Durée : 4 heuresCandidats bénéficiant de la mesure « Tiers-temps » : 8h00-13h20
L'énoncé comporte 7 pages.
CONSIGNES
Tous les feuillets doivent être identifiables et paginés par le candidat.
Aucun document n'est permis, aucun instrument de calcul n'est autorisé.
Conformément au règlement du concours, l'usage d'appareils communiquants ou connectés est formellement interdit durant l'épreuve.
Les candidats sont invités à soigner la présentation de leur copie, à mettre en évidence les principaux résultats, à respecter les notations de l'énoncé et à donner des démonstrations complètes - mais brèves - de leurs affirmations.
Si, au cours de l'épreuve, un candidat repère ce qui lui semble être une erreur d'énoncé, il le signale sur sa copie et poursuit sa composition en expliquant les raisons des initiatives qu'il est amené à prendre.
Ce document est la propriété d'ECRICOME, le candidat est autorisé à le conserver à l'issue de l'épreuve.
Cócricome
EXERCICE 1
On définit la suite des polynômes de Tchebychev par T_0 = 1, T_1 = X et pour tout n ∈ ℕ :
T_(n + 1)(X) = 2XT_n(X) − T_(n − 1)(X).
On rappelle que pour tout (a, b) ∈ ℝ^2 :
cos(a)cos(b) = 1/2(cos(a + b) + cos(a − b)).
1.(a) Expliciter T_2 et T_3.
(b) Déterminer pour tout n ∈ ℕ^∗ le degré de T_n.
(c) Montrer que, pour tout n ∈ ℕ, (T_0, T_1, …, T_n) est une base de ℝ_n[X].
2.(a) Montrer que, pour tout n ∈ ℕ et tout x ∈ ℝ :
cos((n + 2)x) + cos(nx) = 2cos(x)cos((n + 1)x)
(b) Montrer que, pour tout n ∈ ℕ et x ∈ ℝ :
T_n(cosx) = cos(nx).
3.(a) Montrer que pour tout couple (P, Q) ∈ (ℝ[X])^2, l'intégrale ∫_(− 1)^1(P(t)Q(t))/(√(1 − t^2)) dt est convergente.
(b) Montrer que l'application
définit un produit scalaire sur ℝ[X].
On notera ⟨ ⋅, ⋅ ⟩ ce produit scalaire et ‖ ⋅ ‖ la norme associée.
(c) Montrer que si n et m sont deux entiers naturels distincts, alors ∫_0^π cos(nx)cos(mx)dx = 0.
(d) Montrer que si n et m sont deux entiers naturels distincts, ⟨T_n, T_m⟩ = 0.
Indication : On pourra procéder au changement de variable t = cos(x) après avoir justifié sa validité.
(e) Montrer que :
‖T_n‖^2 = {π/2, si n ⩾ 1,; π, si n = 0.
(f) En déduire une base orthonormée de ℝ_n[X] pour le produit scalaire ⟨ ⋅, ⋅ ⟩.
4. Soit n un entier non nul. On définit d_n la distance de X^n à ℝ_(n − 1)[X] par :
d_n = inf{‖X^n − P‖, P ∈ ℝ_(n − 1)[X]}.
(a) Justifier que : X^n = ∑_(k = 0)^n⟨X^n, T_k⟩(T_k)/(‖T_k‖^2).
(b) Montrer alors que : d_n = (|⟨X^n, T_n⟩|)/(‖T_n‖).
(c) Déterminer en particulier la valeur de d_2.
Cócricome
EXERCICE 2
Soit (u_n)_(n ⩾ 0) une suite de réels. Si la série numérique de terme général u_n converge, on dit qu'elle converge à l'ordre 1 et on note alors (R_(1, n))_(n ⩾ 0) la suite des restes de cette série, autrement dit :
∀n ∈ ℕ, R_(1, n) = ∑_(k = n + 1)^(+ ∞)u_k.
Si à nouveau la série de terme général R_(1, n) converge, on dit que la série ∑_(n ⩾ 0)u_n converge à l'ordre 2 et note (R_(2, n))_(n ⩾ 0) la suite des restes de cette série, autrement dit :
∀n ∈ ℕ, R_(2, n) = ∑_(k = n + 1)^(+ ∞)R_(1, k).
Plus généralement, pour tout entier p ⩾ 2, si la série de terme général R_(p − 1, n) converge, on dit que la série ∑_(n ⩾ 0)u_n converge à l'ordre p et on note alors (R_(p, n))_(n ⩾ 0) la suite des restes de cette série :
R_(p, n) = ∑_(k = n + 1)^(+ ∞)R_(p − 1, k).
On peut noter : pour tout n ∈ ℕ, R_(0, n) = u_n.
Le but de cet exercice est d'étudier, sur certains exemples, l'ordre de la convergence de la série de terme général u_n.
Soit α ∈ ℝ. On considère, dans cette question uniquement, que pour tout n ∈ ℕ^∗ : u_n = 1/(n^α).
(a) Rappeler la condition nécessaire est suffisante sous laquelle ∑_(n ⩾ 1)u_n converge.
On se place désormais sous cette condition.
(b) Pour tout entier k ⩾ 2, justifier que :
(e) Sous quelle condition nécessaire et suffisante sur α, la série ∑_(n ⩾ 1)u_n converge-t-elle à l'ordre 2 ?
(f) Conjecturer à quel ordre la série ∑_(n ⩾ 1)u_n converge.
Cocricome
On considère, dans cette question uniquement, que pour tout n ∈ ℕ^∗ : u_n = 1/(n^n).
(a) Montrer que la série ∑_(n ⩾ 1)u_n converge.
(b) Montrer que, pour tout k ⩾ 3, u_k ⩽ 1/(3^k), puis en déduire que, pour tout n ⩾ 2 :
0 ⩽ R_(1, n) ⩽ 1/(2.3^n)
(c) En déduire que la série ∑_(n ⩾ 1)u_n converge à l'ordre 2 , et que, pour tout n ⩾ 1 :
0 ⩽ R_(2, n) ⩽ 1/(4.3^n)
(d) Montrer que, pour tout p ⩾ 1, la série ∑_(n ⩾ 1)u_n converge à l'ordre p et que pour tout n ⩾ 1 :
0 ⩽ R_(p, n) ⩽ 1/(2^p ⋅ 3^n)
(e) La série ∑_(n ⩾ 1)R_(n, n) converge-t-elle?
3. On considère, dans cette question uniquement, que pour tout n ∈ ℕ : u_n = ((− 1)^n)/(n + 1).
(a) Montrer que :
lim_(n → + ∞)∫_0^1(t^n)/(1 + t) dt = 0
(b) Soit N ∈ ℕ. En remarquant que pour tout k ∈ ℕ, 1/(k + 1) = ∫_0^1 t^k dt, montrer que :
(c) En déduire que la série ∑_(n ⩾ 0)u_n converge et que, pour tout n ⩾ 0 :
R_(1, n) = ∫_0^1((− t)^(n + 1))/(1 + t) dt.
(d) Montrer par récurrence que, pour tout entier p ⩾ 1, la série ∑_(n ⩾ 0)u_n converge à l'ordre p et que pour tout n ⩾ 0 :
R_(p, n) = ∫_0^1((− t)^(n + p))/((1 + t)^p) dt.
PROBLÈME
On étudie dans ce problème un processus temporel de comptage appelé processus de Poisson. L'objectif de ce problème est d'étudier ce processus en partant de deux définitions différentes, qui se révèleront être équivalentes.
Les deux parties de ce problème sont indépendantes.
Partie A - Définition par X_1, X_2, …, X_n.
On considère dans cette partie une suite de variables aléatoires (X_n)_(n ∈ ℕ^∗), mutuellement indépendantes et identiquement distribuées selon une loi exponentielle de paramètre λ ∈ ℝ_+^∗.
Pour tout n ∈ ℕ, on note
S_n = ∑_(k = 1)^n X_k,
avec la convention S_0 = 0.
Enfin, pour tout t ∈ ℝ_+^∗, on note N_t la variable aléatoire égale à la plus grande valeur de n pour laquelle S_n est inférieure ou égale à t, c'est-à-dire :
N_t = sup{n ∈ ℕ, S_n ⩽ t}.
Par convention, si l'ensemble écrit ci-dessus n'est pas fini, on pose : N_t = − 1.
Figure 1 - Exemple de réalisation de N_t en fonction de t.
Pour tout réel t strictement positif, montrer que : P(N_t = 0) = e^(− λt).
Montrer qu'une variable aléatoire X suit la loi exponentielle de paramètre λ si et seulement si λX suit la loi γ de paramètre 1.
Pour tout entier n non nul, en déduire une densité de la variable aléatoire λS_n.
Pour tout réel t strictement positif et pour tout entier naturel n, comparer les événements [ N_t ⩾ n ] et [S_n ⩽ t].
En déduire que pour tout n ∈ ℕ^∗ et t ∈ ℝ_+:
P(N_t = n) = ∫_0^(λt)(u^(n − 1))/((n − 1)!)e^(− u) du − ∫_0^(λt)(u^n)/(n!)e^(− u) du.
En intégrant par parties une des intégrales ci-dessus, montrer que :
∀n ∈ ℕ^∗, P(N_t = n) = ((λt)^n)/(n!)e^(− λt).
Quelle est la loi de N_t ?
7. On rappelle que l'instruction Scilab grand( n, p, "exp", 1 /lambda) renvoie une matrice à n lignes et p colonnes dont les coefficients sont des réalisations de variables aléatoires indépendantes de loi exponentielle de paramètre lambda.
On rappelle également que l'instruction Scilab plot2d (x, y) effectue un tracé qui relie les points (x_1, y_1), (x_2, y_2), …, (x_n, y_n) si x = [x_1, x_2, …, x_n] et y = [y_1, y_2, …, y_n] sont deux vecteurs de même taille.
(a) Écrire une fonction d'en-tête function U = simulation_ S(n, lambda) renvoyant une réalisation de S_n.
(b) Écrire une fonction d'en-tête function V = simulation_N(t,lambda) renvoyant une réalisation de N_t.
(c) On a commencé à écrire une fonction evolution_S renvoyant toutes les valeurs S_1, S_2, …, S_n tant que S_n ⩽ t. Compléter cette fonction.
function L = evolution_S(t,lambda)
L = []
S = grand(1,1,"exp",1/lambda)
while ..........
L= [L,S]
S = S + .........
end
endfunction
(d) On a commencé à écrire un script Scilab ci-dessous. Dans ce script, on note S = [S_1, …, S_n] et on souhaite tracer l'évolution de N_t du temps 0 au temps S_n de la même manière que sur la figure 1.
function S = trace_N(t,lambda)
S=evolution_S(T;lambda)
n = length(S)
plot2d([0,S(1)],[0,0])
for i = 1:n-1
..........
end
endfunction
Par laquelle des instructions suivantes faut-il compléter la ligne manquante?
i) plot2d([S(i),S(i+1)],[i,i])
ii) plot2d([i,i+1],[S(i),S(i+1)])
iii) plot2d([S(i-1),S(i)],[i,i])
iv) plot2d([i,S(i+1)],[i,i])
(e) Un ⋅ e étudiant ⋅ e exécute le script précédent pour T = 7 et λ = 1 et on obtient la figure suivante :
Que valent dans ce cas N_(3.2) et N_(5.5) ?
Donner une valeur approximative de S_2 et de X_4.
Partie B - Définition par (N_t)_(t ∈ ℝ_+)
On rappelle que les parties de ce problème sont indépendantes.
Dans cette partie, on définit une famille de variables aléatoires (N_t)_(t ∈ ℝ_+)vérifiant les propriétés suivantes : (H_1) : N_0 = 0 et pour tout t ∈ ℝ_+, N_t(Ω) ⊂ ℕ; (H_2) : pour tout t > 0, P(N_t = 0) < 1; (H_3) : pour tous réels h ⩾ 0 et t ⩾ 0, la variable aléatoire N_(t + h) − N_t est indépendante de la variable aléatoire N_t; de plus, N_(t + h) − N_t et N_h ont la même loi; (H_4) : P(N_h ⩾ 2) = o(h) lorsque h tend vers 0 par valeurs positives.
Enfin, pour tout n ∈ ℕ et tout t ∈ ℝ_+, on note :
p_n(t) = P(N_t = n).
Propriétés élémentaires.
(a) Que vaut p_0(0) ?
(b) Montrer que le processus est croissant, c'est-à-dire que pour tous t, h ∈ ℝ_+:
P(N_(t + h) − N_t ⩾ 0) = 1.
Détermination de p_0.
(a) En écrivant N_(t + h) = N_t + (N_(t + h) − N_t), montrer que pour tout t, h ∈ ℝ_+:
p_0(t + h) = p_0(t)p_0(h).
(b) En déduire que la fonction p_0 est strictement décroissante sur ℝ_+.
(c) Montrer que pour tous n ∈ ℕ et s ∈ ℝ_+:
p_0(ns) = (p_0(s))^n.
En déduire que pour tous m ∈ ℕ et n ∈ ℕ^∗ :
p_0(m/n) = (p_0(1))^(m/n).
On pourra poser s = m/n et utiliser le début de la question.
(d) Soit t ∈ ℝ_+^∗. On admet qu'il existe deux suites (u_n), (v_n) de nombres rationnels telles que :
∀n ∈ ℕ, u_n ⩽ t ⩽ v_n et lim_(n → + ∞)u_n = lim_(n → + ∞)v_n = t.
Soit λ ∈ ℝ_+^∗ tel que p_0(1) = e^(− λ). Montrer que :
p_0(t) = e^(− λt).
Loi de N_t.
Par la suite, n ∈ ℕ^∗, t ∈ ℝ_+et h ∈ ℝ_+^∗.
(a) Donner le développement limité à l'ordre 1 de p_0(h) lorsque h tend vers 0 .
(b) Après avoir justifié que ( [N_h = 0], [N_h = 1], [N_h ⩾ 2] ) est un système complet d'événements, montrer que :
p_1(h) = _(h → 0)λh + o(h).
(c) En écrivant N_(t + h) = N_h + (N_(t + h) − N_h) et en utilisant le système complet d'événements introduit précédemment, montrer que
En déduire que p_n est dérivable en t et donner l'expression de p_n^′(t).
(e) Pour tous n de ℕ et t de ℝ_+, on pose q_n(t) = e^(λt)p_n(t).
Justifier la dérivabilité de q_n, puis montrer que :
∀n ∈ ℕ^∗, ∀t ∈ ℝ_+, q_n^′(t) = λq_(n − 1)(t).
(f) Montrer par récurrence que :
∀n ∈ ℕ, q_n(t) = ((λt)^n)/(n!).
(g) Quelle est la loi de N_t ?
11. Pour tout n ∈ ℕ, on note S_n le premier instant t où N_t vaut n, c'est-à-dire :
S_n = inf{t ∈ ℝ_+, N_t = n}.
(a) Que vaut S_0 ? On le justifiera en revenant précisément à la définition donnée.
(b) Soit t ∈ ℝ_+. Exprimer l'événement [ S_1 > t ] en fonction de N_t.
(c) En déduire que, pour tout t ∈ ℝ_+:
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