BCE Maths approfondies EDHEC ECS 2021Sujet et corrigé

Epreuve de maths approfondies - ECS 2021

Pas encore noté

Explorer les annales

BanqueBCE Année2021 FilièreECS MatièreMathématiques

Annales BCE ECS Mathématiques BCE ECS 2021 ECS Mathématiques Mathématiques 2021

Téléchargements

Télécharger le sujet (PDF)

Corrigé

Lire en ligne LaTeX Word

Rapport du jury : non disponible

Source du document : annales-prepa.fr

Description

Annale de maths approfondies BCE EDHEC pour la filiere ECS, session 2021.

Ces sujets peuvent vous intéresser

Lecture du sujet en ligne

L'énoncé complet, avec les formules et les figures, sans ouvrir le PDF.

Sujet en PDF

Conception : EDHEC BS

OPTION SCIENTIFIQUE

MATHÉMATIQUES

Mardi 4 mai 2021, de 8 h. à 12 h.

La présentation, la lisibilité, l'orthographe, la qualité de la rédaction, la clarté et la précision des raisonnements entreront pour une part importante dans l'appréciation des copies.
Les candidats sont invités à encadrer dans la mesure du possible les résultats de leurs calculs.
Ils ne doivent faire usage d'aucun document. L'utilisation de toute calculatrice et de tout matériel électronique est interdite. Seule l'utilisation d'une règle graduée est autorisée.
Si au cours de l'épreuve, un candidat repère ce qui lui semble être une erreur d'énoncé, il la signalera sur sa copie et poursuivra sa composition en expliquant les raisons des initiatives qu'il sera amené à prendre.

Exercice 1

Question préliminaire : on considère une suite $(a_n)_(n \in ℕ)$ croissante et de limite $ℓ$ et on pose, pour tout $n$ de $ℕ^*$ :

b_n = 1/n\sum_(k = 0)^(n - 1)a_k

a) Établir, pour tout entier naturel

n

non nul, l'inégalité

b_n \leq a_n

, puis étudier la monotonie de la suite

(b_n)_(n \in ℕ^*)

.
b) Montrer que la suite

(b_n)_(n \in ℕ^*)

converge vers un réel

ℓ^'

qui vérifie

ℓ^' \leq ℓ

.
c) Établir, pour tout entier naturel

n

non nul, l'égalité suivante :

b_(2n) \geq (b_n + a_n)/2

d) En déduire que

lim_(n \to + \infty)b_n = lim_(n \to + \infty)a_n

On se propose maintenant d'étudier la suite

(u_n)_(n \in ℕ)

, définie par la donnée de

u_0 = 1

et par la relation, valable pour tout entier naturel

n

u_(n + 1) = \sqrt(u_n^2 + u_n)

Pour tout entier naturel

n

non nul, on pose

S_n = \sum_(k = 0)^(n - 1)u_k

.
2) a) Montrer que, pour tout entier naturel

n, u_n

est bien défini et supérieur ou égal à 1 .
b) Étudier les variations de la suite (

u_n

), puis établir que la suite (

u_n

) diverge et donner sa limite.
c) Compléter le script Scilab suivant afin qu'il permette de déterminer et d'afficher la plus petite valeur de

n

pour laquelle on a

S_n > 1000

n=1
u=1
S=1 // S1=u0=1
while S<=1000
u=-----
S=----
n=n+1
end
disp(----)

Recherche d'un équivalent de $u_n$ .
a) Montrer que $lim_(n \to + \infty)(u_(n + 1) - u_n) = 1/2$ .
b) Étudier les variations de la fonction $f$ définie sur $[1; + \infty[$ par $f(x) = \sqrt(x^2 + x) - x$ , puis en déduire que la suite $(u_(n + 1) - u_n)_(n \in ℕ)$ est croissante.
c) Utiliser la première question pour établir que : $u_n \sim _(+ \infty)n/2$ .
a) Exprimer $S_n$ en fonction de $u_n$ puis en déduire un équivalent de $S_n$ pour $n$ au voisinage de $+ \infty$ .
b) Compléter le script Scilab suivant afin qu'il fasse le même travail que celui de la question 2c) sans calculer $S_n$ :

n=0
u=1 // u0=1
while u<=----
u=-----
n=n+1
end
disp(----)

Exercice 2

On considère une variable aléatoire $Z$ suivant la loi normale centrée réduite. On pose $Y = e^Z$ et on admet que $Y$ est une variable aléatoire à densité. On note $F_Y$ la fonction de répartition de $Y$ et $Φ$ celle de $Z$ .
a) Déterminer $F_Y(x)$ pour tout réel $x$ négatif ou nul, puis exprimer $F_Y(x)$ à l'aide de la fonction $Φ$ pour tout réel $x$ strictement positif.
b) En déduire qu'une densité $f_Y$ de $Y$ est donnée par:

f_Y(x) = {− 1/(x√(2π))exp(− ((lnx)^2)/2), si x > 0; 0, si x ≤ 0

Dans la suite, on considère une suite de variables aléatoires

(X_n)_(n \in ℕ^*)

, toutes définies sur le même espace probabilisé, mutuellement indépendantes et suivant toutes la loi, dite loi de Rademacher de paramètre

p

(avec

0 < p < 1

), et définie par :

P(X_n = 1) = p et P(X_n = - 1) = 1 - p

On considère de plus, pour

n

dans

ℕ^*

, la variable aléatoire

T_n = \prod_(k = 1)^n X_k

.
2) a) Donner l'espérance et la variance communes aux variables

X_n

.
b) Déterminer l'ensemble des valeurs prises par

T_n

puis calculer

E(T_n)

et en déduire une relation entre

P(T_n = 1)

P(T_n = - 1)

.
c) Écrire une autre relation vérifiée par

P(T_n = 1)

P(T_n = - 1)

, puis en déduire la loi de

T_n

.
d) Montrer que la suite

(T_n)_(n \in ℕ^*)

converge en loi vers une variable

T

dont on précisera la loi.
3) Soit

T^'

une variable aléatoire définie sur le même espace probabilisé que les variables

X_n

.
a) Établir l'inclusion suivante :

(|T_(n + 1) - T^'| < 1/2) \cap (|T_n - T^'| < 1/2) \subset (|T_(n + 1) - T_n| < 1)

b) En déduire l'inégalité :

P(|T_(n + 1) - T_n| \geq 1) \leq P(|T_(n + 1) - T^'| \geq 1/2) + P(|T_n - T^'| \geq 1/2)

c) Montrer, en observant les valeurs que peut prendre la variable

T_(n + 1) - T_n

, que :

P(|T_(n + 1) - T_n| \geq 1) = 1 - p

d) La suite

(T_n)_(n \in ℕ^*)

converge-t-elle en probabilité ?
4) Dans cette question, on prend

p = 1/2

On considère, pour tout

n

ℕ^*

, les variables aléatoires,

X¯_n = 1/n\sum_(k = 1)^n X_k

U_n = e^(nX¯_n)

.
a) On rappelle que

X¯_n^*

est la variable aléatoire centrée réduite associée à

X¯_n

. Exprimer

X¯_n^*

en fonction de

X¯_n

.
b) Utiliser le théorème limite central pour établir que la suite

(U_n^(1/\sqrtn))_(n \in ℕ^*)

. converge en loi vers une variable aléatoire de même loi que

Y

Exercice 3

On considère un espace euclidien

E

pour lequel le produit scalaire de deux vecteurs

x

y

est noté

⟨x, y⟩

, tandis que la norme du vecteur

x

est notée

‖x‖

. Le vecteur nul de

E

est noté

0_E

.
On considère aussi un endomorphisme

f

E

, différent de l'endomorphisme nul, et antisymétrique, c'est-à-dire qu'il vérifie :

\forall(x, y) \in E^2, ⟨f(x), y⟩ = - ⟨x, f(y)⟩

Montrer que : $\forallx \in E, ⟨f(x), x⟩ = 0$ .
Établir l'égalité : $Ker(f) \oplus Im(f) = E$ .
On pose $s = f \circ f$ . Montrer que $s$ est un endomorphisme symétrique de $E$ et que ses valeurs propres sont toutes dans $ℝ_-$ .
On note $g$ l'application qui à tout vecteur $x$ de $Im(f)$ associe $g(x) = f(x)$ et on pose $t = g \circ g$ .
a) Montrer que $g$ est un endomorphisme antisymétrique de $Im(f)$ .
b) En déduire que les valeurs propres de $t$ sont toutes dans $ℝ_-^*$ .

Dans les deux questions suivantes, on considère une valeur propre

λ

t

et on note

E_λ(t)

le sousespace propre associé à cette valeur propre.
5) On considère un vecteur

e_1

non nul de

E_λ(t)

.
a) Montrer que (

e_1, g(e_1))

est une famille d'éléments de

E_λ(t)

, orthogonale et libre.
b) En déduire, en considérant l'orthogonal

F_2

Vect(e_1, g(e_1))

dans

E_λ(t)

, que la dimension de

E_λ(t)

est paire et qu'il existe un entier naturel

p

non nul, ainsi que

p

vecteurs

e_1, e_2, \dots, e_p

E_λ(t)

, tels que

(e_1, g(e_1), e_2, g(e_2), \dots, e_p, g(e_p))

soit une base orthogonale de

E_λ(t)

.
6) Soit

k

un entier de

[ [1, p] ]

.
a) Montrer que l'on a:

‖g(e_k)‖^2 = - λ‖e_k‖^2

.
b) On considère les vecteurs

e_k^' = 1/(‖e_k‖)e_k

e_k^('') = 1/(‖g(e_k)‖)g(e_k)

Établir que

g(e_k^') = \sqrt(- λ)e_k^('')

g(e_k^('')) = - \sqrt(- λ)e_k^'

.
7) a) Montrer que le rang de

f

est pair.
b) On pose

r = 1/2rg(f)

. Déduire des questions précédentes qu'il existe une base orthonormale

𝔅

E

r

réels

a_1, \dots, a_r

strictement positifs, pas nécessairement distincts, tels que la matrice

M

f

dans

ℬ

soit :

M = (0, - a_1; a_1, 0; 0, - a_2, (0); a_2, 0; ⋱; 0, - a_r; (0), 0; ⋱) ou M = (0, - a_1; a_1, 0, (0); 0, - a_2; a_2, 0; ⋱; (0), 0; a_r; 0)

Problème

Partic 1: calcul d'intégrales utiles pour la suite
Pour tout couple

(p, q)

d'entiers naturels, on pose :

I(p, q) = \int_0^1 x^p(1 - x)^q dx

. On a, en particulier

I(p, 0) = \int_0^1 x^p dx

I(0, q) = \int_0^1(1 - x)^q dx

Donner les valeurs de $I(p, 0)$ et $I(0, q)$ .
Montrer que, pour tout couple ( $p, q$ ) de $ℕ \times ℕ^*$ , on a l'égalité :

I(p, q) = q/(p + 1)I(p + 1, q - 1)

Pour tout $q$ de $ℕ$ , on considère la propriété $H_q :$ « $\forallp \in ℕ, I(p, q) = (p!q!)/((p + q)!)I(p + q, 0)$ ».

Montrer, par récurrence sur

q

, que

H_q

est vraie pour tout entier naturel

q

.
4) Donner explicitement, pour tout couple (

p, q

) d'entiers naturels, l'expression de

I(p, q)

en fonction de

p

q

, puis en déduire pour tout entier naturel

n

, la valeur de

I(n, n)

en fonction de

n

Partie 2 : étude d'une suite de variables aléatoires
Pour tout entier naturel

n

, on pose :

b_n(x) = {((2n + 1)!)/((n!)^2)x^n(1 − x)^n, si 0 ≤ x ≤ 1; 0, sinon

5) Montrer que

b_n

peut être considérée comme une densité de probabilité.

On considère désormais une suite de variables aléatoires

(X_n)_(n \in ℕ)

, où

X_n

admet

b_n

comme densité.
6) Reconnaître la loi de

X_0

.
7) a) Utiliser la première partie pour montrer que

X_n

possède une espérance et que

E(X_n) = 1/2

.
b) Toujours en utilisant la première partie, montrer que

X_n

possède une variance et exprimer

V(X_n)

en fonction de

n

.
c) Montrer que la suite

(X_n)_(n \in ℕ^*)

converge en probabilité vers une variable certaine que l'on précisera.

Partie 3 : simulation informatique de

X_n

.
On considère

2n + 1

variables aléatoires

U_1, U_2, \dots, U_(2n + 1)

définies sur le même espace probabilisé

(Ω, A, P)

, mutuellement indépendantes, et suivant toutes la loi uniforme sur

[0, 1]

.
On suppose que ces variables représentent respectivement les instants d'arrivée de

2n + 1

personnes

A_1, A_2, \dots, A_(2n + 1)

à leur lieu commun de rendez-vous. Pour tout

k

[ [1; 2n + 1] ]

, on note alors

V_k

l'instant d'arrivée de la personne arrivée la

k^c

au rendez-vous (cette personne n'étant pas forcément

A_k)

. On admet que

V_k

est une variable aléatoire à densité, définie elle aussi sur (

Ω, A, P

), et on note

G_k

sa fonction de répartition.
8) On note

F_U

la fonction de répartition commune aux variables

U_1, U_2, \dots, U_(2n + 1)

. Rappeler 1'expression de

F_U(x)

selon que

x < 0, 0 \leq x \leq 1

x > 1

.
9) a) Écrire la variable

V_(2n + 1)

en fonction de

U_1, U_2, \dots, U_(2n + 1)

.
b) En déduire

G_(2n + 1)(x)

pour tout réel

x

.
10) a) Écrire la variable

V_1

en fonction de

U_1, U_2, \dots, U_(2n + 1)

.
b) En déduire, pour tout réel

x

, la probabilité

P(V_1 > x)

puis déterminer

G_1(x)

pour tout réel

x

.
11) Écrire un script Scilab permettant de simuler

V_1

V_(2n + 1)

pour une valeur de

n

entrée par l'utilisateur.
12) a) Montrer que l' on a :

\forallx \in [0, 1], G_(n + 1)(x) = \sum_(k = n + 1)^(2n + 1)((2n + 1)/k)x^k(1 - x)^(2n + 1 - k)

b) Déterminer une densité

g_(n + 1)

V_(n + 1)

et en déduire que

V_(n + 1)

suit la même loi que

X_n

.
c) On considère le script Scilab suivant:

U = [8, 2, 9, 13, 23, 1, 5]; V = median (U); disp(V, ' V = ')

Quelle est la valeur renvoyée par ce script?
d) Écrire un script Scilab permettant de simuler

X_n

Pas de description pour le moment

Commentaires• BCE Maths approfondies EDHEC ECS 2021

Connectez-vous pour participer aux discussions

Partagez vos avis, posez des questions et échangez avec la communauté

Chargement des commentaires...