Mathématiques approfondies Emlyon 2018 : intégrale de Wallis généralisée, endomorphisme sur les polynômes et tirages avec remise
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Ce sujet ECS comporte deux problèmes. Le premier étudie une intégrale I(x) liée aux intégrales de Wallis, en établit un développement en série entière puis un équivalent en plus l'infini, avant d'appliquer ce résultat à la probabilité que deux variables de Poisson indépendantes prennent la même valeur. Le second étudie un endomorphisme de l'espace des polynômes de degré au plus n, puis relie ses puissances itérées à la loi du nombre de numéros distincts obtenus dans un tirage avec remise dans une urne à n boules.
1Problème 1, partie I : intégrales de WallisOn calcule les intégrales de Wallis W_k par récurrence et on en donne une expression explicite pour les indices pairs.
2Problème 1, partie II : expression en série entière de I(x)On relie l'intégrale I(x) aux intégrales de Wallis par un changement de variable, puis on l'exprime comme somme d'une série entière grâce à l'inégalité de Taylor-Lagrange.
3Problème 1, partie III : équivalent de I(x) en plus l'infiniOn encadre puis on détermine un équivalent de I(x) quand x tend vers plus l'infini, à l'aide d'intégrales liées à la loi normale.
4Problème 1, partie IV : application probabilisteOn utilise l'équivalent de I(x) pour trouver un équivalent de la probabilité que deux variables de Poisson indépendantes de même paramètre soient égales, avec une simulation Scilab.
5Problème 2, partie I : endomorphisme de polynômesOn étudie l'endomorphisme phi sur les polynômes de degré au plus n, sa matrice, son noyau et sa diagonalisation à l'aide d'une base de polynômes P_k.
6Problème 2, partie II : tirages avec remise dans une urneOn étudie la loi du nombre de numéros distincts obtenus après k tirages avec remise dans une urne à n boules, et on relie les polynômes générateurs G_k aux itérées de l'endomorphisme phi.
Description
Annale de maths approfondies BCE emlyon pour la filiere ECS, session 2018.
La présentation, la lisibilité, l'orthographe, la qualité de la rédaction, la clarté et la précision des raisonnements entreront pour une part importante dans l'appréciation des copies.
Les candidats sont invités à encadrer dans la mesure du possible les résultats de leurs calculs.
Aucun document n'est autorisé. L'utilisation de toute calculatrice et de tout matériel électronique est interdite. Seule l'utilisation d'une règle graduée est autorisée.
Si au cours de l'épreuve, un candidat repère ce qui lui semble être une erreur d'énoncé, il la signalera sur sa copie et poursuivra sa composition en expliquant les raisons des initiatives qu'il sera amené à prendre.
PROBLÈME 1
On définit la fonction I d'une variable réelle x par : I(x) = ∫_0^1(e^(xt) + e^(− xt))/(√(1 − t^2)) dt.
PARTIE I : Étude d'une suite d'intégrales
On pose, pour tout k de ℕ, W_k = ∫_0^(π/2)(sin(u))^k du.
Calculer les intégrales W_0 et W_1.
a. Soit k ∈ ℕ. À l'aide d'une intégration par parties, montrer : W_k − W_(k + 2) = 1/(k + 1)W_(k + 2).
b. En déduire : ∀k ∈ ℕ, W_(2k) = ((2k)!)/(2^(2k)(k!)^2)π/2.
PARTIE II : Une autre expression de I(x)
3. Montrer que, pour tout k de ℕ, l'intégrale ∫_0^1(t^k)/(√(1 − t^2)) dt converge et que ∫_0^1(t^k)/(√(1 − t^2)) dt = W_k. Pour cela, on pourra utiliser le changement de variable t = sin(u) après avoir justifié sa validité.
4. a. Montrer que la fonction I est définie sur ℝ et préciser sa parité.
b. Donner la valeur de I(0).
5. Soit x ∈ ℝ^+.
a. Soient t ∈ [0; 1] et n ∈ ℕ. En utilisant l'inégalité de Taylor-Lagrange à l'ordre 2n appliquée à la fonction u ⟼ e^u + e^(− u) entre 0 et xt, montrer :
b. En déduire, pour tout n de ℕ : |I(x) − ∑_(k = 0)^n(2x^(2k))/((2k)!)W_(2k)| ⩽ (x^(2n + 1)π)/(2(2n + 1)!)e^x.
c. En déduire que la série ∑_(k ⩾ 0)(x^(2k))/(2^(2k)(k!)^2) converge et que l'on a : ∑_(k = 0)^(+ ∞)(x^(2k))/(2^(2k)(k!)^2) = 1/πI(x).
PARTIE III : Équivalent de I(x) lorsque x tend vers + ∞
6. Montrer, pour tout x de ℝ^+ : 0 ⩽ ∫_0^1(e^(− xt))/(√(1 − t^2)) dt ⩽ π/2.
7. a. Montrer, pour tout v de [0; 1/2] : 1 ⩽ 1/(1 − v) ⩽ (1 + v)^2.
b. Soit x ∈ ℝ^+. Montrer, à l'aide du changement de variable u = 1 − t :
∫_0^1(e^(xt))/(√(1 − t^2)) dt = (e^x)/(√2)∫_0^1(e^(− xu))/(√u√(1 − u/2)) du
c. En déduire, pour tout x de ℝ^+:
(e^x)/(√2)∫_0^1(e^(− xu))/(√u) du ⩽ ∫_0^1(e^(xt))/(√(1 − t^2)) dt ⩽ (e^x)/(√2)∫_0^1(e^(− xu))/(√u) du + (e^x)/(2√2)∫_0^1 e^(− xu)√u du
a. Rappeler l'expression d'une densité de la loi normale d'espérance nulle et de variance 1/2. En déduire les convergences et les valeurs des intégrales suivantes :
∫_0^(+ ∞)e^(− t^2) dt et ∫_0^(+ ∞)t^2 e^(− t^2) dt
b. Soit x ∈ ℝ^(+ ∗). À l'aide du changement de variable t = √(xu), montrer :
∫_0^1(e^(− xu))/(√u) du ∼ _(x → + ∞)(√π)/(√x) et ∫_0^1 e^(− xu)√u du ∼ _(x → + ∞)(√π)/(2x√x)
En déduire : I(x) ∼ _(x → + ∞)(e^x√π)/(√(2x)).
PARTIE IV : Une application en probabilités
Dans cette partie, λ désigne un réel strictement positif.
On considère deux variables aléatoires indépendantes X et Y définies sur un même espace probabilisé (Ω, A, P), suivant toutes les deux la loi de Poisson de paramètre λ.
On s'intéresse à la probabilité de l'événement [X = Y].
10. a. Écrire une fonction Scilab d'en-tête function r = estime (lambda) qui, prenant en argument un réel lambda strictement positif, simule un grand nombre de fois les variables aléatoires X et Y, et renvoie une estimation de P([X = Y]).
On rappelle que l'instruction grand(1,1, 'poi', lambda) simule la loi de Poisson de paramètre lambda.
b. Grâce à la fonction précédente, on trace, en fonction de λ, une estimation de √(πλ)P([X = Y]) pour λ ∈ ]0; 20] et on obtient le graphe suivant :
À la vue de ce graphe, proposer un équivalent de P([X = Y]) lorsque λ tend vers + ∞.
11. Montrer : P([X = Y]) = e^(− 2λ)∑_(k = 0)^(+ ∞)(λ^(2k))/((k!)^2).
12. a. Exprimer P([X = Y]) en fonction de λ et de la fonction I.
b. En déduire un équivalent de P([X = Y]) lorsque λ tend vers + ∞.
PROBLÈME 2
Soit n un entier naturel supérieur ou égal à 2 .
On note E = ℝ_n[X] l'espace vectoriel des polynômes à coefficients réels de degré inférieur ou égal à n, et ℬ = (1, X, …, X^n) la base canonique de E.
On note, pour tout polynôme P de E :
φ(P) = 1/nX(1 − X)P^′ + XP
PARTIE I : Étude d'un endomorphisme de polynômes
a. Montrer que φ est une application linéaire.
b. Calculer φ(X^n).
c. Montrer que φ est un endomorphisme de E.
Déterminer la matrice A de φ dans la base ℬ. Préciser le rang de cette matrice.
a. L'endomorphisme φ est-il injectif? Justifier votre réponse.
b. Soit P un polynôme non nul de Ker(φ).
Montrer que P admet 1 comme unique racine (dans ℂ ), et que P est de degré n.
c. En déduire une base de Ker(φ).
4. Montrer que φ est diagonalisable.
5. On pose, pour tout k de [ [0; n] ] : P_k = X^k(1 − X)^(n − k).
a. Pour tout k de [ [0; n] ], calculer φ(P_k).
b. Montrer que la famille ( P_0, P_1, …, P_n ) est une base de E et expliciter la matrice de φ dans cette base.
c. Déterminer les sous-espaces propres de φ.
PARTIE II : Étude d'une suite de variables aléatoires
On considère une urne contenant n boules numérotées de 1 à n, indiscernables au toucher. On effectue dans cette urne une suite de tirages avec remise, et on suppose que l'expérience est modélisée par un espace probabilisé ( Ω, A, P ).
On note alors, pour tout k de ℕ^∗, Y_k la variable aléatoire prenant pour valeur le nombre de numéros distincts qui ont été tirés lors des k premiers tirages.
Par convention, on pose: Y_0 = 0.
6. On note, pour tout k de ℕ^∗, Z_k la variable aléatoire prenant la valeur 1 si le k-ième tirage amène un numéro qui n'a pas été tiré lors des tirages précédents, et prenant la valeur 0 sinon.
On pourra remarquer que, en particulier, Z_1 = 1.
a. Déterminer la loi de Z_2.
b. Soit k ∈ ℕ^∗. Calculer, pour tout j de [ [1; k] ], la valeur de P_([Y_k = j])([Z_(k + 1) = 1]).
En déduire : P([Z_(k + 1) = 1]) = 1 − 1/nE(Y_k).
c. Soit k ∈ ℕ^∗. En remarquant que Y_k = ∑_(j = 1)^k Z_j, montrer :
d. En déduire, pour tout k de ℕ^∗ : P([Z_k = 1]) = (1 − 1/n)^(k − 1).
e. Déterminer alors, pour tout k de ℕ, l'espérance de Y_k.
7. On note, pour tout k de ℕ, G_k le polynôme de ℝ_n[X] défini par :
G_k = ∑_(i = 0)^n P([Y_k = i])X^i
a. Déterminer les polynômes G_0, G_1 et G_2.
b. Montrer, pour tout k de ℕ et tout i de [ [0; n] ] :
P([Y_(k + 1) = i]) = i/nP([Y_k = i]) + (1 − (i − 1)/n)P([Y_k = i − 1])
c. Montrer, pour tout k de ℕ :
G_(k + 1) = 1/nX(1 − X)G_k^′ + XG_k
d. En déduire, pour tout k de ℕ :
G_k = φ^k(G_0)
a. Pour tout k de ℕ, calculer G_k(1) et G_k^′(1).
b. En déduire, pour tout k de ℕ :
E(Y_(k + 1)) = (1 − 1/n)E(Y_k) + 1
c. Retrouver alors, pour tout k de ℕ, l'expression de E(Y_k) obtenue en question 6.e.
9. On rappelle que les polynômes P_0, …, P_n sont définis à la question 5. par :
pour tout j de [ [0; n] ], P_j = X^j(1 − X)^(n − j).
a. Calculer ∑_(j = 0)^n(n/j)P_j.
b. Montrer, pour tout j de [ [0; n] ] :
Sur quels chapitres porte le sujet de mathématiques approfondies Emlyon ECS 2018 ?
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Sur quels chapitres porte le sujet de mathématiques approfondies Emlyon ECS 2018 ?
+
Il porte sur les intégrales de Wallis, les séries entières, la loi de Poisson, ainsi que la réduction des endomorphismes appliquée à un problème de tirages avec remise.
Les deux problèmes sont-ils liés ?
+
Non, le problème 1 sur l'intégrale I(x) et le problème 2 sur l'endomorphisme de polynômes sont totalement indépendants.
Quel lien existe-t-il entre le problème 2 et les probabilités ?
+
L'endomorphisme phi étudié en partie I du problème 2 permet, par ses itérées, de retrouver la loi du nombre de numéros distincts tirés dans une urne, étudiée en partie II.
Faut-il maîtriser Scilab pour ce sujet ?
+
Une question du problème 1 demande d'écrire une fonction Scilab simulant deux variables de Poisson pour estimer une probabilité.
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