BCE Maths approfondies ESSEC ECS 2011Sujet et corrigé

Epreuve de maths approfondies - ECS 2011

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Comparaison du commutant d'un endomorphisme C(u) et de la sous-algèbre R[u]

Le problème étudie, pour un endomorphisme u d'un espace vectoriel réel de dimension finie, le commutant C(u) (les endomorphismes commutant avec u) et le sous-espace R[u] engendré par les puissances de u. Après des préliminaires généraux, un exemple est étudié en détail sur un espace de fonctions développables en série entière vérifiant une relation de récurrence linéaire d'ordre 3. Le problème détermine ensuite le centre de L(E), le commutant d'un endomorphisme diagonalisable, puis le centre de ce commutant.

1Partie I : préliminairesPropriétés générales du centre C(U) d'une partie de L(E), inclusion de R[u] dans C(u), et stabilité des sous-espaces propres par les éléments du commutant.
2Partie II : étude d'un exempleÉtude d'un espace E de fonctions développables en série entière dont les coefficients vérifient une relation de récurrence linéaire d'ordre 3, construction d'une base, étude de l'endomorphisme de décalage u, de ses éléments propres et de son commutant.
3Partie III : centre de L(E)Caractérisation des endomorphismes dont tout vecteur non nul est propre (homothéties) et détermination du centre de l'ensemble des projecteurs puis de L(E) tout entier.
4Partie IV : commutant d'un endomorphisme diagonalisableCaractérisation matricielle des éléments du commutant d'un endomorphisme diagonalisable, calcul de la dimension de C(u), et condition pour que C(u) = R[u].
5Partie V : centre du commutant d'un endomorphisme diagonalisableDémonstration que le centre du commutant C(C(u)) coïncide avec R[u] pour un endomorphisme diagonalisable.

Description

Annale de maths approfondies BCE ESSEC pour la filiere ECS, session 2011.

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BANQUE COMMUNE D'EPREUVES

CONCOURS D'ADMISSION DE 2011

OPTION SCIENTIFIQUE

MATHEMATIQUES

Mardi 10 mai 2011 de 14 h à 18 h

La présentation, la lisibilité, l'orthographe, la qualité de la rédaction, la clarté et la précision des raisonnements entreront pour une part importante dans l'appréciation des copies.
Les candidats sont invités à encadrer dans la mesure du possible les résultats de leurs calculs.
Ils ne doivent faire usage d'aucun document. L'utilisation de toute calculatrice et de tout matériel électronique est interdite. Seule l'utilisation d'une règle graduée est autorisée.
Si au cours de l'épreuve, un candidat repère ce qui lui semble être une erreur d'énoncé, il la signalera sur sa copie et poursuivra sa composition en expliquant les raisons des initiatives qu'il sera amené à prendre.

Le problème comporte cinq parties.

ℕ

désigne l'ensemble des entiers naturels et

ℝ[X]

celui des polynômes à coefficients réels.
Si

n

est un entier naturel,

ℝ_n[X]

est le sous-ensemble de

ℝ[X]

formé des polynômes de degré inférieur ou égal à

n

.
Si

E

est un espace vectoriel sur

ℝ

, on notera

L(E)

l'ensemble des endomorphismes de

E

.
Si

U

est une partie non vide de

L(E)

, on appelle centre de

U

et on note

C(U)

l'ensemble des endomorphismes de

E

qui commutent avec tous les éléments de

U

, c'est-à-dire :

C(U) = {v \in L(E), \forallu \in U, u \circ v = v \circ u}

.
Si

u \in L(E)

U = {u}, C({u})

est plus simplement noté

C(u)

et est appelé aussi commutant de

u

. On a donc :

C(u) = {v \in L(E)/u \circ v = v \circ u}

.
Si

P \in ℝ[X]

(a_0, \dots, a_d) \in ℝ^(d + 1)

avec

P = a_d X^d + \dots + a_0 = \sum_(k = 0)^d a_k X^k

, on note

P(u)

l'endomorphisme de

E

défini par

P(u) = a_d u^d + \dots + a_0 id_E = \sum_(k = 0)^d a_k u^k

. En particulier,

1(u) = id_E

.
Enfin, on note

ℝ[u] = {P(u), P \in ℝ[X]}

.
L'objectif du problème est de comparer

C(u)

ℝ[u]

dans certains cas.

Partie I - Préliminaires.

Dans cette partie, on suppose que

E

est un espace vectoriel sur

ℝ

de dimension finie

n

où

n

est un entier naturel supérieur ou égal à

1, U

est une partie non vide de

L(E)

u

un élément de

L(E)

Montrer que $C(U)$ est un sous-espace vectoriel de $L(E)$ de dimension supérieure ou égale à 1 .
Vérifier que $C(u)$ contient $ℝ[u]$ .
Soit $λ$ une valeur propre de $u, E_λ(u) = Ker(u - λid_E)$ l'espace propre associé et $v$ dans $C(u)$ . Montrer que $E_λ(u)$ est stable par $v$ .

Partie II - Etude d'un exemple.

Dans toute cette partie, on notera :

ùùA = {(a_n)_(n ≥ 0) ∈ ℝ^ℕ/∀x ∈ ] − 1, 1[, ∑_(n ≥ 0)|a_n x^n| converge },; B = {(a_n)_(n ≥ 0) ∈ A/∀n ∈ ℕ, 2a_(n + 3) + 3a_(n + 2) − a_n = 0},; H = {f : x ∈ ] − 1, 1[ ↦ ∑_(n = 0)^(+ ∞)a_n x^n où (a_n)_(n ≥ 0) ∈ A},; E = {f : x ∈ ] − 1, 1[ ↦ ∑_(n = 0)^(+ ∞)a_n x^n où (a_n)_(n ≥ 0) ∈ B},; α_n = 1/(2^n), β_n = (− 1)^n et γ_n = n(− 1)^n,; φ : x ∈ ] − 1, 1[ ↦ 1/(2 − x), ψ : x ∈ ] − 1, 1[ ↦ 1/(1 + x) et δ : x ∈ ] − 1, 1[ ↦ 1/((1 + x)^2).

On admet que pour

f

dans

H

, il existe une unique suite

(a_n)_(n \geq 0)dansA

telle que :

\forallx \in ] - 1, 1[, f(x) = \sum_(n = 0)^(+ \infty)a_n x^n

.
4) Quelques propriétés de

A

:
a) Vérifier que la suite constante égale à 1 appartient à

A

.
b) Plus généralement, si

(a_n)_(n \geq 0) \in ℝ^ℕ

, telle qu'il existe

s \in ℝ

vérifiant :

a_n = o(n^s)

, montrer que

(a_n)_(n \geq 0) \in A

.
c) En déduire que les suites

(α_n)_(n \geq 0), (β_n)_(n \geq 0)

(γ_n)_(n \geq 0)

appartiennent à

A

.
5) Premières propriétés de

H

:
a) Vérifier que

H

est un sous-espace vectoriel de l'ensemble des applications de

] - 1, 1[

dans

ℝ

.
b) Montrer que les fonctions

φ, ψ

δ

appartiennent à

H

.
6) Premières propriétés de

E

:
a) Déterminer les suites géométriques appartenant à

B

.
b) Vérifier que la suite

(γ_n)_(n \geq 0)

appartient à

B

.
c) En déduire que

E

est un sous-espace vectoriel de

H

contenant les fonctions

φ, ψ

δ

.
7) Caractérisation des éléments de

E

Soit

f

E

telle que, pour tout

x

] - 1, 1[, f(x) = \sum_(n = 0)^(+ \infty)a_n x^n

, où

(a_n)_(n \geq 0) \in B

.
a) Montrer que :

\forallx \in ] - 1, 1[, f(x)(x^3 - 3x - 2) + a_0(2 + 3x) + a_1(2x + 3x^2) + 2a_2 x^2 = 0

.
b) En déduire qu'il existe une fonction polynôme

Q

de degré inférieur ou égal à 2 telle que, pour tout

x

] - 1, 1[, f(x) = (Q(x))/(x^3 - 3x - 2)

.
c) Montrer alors que

f

est combinaison linéaire des fonctions

φ, ψ

δ

.
d) Conclure que

E

est un espace de dimension finie dont

C = (φ, ψ, δ)

est une base.
8) L'endomorphisme

u

Soient

(a_n)_(n \geq 0)

dans

B

f

E

telles que :

\forallx \in ] - 1, 1[, f(x) = \sum_(n = 0)^(+ \infty)a_n x^n

.
a) Montrer que la suite

(b_n)_(n \geq 0)

, telle que :

\foralln \in ℕ, b_n = a_(n + 1)

, appartient à

B

On note alors

u(f)

l'application définie par :

\forallx \in ] - 1, 1[, [u(f)](x) = \sum_(n = 0)^(+ \infty)b_n x^n

.
b) Vérifier que

u

est un endomorphisme de

E

.
c) Déterminer

u^k

pour tout

k

ℕ

. En déduire un polynôme

π

ℝ[X]

, de degré 3 , tel que

π(u) = 0

.
d) Déterminer la matrice

T

u

dans la base

C

et calculer

T^k

pour tout

k

ℕ

.
9) Eléments propres de

u

:
a) Quels sont les valeurs propres et sous-espaces propres de

u

?
b)

u

est-il diagonalisable ?
10) Centre de

u

Soit

v

un élément du commutant de

u

, c'est à dire un endomorphisme de

E

tel que

uov = vou

.
a) Montrer qu'il existe des réels

λ

μ

tels que

v(φ) = λφ

v(ψ) = μψ

.
b) Montrer qu'il existe aussi des réels

η

ω

tels que

v(δ) = ηψ + ωδ

.
c) Démontrer que

μ = ω

.
d) Réciproquement, si

v

est un endomorphisme de

E

pour lequel il existe des réels

λ, μ

η

tels que

M_C(v) = (λ, 0, 0; 0, μ, η; 0, 0, μ)

, vérifier que

v

appartient à

C(u)

.
e) Que vaut

dim[C(u)]

?
f) Montrer que la famille (

id_E, u, u^2

) est libre dans

L(E)

.
g) Comparer

C(u)

ℝ[u]

Partie III - Centre de $L(E).$

Dans cette partie, on suppose que

E

est un espace vectoriel sur

ℝ

de dimension finie

n

où

n

est un entier naturel supérieur ou égal à 1 et

u

un élément de

L(E)

.
11) On suppose que tout vecteur non nul de

E

est vecteur propre de

u

. Montrer que

u

est une homothétie.
12) Soit

U

la partie de

L(E)

formée des projecteurs de

E

v

dans

C(U)

. On se donne

e

un vecteur non nul de

E

et un supplémentaire

G

F = Vect(e)

. En considérant la projection sur

F

parallèlement à

G

, montrer que

v

est une homothétie de

E

. En déduire

C(U)

.
13 ) Que vaut

C(L(E))

Partie IV- Commutant d'un endomorphisme diagonalisable.

Dans cette partie, on suppose que

E = ℝ^n

et que

u

est un endomorphisme diagonalisable de

E

.
On note

λ_1, \dots, λ_p

les valeurs propres distinctes de

u, E_1, \dots, E_p

les espaces propres correspondants et, pour tout

i

[ [1, p] ], r_i = dimE_i

.
14) Justifier que, pour tout

v

C(u)

et tout

i

[ [1, p] ], E_i

est stable par

v

.
15) Réciproquement, si

v

est un endomorphisme de

E

tel que, pour tout

i

[ [1, p] ], E_i

est stable par

v

, montrer que :

v \in C(u)

.
16) Considérer une base

b

E

adaptée à l'écriture

E = \oplus ^p E_i = E_1 \oplus \dots \oplus E_p

et caractériser les endomorphismes de

C(u)

par l'allure de leur matrice dans cette base.
17) En déduire que :

dimC(u) = \sum_(i = 1)^p r_i^2

.
18) Montrer que

dimC(u) \geq n

, puis que

: dimC(u) = n

si et seulement si

u

admet

n

valeurs propres distinctes.
19) Ecrire la matrice

M

u

dans la base

b

. Pour tout

k

ℕ

, calculer

M^k

, puis

P(M)

pour tout

P

polynôme de

ℝ[X]

.
20) On note

π(X) = \prod_(i = 1)^p(X - λ_i)

, que vaut

π(u)

?
21) Plus généralement, si

P

est un polynôme de

ℝ[X]

, vérifier que :

P(u) = 0

si et seulement si pour tout

i

[ [1, p] ], P(λ_i) = 0

.
22) En déduire que la famille (

id_E, u, \dots, u^(p - 1)

) est libre dans

L(E)

.
23) Montrer que:

\forallk \in ℕ, u^k \in Vect(id_E, u, \dots, u^(p - 1))

. En déduire :

dimℝ[u] = p

.
24) Démontrer que

C(u) = ℝ[u]

si et seulement si

u

admet

n

valeurs propres distinctes.

Partie V- Centre du commutant d'un endomorphisme diagonalisable.

On garde, dans cette partie, les mêmes notations et hypothèses que dans la partie IV.
On veut déterminer

C(C(u))

que l'on notera plus simplement

C_2(u)

.
25) Vérifier que

C_2(u) \subset C(u)

.
26) Montrer que

ℝ[u] \subset C_2(u)

.
27) Pour

v

dans

C_2(u)

i

dans

[ [1, p] ]

, on note

v_i

l'endomorphisme de

E_i

défini par:

\forallx \in E_i, v_i(x) = v(x)

. Montrer que :

v_i \in C(L(E_i))

. En déduire qu'il existe un réel

μ_i

tel que :

v_i = μ_i id_(E_i)

.
28) Montrer qu'il existe un unique polynôme

Q

de degré inférieur ou égal à

p - 1

tel que :

\foralli \in [ [1, p] ], Q(λ_i) = μ_i

.
29) Démontrer que :

C_2(u) = ℝ[u]

Questions fréquentes

3 questions

Sur quels chapitres porte l'épreuve de mathématiques approfondies ESSEC ECS 2011 ?

Le sujet porte sur la réduction des endomorphismes, le commutant et les polynômes d'endomorphisme, avec une partie centrale utilisant les séries entières pour construire un exemple explicite.

Les parties du sujet sont-elles indépendantes ?

Les parties III, IV et V s'appuient sur les résultats généraux de la partie I ; la partie II est un exemple détaillé indépendant des parties III à V, qui peuvent être abordées séparément.

Quel est l'objectif principal du problème ?

L'objectif annoncé par l'énoncé est de comparer le commutant C(u) d'un endomorphisme u et le sous-espace R[u] engendré par ses puissances, notamment pour un endomorphisme diagonalisable.

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Partie I - Préliminaires.

Partie II - Etude d'un exemple.

Partie III - Centre de L(E).

Partie IV- Commutant d'un endomorphisme diagonalisable.

Partie V- Centre du commutant d'un endomorphisme diagonalisable.

Questions fréquentes

Sur quels chapitres porte l'épreuve de mathématiques approfondies ESSEC ECS 2011 ?

Les parties du sujet sont-elles indépendantes ?

Quel est l'objectif principal du problème ?

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Partie III - Centre de $L(E).$