La présentation, la lisibilité, l'orthographe, la qualité de la rédaction, la clarté et la précision des raisonnements entreront pour une part importante dans l'appréciation des copies.
Les candidats sont invités à encadrer dans la mesure du possible les résultats de leurs calculs.
Aucun document n'est autorisé. L'utilisation de toute calculatrice et de tout matériel électronique est interdite. Seule l'utilisation d'une règle graduée est autorisée.
Si au cours de l'épreuve, un candidat repère ce qui lui semble être une erreur d'énoncé, il la signalera sur sa copie et poursuivra sa composition en expliquant les raisons des initiatives qu'il sera amené à prendre.
PROBLÈME 1
PARTIE A : Étude de deux suites
On définit les suites (u_n)_(n ∈ ℕ^∗) et (v_n)_(n ∈ ℕ^∗) par :
a. Montrer : ∀t ∈ ]0; + ∞[, 1/(t + 1) ⩽ ln(t + 1) − ln(t) ⩽ 1/t.
b. En déduire que les suites (u_n)_(n ∈ ℕ^∗) et (v_n)_(n ∈ ℕ^∗) sont monotones, puis qu'elles convergent vers une même limite notée γ.
a. Justifier : ∀n ∈ ℕ^∗, u_n ⩽ γ ⩽ v_n puis ∀n ∈ ℕ^∗, |(u_n + v_n)/2 − γ| ⩽ 1/2(v_n − u_n).
b. En déduire une fonction Scilab d'en-tête function gamma = approx() qui renvoie une approximation du réel γ à 10^(− 5) près.
PARTIE B : Étude d'une fonction définie par une série
Montrer que, pour tout x de [0; + ∞[, la série ∑_(k ⩾ 1)(1/k − 1/(k + x)) converge.
On pose alors, pour tout x de [0; + ∞[ : S(x) = ∑_(k = 1)^(+ ∞)(1/k − 1/(k + x)).
5. a. Calculer S(0) et vérifier : S(1) = 1.
b. Montrer, pour tout n de ℕ^∗ : ∑_(k = 1)^n(1/k − 1/(k + 1/2)) = 2 − 2∑_(k = n + 1)^(2n + 1)1/k = 2 − 2/(2n + 1) − 1/n∑_(k = 1)^n 2/(1 + k/n). En déduire la valeur de S(1/2).
6. a. Montrer : ∀(x, y) ∈ [0; + ∞[2, S(y) − S(x) = (y − x)∑_(k = 1)^(+ ∞)1/((k + x)(k + y)).
b. En déduire que S est une fonction croissante sur [0; + ∞[.
c. Montrer : ∀x ∈ [0; + ∞[, ∀h ∈ ℝ tel que x + h ∈ [0; + ∞[,
En déduire que S est dérivable sur [0; + ∞[ et : ∀x ∈ [0; + ∞[, S^′(x) = ∑_(k = 1)^(+ ∞)1/((k + x)^2).
On admet que S^′ est également continue sur [0; + ∞[.
7. a. Montrer : ∀x ∈ [0; + ∞[, S(x + 1) = S(x) + 1/(x + 1).
b. En déduire : ∀n ∈ ℕ^∗, S(n) = ∑_(k = 1)^n 1/k.
c. En utilisant la croissance de la fonction S sur [ 0; + ∞ [, montrer : S(x) ∼ _(x → + ∞)ln(x).
8. a. Vérifier : ∀n ∈ ℕ^∗, u_n = ∫_0^1∑_(k = 1)^n(1/k − 1/(k + x))dx, le réel u_n étant défini dans la partie A.
b. En déduire: ∀n ∈ ℕ^∗, 0 ⩽ ∫_0^1 S(x)dx − u_n ⩽ 1/2∑_(k = n + 1)^(+ ∞)1/(k^2).
c. Conclure : ∫_0^1 S(x)dx = γ.
PARTIE C : Application en probabilité
On considère la fonction f définie sur ℝ par : ∀x ∈ ℝ, f(x) = {0, si x < 1; 1/(x^2), si x ⩾ 1
9. Montrer que f est une densité de probabilité.
Dans toute la suite, on considère une variable aléatoire réelle X à densité, définie sur un espace probabilisé ( Ω, 𝒜, P ), de densité f.
10. a. Déterminer la fonction de répartition de X.
b. La variable aléatoire X admet-elle une espérance?
On définit la variable aléatoire Y par : Y = X − ⌊X⌋, où ⌊x⌋ désigne la partie entière du réel x.
11. a. Montrer, pour tout x de [0; 1[ :
P(Y ⩽ x) = ∑_(k = 1)^(+ ∞)P(k ⩽ X ⩽ k + x) puis P(Y ⩽ x) = S(x)
b. En déduire la fonction de répartition de Y.
c. Montrer que Y est une variable aléatoire à densité et préciser une densité de Y.
12. Justifier que Y admet une espérance puis, à l'aide d'une intégration par parties, montrer :
E(Y) = 1 − γ
PROBLÈME 2
Pour tout n de ℕ^∗, on note ℝ_n[X] l'espace vectoriel des polynômes à coefficients réels de degré inférieur ou égal à n.
Soient n ∈ ℕ^∗, (T_k)_(k ∈ ℕ) une suite de polynômes de ℝ_n[X] et T un polynôme de ℝ_n[X].
On dit que la suite de polynômes (T_k)_(k ∈ ℕ) converge vers T lorsque :
∀x ∈ ℝ, lim_(k → + ∞)T_k(x) = T(x)
Dans ce cas, on admet que si, pour tout k de ℕ, T_k = ∑_(i = 0)^n a_(k, i)X^i avec (a_(k, 0), …, a_(k, n)) ∈ ℝ^(n + 1)
et si T = ∑_(i = 0)^n b_i X^i avec (b_0, …, b_n) ∈ ℝ^(n + 1)
alors : pour tout i de [ [0; n] ], lim_(k → + ∞)a_(k, i) = b_i.
PARTIE A : Étude d'endomorphismes de polynômes
Pour tout n de ℕ^∗, on définit l'application φ_n sur ℝ_n[X] par :
b. Montrer que φ_n est un endomorphisme de ℝ_n[X].
Pour tout n de ℕ^∗, on note A_n la matrice de φ_n dans la base canonique ℬ_n = (1, X, …, X^n) de ℝ_n[X]; ainsi, pour tout n de ℕ^∗, A_n est une matrice de M_(n + 1)(ℝ).
2. Cas n = 2 :
a. Vérifier : A_2 = (0, 1/4, 0; 1, 1/2, 1; 0, 1/4, 0).
b. Montrer que le spectre de A_2 est { − 1/2, 0, 1}.
Justifier alors que A_2 est diagonalisable et déterminer les sous-espaces propres de A_2.
c. En déduire le spectre de φ_2 et une base de ℝ_2[X] formée de vecteurs propres de φ_2.
3. Montrer que, pour tout n de ℕ^∗, (X − 1)^n est vecteur propre de φ_n associé à la valeur propre (− 1)/n.
4. Soit n ∈ ℕ^∗.
a. Vérifier : ∀i ∈ [ [0; n] ], (φ_n(X^i))(1) = 1.
b. En déduire que la somme des coefficients. sur chaque colonne de A_n est égale à 1 .
c. Montrer alors que 1 est une valeur propre de φ_n.
5. Soit n ∈ ℕ^∗.
a. Montrer : ∀P ∈ ℝ_n[X], (n + 1)^2 φ_(n + 1)((X − 1)P) = (X − 1)(n^2 φ_n(P) − P).
b. En déduire que si P est un vecteur propre de φ_n associé à une valeur propre λ, alors (X − 1)P est un vecteur propre de φ_(n + 1) et préciser la valeur propre associée en fonction de λ.
6. a. À l'aide d'un raisonnement par récurrence, montrer, pour tout n de ℕ^∗ :
b. En déduire que, pour tout n de ℕ^∗, φ_n est diagonalisable et déterminer la dimension de chacun de ses sous-espaces propres.
7. Soit n ∈ ℕ^∗. On note Π_n le polynôme de ℝ_n[X] défini par : Π_n = ∑_(i = 0)^n(n/i)^2 X^i.
a. À l'aide de la question 1.a., montrer : φ_n(Π_n) = Π_n.
b. En déduire le sous-espace propre de φ_n associé à la valeur propre 1 .
8. Soient n ∈ ℕ^∗ et P un polynôme de ℝ_n[X]. On note, pour tout j de [ [0; n] ], R_j un vecteur propre de φ_n associé à la valeur propre λ_j = (− n + j(j + 1))/(n^2).
a. Justifier qu'il existe (α_0, α_1, …, α_n) ∈ ℝ^(n + 1) tel que : pour tout k de ℕ^∗, φ_n^k(P) = ∑_(j = 0)^n α_j(λ_j)^k R_j, où φ_n^k désigne l'endomorphisme φ_n ∘ ⋯ ∘ φ_n_()_(k fois).
b. En déduire qu'il existe un réel α tel que la suite de polynômes (φ_n^k(P))_(k ∈ ℕ^∗) converge vers le polynôme αΠ_n.
PARTIE B : Étude d'une expérience aléatoire
Dans cette partie, n désigne un entier de ℕ supérieur ou égal à 2 .
On dispose d'une urne rouge et d'une urne bleue ainsi que de n boules rouges et de n boules bleues, ces 2n boules étant supposées indiscernables au toucher.
Initialement, on place les n boules rouges dans l'urne rouge et les n boules bleues dans l'urne bleue.
On procède alors à une succession d'épreuves aléatoires, chaque épreuve consistant à échanger au hasard une boule de l'urne rouge avec une boule de l'urne bleue. Après chaque épreuve, chaque urne contient donc toujours n boules.
On modélise cette expérience par un espace probabilisé ( Ω, 𝒜, P ).
Pour tout entier k de ℕ^∗, on définit la variable aléatoire Z_k égale au nombre de boules rouges présentes dans l'urne rouge à l'issue de la k-ième épreuve. On pose également Z_0 = n.
On pourra remarquer que, après chaque épreuve, le nombre de boules rouges dans l'urne rouge est toujours égal au nombre de boules bleues dans l'urne bleue.
9. Déterminer la loi de la variable aléatoire Z_1.
10. Soit k ∈ ℕ. Montrer : pour tout i de [ [0; n] ],
a. Recopier et compléter les lignes incomplètes de la fonction Scilab suivante pour que, prenant en entrée le nombre n initial de boules rouges et le nombre k d'épreuves réalisées, elle renvoie une simulation de Z_k.
function Z = simule(n,k)
R = n // R désigne le nombre de boules rouges dans l'urne rouge
for j = 1:k
aleaR = rand()
aleaB = rand()
if aleaR <= (R/n) & aleaB <= (R/n) then
R = .......
elseif ....... then
R = R+1
end
end
Z = .......
endfunction
b. Écrire une fonction Scilab d'en-tête function E = esperance (n, k) qui, prenant en entrée le nombre n initial de boules rouges et le nombre k d'épreuves réalisées, renvoie une estimation de l'espérance de Z_k.
On justifiera, en particulier, la méthode d'estimation.
c. On utilise la fonction précédente et on trace l'espérance de Z_k en fonction de k pour différentes valeurs de n. On obtient le graphe ci-dessous.
Émettre une conjecture sur la valeur de la limite de l'espérance de Z_k lorsque k tend vers + ∞.
12. On note, pour tout k de ℕ : Δ_k = Z_(k + 1) − Z_k.
a. Déterminer, pour tout k de ℕ, l'ensemble Δ_k(Ω).
b. Montrer, pour tout k de ℕ :
d. En déduire, pour tout k de ℕ, une expression de E(Z_k) en fonction de k et de n. Calculer lim_(k → + ∞)E(Z_k) et commenter le résultat obtenu.
13. Pour tout k de ℕ, on définit le polynôme Q_k de ℝ_n[X] par : Q_k = ∑_(i = 0)^n P(Z_k = i)X^i.
a. À l'aide de la question 1.a., démontrer, pour tout k de ℕ :
φ_n(Q_k) = Q_(k + 1), où φ_n est l'endomorphisme étudié dans la partie A.
b. En déduire qu'il existe un réel α tel que la suite de polynômes (Q_k)_(k ∈ ℕ) converge vers le polynôme αΠ_n, où Π_n est le polynôme défini à la question 7 .
14. a. Déduire de la question précédente: pour tout i de [ [0; n] ], lim_(k → + ∞)P(Z_k = i) = α(n/i)^2.
b. On admet la formule suivante : ∀(a, b, m) ∈ ℕ^3, ∑_(i = 0)^m(a/i)(b/(m − i)) = ((a + b)/m).
Montrer : α = 1/(((2n)/n)).
c. Montrer que la suite de variables aléatoires (Z_k)_(k ∈ ℕ) converge en loi vers une variable aléatoire Z dont on précisera la loi et l'espérance.
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