations et rappels

Soit n un entier supérieur ou égal à 2 .
On note 𝔅 = (e_1, e_2, …, e_n) la base canonique de ℝ^n.
L'espace vectoriel ℝ^n est muni du produit scalaire canonique, noté ⟨ ⋅, ⋅ ⟩, défini par :
pour tous x = (x_1, x_2, …, x_n) et y = (y_1, y_2, …, y_n) de ℝ^n, ⟨x, y⟩ = ∑_(k = 1)^n x_k y_k
On confond les ensembles M_1(ℝ) et ℝ. Ainsi, pour tous x = (x_1, x_2, …, x_n) et y = (y_1, y_2, …, y_n) de ℝ^n, on a, en notant X = (x_1; ⋮; x_n) et Y = (y_1; ⋮; y_n) : ⟨x, y⟩ = ^t XY.
Pour tous réels α_1, α_2, …, α_n, on note Diag(α_1, α_2, …, α_n) la matrice diagonale de M_n(ℝ) dont les coefficients diagonaux sont égaux à α_1, α_2, …, α_n.
Enfin, on rappelle qu'une matrice P de M_n(ℝ) est orthogonale lorsque P est inversible et que P^(− 1) = ^t P.

PARTIE A: Mise en place d'un exemple

On considère les matrices A et B de M_3(ℝ) suivantes:
A = (0, 1, 1; 0, 0, 0; − 1, 0, 1) et B = ^t AA
  1. a. La matrice A est-elle inversible? Déterminer le rang de A.
    b. Calculer les matrices A^2 et A^3 et vérifier : A^3 − A^2 + A = 0.
    c. En déduire les valeurs propres réelles de A. La matrice A est-elle diagonalisable dans M_3(ℝ) ?
  2. a. Justifier que la matrice B est diagonalisable.
    b. On pose : R = 1/(√6)(− 1, √3, √2; 1, √3, − √2; 2, 0, √2).
    i. Vérifier que la matrice R est orthogonale.
    ii. Montrer que la matrice ^t RBR est diagonale.
Dans toute la suite du problème, M désigne une matrice de M_n(ℝ) et on pose r = rg(M).
On note f l'endomorphisme de ℝ^n dont la matrice dans la base B est la matrice M.

PARTIE B : Valeurs singulières d'une matrice

On note g l'endomorphisme de ℝ^n dont la matrice dans la base B est la matrice ^t M et h = g ∘ f.
3. Montrer : ∀x, y ∈ ℝ^n, ⟨x, g(y)⟩ = ⟨f(x), y⟩ et ∀x ∈ ℝ^n, ⟨x, h(x)⟩ = ‖f(x)‖^2.
4. a. Soit x appartenant à Ker(h). En calculant ⟨x, h(x)⟩, montrer que x appartient à Ker(f).
b. En déduire: Ker(h) = Ker(f) puis rg(h) = r.
5. a. Justifier que l'endomorphisme h est diagonalisable et qu'il existe une base orthonormée 𝔅_1 = (ε_1, ε_2, …, ε_n) de ℝ^n constituée de vecteurs propres de h.
b. Montrer que les valeurs propres de h sont positives ou nulles.
On note P la matrice de passage de la base B à la base B_1.
6. Justifier que la matrice P est orthogonale et montrer qu'il existe des réels λ_1, λ_2, …, λ_n positifs ou nuls tels que: ^t MM = PD^t P avec D = Diag(λ_1, λ_2, …, λ_n).
Les réels λ_1, λ_2, …, λ_n étant positifs ou nuls, on pose, pour tout i de [ [1; n] ], σ_i = √(λ_i).
Les réels σ_1, σ_2, …, σ_n sont appelés les valeurs singulières de la matrice M.
7. Dans cette question uniquement, on suppose que la matrice M est symétrique.
Déterminer, dans ce cas, les valeurs singulières de M en fonction de ses valeurs propres.
8. Justifier que la matrice D admet exactement r coefficients diagonaux non nuls.
Dans toute la suite, on suppose que les réels λ_1, …, λ_r sont non nuls et donc que les réels λ_(r + 1), …, λ_n sont nuls.
9. a. Pour tout i de [ [1; r] ], justifier que f(ε_i) est non nul et calculer ‖f(ε_i)‖.
b. On pose, pour tout i de [ [1; r] ], u_i = 1/(‖f(ε_i)‖)f(ε_i).
Montrer que la famille ( u_1, …, u_r ) est une famille orthonormée.
c. En déduire qu'il existe une base orthonormée B_2 de ℝ^n telle que la matrice de f dans la base B_1 (au départ) et la base B_2 (à l'arrivée) est :
Diag(σ_1, σ_2, …, σ_n) = Diag(σ_1, …, σ_r, 0, …, 0)
On note Q la matrice de passage de la base B à la base B_2 et Δ la matrice Diag(σ_1, …, σ_r, 0, …, 0).
10. Justifier que la matrice Q est orthogonale et, en calculant de deux façons différentes la matrice de f dans la base B (au départ) et la base B_2 (à l'arrivée), montrer : M = QΔ^t P.

11. Retour sur l'exemple :

Déterminer deux matrices orthogonales P_1 et Q_1 de M_3(ℝ) et une matrice diagonale Δ_1 de M_3(ℝ) telles que: A = Q_1 Δ_1^t P_1.

PARTIE C : Pseudo-inverse d'une matrice et application

On reprend les notations de la partie B.
Il existe donc deux matrices orthogonales P et Q de 𝔐_n(ℝ) et des réels strictement positifs σ_1, …, σ_r tels que :
M = QΔ^t P avec Δ = Diag(σ_1, …, σ_r, 0, …, 0).
On définit la matrice M^+de M_n(ℝ) par : M^+ = PDiag(1/(σ_1), …, 1/(σ_r), 0, …, 0)^t Q.
La matrice M^+est appelée la matrice pseudo-inverse de M.
On note f^+l'endomorphisme de ℝ^n dont la matrice dans la base B est la matrice M^+et p = f ∘ f^+.
12. Justifier que, si M est inversible, alors M^(− 1) = M^+.
13. a. Simplifier le produit MM^+.
b. Montrer que p est un projecteur orthogonal.
c. Montrer : rg(MM^+) = r puis en déduire : Im(p) = Im(f).
14. Application : Soit y ∈ ℝ^n∖Im(f).
Il n'existe donc pas de vecteur x de ℝ^n tel que f(x) = y.
On cherche alors à déterminer un vecteur x^∗ de ℝ^n tel que : ‖y − f(x^∗)‖ = min_(x ∈ ℝ^n)‖y − f(x)‖.
a. Justifier : ∀x ∈ ℝ^n, ‖y − p(y)‖ ⩽ ‖y − f(x)‖.
b. Proposer un vecteur de ℝ^n répondant au problème posé.
Montrer que, lorsque r < n, il existe au moins deux vecteurs distincts de ℝ^n répondant au problème posé.
15. Retour sur l'exemple: On note f_1 l'endomorphisme de ℝ^3 dont la matrice dans la base canonique de ℝ^3 est la matrice A et on considère y = (1, 1, 1).
a. Déterminer Im(f_1) et vérifier que y n'appartient pas à Im(f_1).
b. Montrer: ∀x = (x_1, x_2, x_3) ∈ ℝ^3, ‖y − f_1(x)‖^2 = (x_2 + x_3 − 1)^2 + (x_1 − x_3 + 1)^2 + 1.
c. En déduire deux vecteurs distincts x^∗ et z^∗ de ℝ^3 tels que :
‖y − f_1(x^∗)‖ = ‖y − f_1(z^∗)‖ = min_(x ∈ ℝ^3)‖y − f_1(x)‖.

PROBLÈME 2

Ce problème est constitué de trois parties. Les parties B et C sont indépendantes l'une de l'autre mais utilisent certains résultats de la partie A.
On rappelle que, pour tout (k, n) de ℕ^2 tel que k ⩽ n : (n/k) = (n!)/(k!(n − k)!).
Pour tout n de ℕ, on note c_n le réel, appelé le nombre de Catalan d'ordre n, défini par :
c_n = 1/(n + 1)((2n)/n)

PARTIE A : Quelques propriétés sur les nombres de Catalan

  1. Calculer les réels c_0, c_1 et c_2.
  2. a. Montrer : ∀n ∈ ℕ, c_n = ((2n)/n) − ((2n)/(n + 1)).
    b. En déduire que, pour tout n de ℕ, c_n est un entier naturel non nul.
  3. Montrer : ∀n ∈ ℕ, c_(n + 1) = (2(2n + 1))/(n + 2)c_n.
  4. Écrire une fonction Scilab d'en-tête function c = catalan(n) qui, prenant en entrée un entier n de ℕ, renvoie la valeur de c_n.
  5. a. Montrer que la suite (c_n)_(n ∈ ℕ) est croissante.
    b. À l'aide d'un raisonnement par l'absurde, montrer que la suite (c_n)_(n ∈ ℕ) diverge vers + ∞.
  6. a. Montrer : ∀k ∈ ℕ^∗, 4(k/(k + 1))^(3/2) ⩽ (c_(k + 1))/(c_k) ⩽ 4((k + 1)/(k + 2))^(3/2).
    b. En déduire : ∀n ∈ ℕ^∗, 1/4(4^n)/(n√n) ⩽ c_n ⩽ (√2)/2(4^n)/(n√n).
  7. On note, pour tout n de ℕ : S_n = ∑_(k = 0)^n c_k c_(n − k) et T_n = ∑_(k = 0)^n kc_k c_(n − k).
    a. Montrer : ∀n ∈ ℕ, T_n = n/2S_n
    (on pourra effectuer le changement d'indice i = n − k dans la somme définissant T_n ).
    b. Montrer à l'aide de l'égalité de la question 3. ∀n ∈ ℕ, T_(n + 1) + S_(n + 1) = c_(n + 1) + 4T_n + 2S_n.
    c. En déduire, à l'aide d'un raisonnement par récurrence : ∀n ∈ ℕ, S_n = c_(n + 1).
On a donc montré : ∀n ∈ ℕ, c_(n + 1) = ∑_(k = 0)^n c_k c_(n − k).
8. a. Montrer que, pour tout x de [ − 1/4; 1/4], la série ∑_(n ⩾ 0)c_n x^n converge.
On pose, pour tout x de [ − 1/4; 1/4] : f(x) = ∑_(n = 0)^(+ ∞)c_n x^n et g(x) = 2xf(x).
On admet que la fonction f est continue sur [ − 1/4; 1/4].
b. Soit x appartenant à [ − 1/4; 1/4].
En remarquant que, pour tout N de ℕ, (∑_(i = 0)^N c_i x^i)(∑_(j = 0)^N c_j x^j) = ∑_(n = 0)^(2N)(∑_(k = 0)^n c_k c_(n − k))x^n, montrer : (f(x))^2 = ∑_(n = 1)^(+ ∞)c_n x^(n − 1).
c. En déduire : ∀x ∈ [ − 1/4; 1/4], (g(x))^2 = 2g(x) − 4x.
d. Montrer qu'il existe une fonction ε définie sur [ − 1/4; 1/4] et à valeurs dans { − 1; 1} telle que :
∀x ∈ [ − 1/4; 1/4], g(x) = 1 + ε(x)√(1 − 4x)
Montrer ensuite que la fonction ε est continue sur [ − 1/4; 1/4[.
e. En déduire : ∀x ∈ [ − 1/4; 1/4], g(x) = 1 − √(1 − 4x).

PARTIE B : Loi du demi-cercle

On considère la fonction φ définie sur ℝ par :
∀x ∈ ℝ, φ(x) = {1/(2π)√(4 − x^2), si x ∈ [ − 2; 2]; 0, sinon
  1. a. Montrer : ∫_(− π/2)^(π/2)(cos(t))^2 dt = π/2.
    b. En déduire, à l'aide du changement de variable x = 2sin(t), la valeur de ∫_(− 2)^2 φ(x)dx.
  2. Montrer que φ est une densité d'une variable aléatoire réelle.
On considère une variable aléatoire réelle X de densité φ, définie sur un espace probabilisé ( Ω, A, P ).
11. a. Justifier que, pour tout n de ℕ, X admet un moment d'ordre n et que l'on a:
∀n ∈ ℕ, E(X^(2n + 1)) = 0 et E(X^(2n)) = 1/π∫_0^2 x^(2n)√(4 − x^2) dx
b. On pose, pour tout n de ℕ : u_n = E(X^(2n)).
i. Calculer u_0.
ii. À l'aide d'une intégration par parties, montrer : ∀n ∈ ℕ, u_(n + 1) = (2n + 1)/3(4u_n − u_(n + 1)).
iii. En déduire : ∀n ∈ ℕ, u_n = c_n.

PARTIE C : Étude d'une expérience aléatoire

Soit p un réel appartenant à ]0; 1[.
On considère une pièce qui amène Pile avec la probabilité p et Face avec la probabilité 1 − p avec laquelle on effectue une succession de lancers indépendants.
On modélise cette expérience par un espace probabilisé ( Ω, A, P ).
On définit la variable aléatoire T égale au nombre de lancers effectués lorsque, pour la première fois, on obtient le même nombre de Pile que de Face, et égale à 0 si un tel événement ne se réalise pas.
Par exemple, si on obtient successivement P − P − F − P − F − F − P − F − ⋯ (où P désigne Pile et F désigne Face), alors la variable aléatoire T est égale à 6 .
12. a. Écrire une fonction Scilab, d'en-tête function T = simule(p) qui prend en argument le réel p, qui simule au plus 10^4 lancers de la pièce et qui renvoie la valeur de T en convenant que si, sur les 10^4 lancers, le nombre de Pile obtenus n'a jamais été égal au nombre de Face, alors T prend la valeur 0 .
b. On exécute le script Scilab suivant :
for i = 1 : 3
    L = zeros (1,3)
    for j = 1 : 3 et on obtient les résultats suivants :
        m = 0
        for k = 1 : 1000
            m = m + simule(i/4)
        end
        L(j) = m/1000
    end
    disp(L)
end
Qu'affiche le script? Comment peut-on interpréter ces différents résultats?
13. Justifier : ∀n ∈ ℕ, P(T = 2n + 1) = 0.
14. On note, pour tout n de ℕ^∗, D_n l'ensemble des résultats possibles de ( 2n ) lancers de la pièce pour lesquels : - à l'issue du ( 2n )-ième lancer, le nombre de Pile est égal au nombre de Face;
  • le nombre de Pile est toujours strictement supérieur au nombre de Face tout au long des ( 2n − 1 ) premiers lancers;
    et on pose, pour tout n de ℕ^∗, d_n = Card(D_n).
    On note, pour tout n de ℕ^∗, E_n l'ensemble des résultats possibles de ( 2n ) lancers de la pièce pour lesquels : - à l'issue du ( 2n )-ième lancer, le nombre de Pile est égal au nombre de Face;
  • le nombre de Pile est toujours supérieur ou égal au nombre de Face tout au long des (2n − 1) premiers lancers;
    et on pose e_0 = 1 et, pour tout n de ℕ^∗, e_n = Card(E_n).
    Par exemple, D_3 = {P − P − P − F − F − F, P − P − F − P − F − F}
et E_3 = {P − F − P − F − P − F, P − F − P − P − F − F, P − P − F − F − P − F, P − P − F − P − F − F, P − P − P − F − F − F};
ainsi d_3 = 3 et e_3 = 5.
a. Soit n ∈ ℕ^∗. En remarquant que tout résultat de D_n commence nécessairement par un Pile et se termine par un Face, justifier : d_n = e_(n − 1).
b. i. Montrer : ∀n ∈ ℕ^∗, e_n = ∑_(k = 1)^n d_k e_(n − k).
ii. En déduire : ∀n ∈ ℕ, e_(n + 1) = ∑_(k = 0)^n e_k e_(n − k).
iii. Montrer alors: ∀n ∈ ℕ, e_n = c_n où c_n est le nombre de Catalan d'ordre n.
c. En déduire: ∀n ∈ ℕ^∗, P(T = 2n) = 2c_(n − 1)p^n(1 − p)^n.
15. a. Montrer que, pour tout x de [ − 1; 1], la série ∑_(n ⩾ 0)P(T = n)x^n converge.
On pose, pour tout x de [ − 1; 1] : G_T(x) = ∑_(n = 0)^(+ ∞)P(T = n)x^n.
b. Montrer : p(1 − p) ⩽ 1/4 et (p(1 − p) = 1/4 ⟺ p = 1/2).
c. Montrer : ∀x ∈ [ − 1; 1], G_T(x) = P(T = 0) + g(p(1 − p)x^2), où g est la fonction définie dans la question A.8.
d. En utilisant la valeur de G_T(1), montrer : P(T = 0) = |2p − 1|. Interpréter ce résultat lorsque p = 1/2.
16. En utilisant le résultat de la question A.6.b, montrer :
a. si p ≠ 1/2, alors la variable aléatoire T admet une espérance.
b. si p = 1/2, alors la variable aléatoire T n'admet pas d'espérance.

- FIN -

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