BCE Maths approfondies emlyon ECS 2009Sujet et corrigé

Epreuve de maths approfondies - ECS 2009

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Annale de maths approfondies BCE emlyon pour la filiere ECS, session 2009.

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EML

____

MATS

Concepteur : EMLYON Business School

Première épreuve (option scientifique) MATHÉMATIQUES

Lundi 27 avril 2009 de 8 heures à 12 heures

Les candidats ne doivent faire usage d'aucun document; l'utilisation de toute calculatrice et de tout matériel électronique est interdite.
Seule l'utilisation d'une règle graduée est autorisée.

PROBLÈME 1

Partie I - Calcul d'une intégrale
On note

(a, b)

un couple de réels strictement positifs.

Montrer que l'intégrale impropre $\int_0^(+ \infty)(e^(- ax) - e^(- bx))/x dx$ converge.
a. Établir, pour tout $(ε, X)$ appartenant à $]0; + \infty[^2$ tel que $ε ⩽ X$ :

\int_ε^X(e^(- ax))/x dx = \int_(aε)^(aX)(e^(- y))/y dy et \int_ε^X(e^(- bx))/x dx = \int_(bε)^(bX)(e^(- y))/y dy

(À cet effet, on pourra utiliser des changements de variable.)
b. En déduire, pour tout

(ε, X)

appartenant à

]0; + \infty[^2

tel que

ε ⩽ X

\int_ε^X(e^(- ax) - e^(- bx))/x dx = \int_(aε)^(bε)(e^(- y))/y dy - \int_(aX)^(bX)(e^(- y))/y dy.

a. Montrer que l'application $h : [0; + ∞[ ⟶ ℝ, y ⟼ h(y) = {(1 − e^(− y))/y, si, y ≠ 0; 1, si, y = 0$ est continue sur $[0; + \infty[$ .
b. En déduire : $\int_(aε)^(bε)(e^(- y))/y dy ⟶ _(ε ⟶ 0)lnb/a$ .
c. Établir, pour tout $X$ de $]0; + \infty[ : \int_0^X(e^(- ax) - e^(- bx))/x dx = lnb/a - \int_(aX)^(bX)(e^(- y))/y dy$ .
d. En déduire : $\int_0^(+ \infty)(e^(- ax) - e^(- bx))/x dx = lnb/a$ .

Partie II - Étude d'un produit scalaire

On note

E

l'ensemble des applications

f : [0; + \infty[ ⟶ ℝ

, bornées, de classe

C^1

, telles que

f(0) = 0

Démontrer que $E$ est un sous-espace vectoriel de l'espace vectoriel réel des applications de $[0; + \infty[$ dans $ℝ$ .
On considère les applications $f_1, f_2, f_3, f_4$ définies, pour tout $x \in [0; + \infty[$ , par :

f_1(x) = sinx, f_2(x) = cosx, f_3(x) = e^x - 1, f_4(x) = 1 - e^(- x)

Pour chacune de ces applications, indiquer, en le justifiant, si elle est ou non un élément de

E

.
3. a. Montrer, pour tout

f \in E : (f(x))/x ⟶ _(x ⟶ 0)f^'(0)

.
b. Montrer que, pour tout

(f, g) \in E^2

, l'intégrale impropre

\int_0^(+ \infty)(f(x)g(x))/(x^2) dx

converge.

On note (.|.):

E^2 ⟶ ℝ, (f, g) ⟼ (f|g) = \int_0^(+ \infty)(f(x)g(x))/(x^2) dx

.
4. Établir que (.|.) est un produit scalaire sur

E

.
5. Démontrer, pour tout

(f, g) \in E^2 : (f|g) = \int_0^(+ \infty)(f^'(x)g(x) + f(x)g^'(x))/x dx

.
(À cet effet, on pourra commencer par effectuer une intégration par parties sur un segment.)
6. On note, pour tout

α \in ]0; + \infty[, u_α : [0; + \infty[ ⟶ ℝ

, définie, pour tout

x \in [0; + \infty[

, par :

u_α(x) = 1 - e^(- αx)

a. Vérifier :

\forallα \in ]0; + \infty[, u_α \in E

.
b. Calculer, pour tout

(α, β) \in ]0; + \infty[^2

, le produit scalaire

(u_α|u_β)

.
(À cet effet, on pourra utiliser les résultats de II. 5 et I.3.d.)
c. Établir, pour tout

(α, β) \in ]0; + \infty[^2 : (u_α|u_β) > 0

Partie III - Étude de densités de variables aléatoires

On note

c

un réel strictement positif.
On considère l'application

v : ℝ ⟶ ℝ

définie, pour tout réel

x

, par :

v(x) = {0, si x ⩽ 0; (e^(− c^2 x) − e^(− 4c^2 x))/(xln4), si x > 0

Montrer que $v$ est une densité d'une variable aléatoire réelle.

Soit

X

une variable aléatoire réelle, à valeurs positives ou nulles, admettant

v

comme densité.
2. Montrer que

X

admet une espérance et calculer

E(X)

en fonction de

c

.
3. On note

Y

la variable aléatoire réelle définie par :

Y = \sqrtX

.
a. Montrer que

Y

est une variable aléatoire réelle à densité et calculer une densité de

Y

.
b. Montrer que la variable aléatoire réelle

Y

admet une espérance et une variance, et déterminer

E(Y)

V(Y)

en fonction de

c

PROBLÈME 2

Notations et définitions

Soit

n

un entier supérieur ou égal à 2 .

La matrice identité de $M_n(ℝ)$ est notée $I_n$ et la matrice nulle de $M_n(ℝ)$ est notée $0_n$ .
Soit $M \in M_n(ℝ)$ . On dit que $M$ est nilpotente s'il existe un entier naturel non nul $p$ tel que $M^p = 0_n$ .
Soient $M \in M_n(ℝ)$ et $λ$ une valeur propre réelle de $M$ . On note $SEP(M, λ)$ le sous-espace propre de $M$ associé à $λ$ .
On dit qu'une matrice $S$ de $M_n(ℝ)$ est symétrique positive lorsqu'elle est symétrique et vérifie :

\forallX \in M_(n, 1)(ℝ), ^t XSX ⩾ 0

Soient $A, R \in M_n(ℝ)$ . On dit que $R$ est une racine carrée de $A$ lorsqu'elle vérifie $R^2 = A$ .

Le but de ce problème est d'étudier la notion de racine carrée d'une matrice dans quelques cas particuliers.

Partie I - Deux exemples

Soient $θ \in ℝ$ et $R_θ = (cosθ, sinθ; sinθ, - cosθ)$ .

Calculer

(R_θ)^2

et en déduire que la matrice

I_2

admet une infinité de racines carrées.
2. Montrer que la matrice

(0, 1; 0, 0)

n'admet pas de racine carrée.

Partie II - Racines carrées d'une matrice de la forme $I_n + N$ avec $N$ nilpotente

Donner le développement limité à l'ordre 3 , au voisinage de 0 , de $t ⟼ \sqrt(1 + t)$ .

On note

\sqrt(1 + t) = a_0 + a_1 t + a_2 t^2 + a_3 t^3 + o_(t \to 0)(t^3)

ce développement limité.
2. Montrer qu'il existe un polynôme

Q

ℝ[X]

tel que :

1 + X = (a_0 + a_1 X + a_2 X^2 + a_3 X^3)^2 + X^4 Q(X)

Soit $N \in M_n(ℝ)$ vérifiant $N^4 = 0_n$ . Déduire de la question précédente une racine carrée de $I_n + N$ .

Partie III - Racines carrées d'une matrice de $M_n(ℝ)$ admettant $n$ valeurs propres strictement positives et deux à deux distinctes

Soient $f$ et $g$ deux endomorphismes de $ℝ^n$ vérifiant $f \circ g = g \circ f$ . On suppose de plus que $f$ admet $n$ valeurs propres réelles deux à deux distinctes.
a. Montrer que chaque sous-espace propre de $f$ est stable par $g$ .
b. En déduire que tout vecteur propre de $f$ est vecteur propre de $g$ .
c. Justifier que $f$ est diagonalisable.

Montrer que, pour toute base

B

ℝ^n

constituée de vecteurs propres de

f

, la matrice associée à

g

relativement à la base

B

est diagonale. En déduire que

g

est diagonalisable.
2. Soit

A

une matrice de

M_n(ℝ)

admettant

n

valeurs propres réelles strictement positives et deux à deux distinctes.
a. Justifier l'existence d'une matrice inversible

P

M_n(ℝ)

telle que la matrice

D = P^(- 1)AP

soit diagonale.
b. Donner un exemple de racine carrée de

A

. (On l'exprimera à l'aide de

P

et des éléments diagonaux de

D

.)
c. Soit

R

une racine carrée de

A

. Vérifier que

AR = RA

En déduire que la matrice

P^(- 1)RP

est diagonale.
d. Établir que

A

admet exactement

2^n

racines carrées.

Partie IV - Racine carrée symétrique positive d'une matrice symétrique positive de $M_n(ℝ)$

Soit

S

une matrice de

M_n(ℝ)

symétrique positive.

Montrer que toutes les valeurs propres de $S$ sont positives ou nulles.
Justifier l'existence d'une matrice orthogonale $P$ de $M_n(ℝ)$ telle que la matrice $D = P^(- 1)SP$ soit diagonale.
Déterminer une racine carrée de $S$ qui soit symétrique positive. (On l'exprimera à l'aide de $P$ et des éléments diagonaux de $D$ .)
On veut montrer que $S$ admet une unique racine carrée symétrique positive.

Soit

R

une matrice symétrique positive telle

R^2 = S

.
a. Soit

λ

une valeur propre de

R

. Montrer que

λ^2

est valeur propre de

S

et que les sous-espaces propres associés vérifient :

SEP(R, λ) \subset SEP(S, λ^2)

.
On note

p

le nombre de valeurs propres deux à deux distinctes de

R

λ_1, \dots, λ_p

les

p

valeurs propres deux à deux distinctes de

R

.
b. Justifier :

⨁_(i = 1)^p SEP(R, λ_i) \subset ⨁_(i = 1)^p SEP(S, λ_i^2)

.
c. En déduire :

n = \sum_(i = 1)^p dim(SEP(R, λ_i)) ⩽ \sum_(i = 1)^p dim(SEP(S, λ_i^2)) ⩽ n

.
d. Montrer que

λ_1^2, \dots, λ_p^2

sont les seules valeurs propres de

S

et que

∀i ∈ {1, …, p}, SEP(R, λ_i) = SEP(S, λ_i^2)

.
e. Montrer que la matrice

P^(- 1)RP

est diagonale.
f. En déduire que

S

admet une unique racine carrée symétrique positive.

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Première épreuve (option scientifique) MATHÉMATIQUES

Lundi 27 avril 2009 de 8 heures à 12 heures

PROBLÈME 1

Partie II - Étude d'un produit scalaire

Partie III - Étude de densités de variables aléatoires

PROBLÈME 2

Notations et définitions

Partie I - Deux exemples

Partie II - Racines carrées d'une matrice de la forme I_n + N avec N nilpotente

Partie III - Racines carrées d'une matrice de M_n(ℝ) admettant n valeurs propres strictement positives et deux à deux distinctes

Partie IV - Racine carrée symétrique positive d'une matrice symétrique positive de M_n(ℝ)

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Partie II - Racines carrées d'une matrice de la forme $I_n + N$ avec $N$ nilpotente

Partie III - Racines carrées d'une matrice de $M_n(ℝ)$ admettant $n$ valeurs propres strictement positives et deux à deux distinctes

Partie IV - Racine carrée symétrique positive d'une matrice symétrique positive de $M_n(ℝ)$