BCE Maths appliquées EDHEC ECE 2006Sujet et corrigé

Epreuve de maths appliquées - ECE 2006

Pas encore noté

Explorer les annales

BanqueBCE Année2006 FilièreECE MatièreMathématiques

Annales BCE ECE Mathématiques BCE ECE 2006 ECE Mathématiques Mathématiques 2006

Téléchargements

Télécharger le sujet (PDF)

Corrigé

Lire en ligne LaTeX Word

Rapport du jury : non disponible

Source du document : annales-prepa.fr

Description

Annale de maths appliquées BCE EDHEC pour la filiere ECE, session 2006.

Ces sujets peuvent vous intéresser

Lecture du sujet en ligne

L'énoncé complet, avec les formules et les figures, sans ouvrir le PDF.

Sujet en PDF

ECOLE DE HAUTES ETUDES COMMERCIALES DU NORD
Concours d'admission sur classes préparatoires

MATHEMATIQUESOption économiqueMardi 9 mai 2006 de 8h à 12h

La présentation, la lisibilité, l'orthographe, la qualité de la rédaction, la clarté et la précision des raisonnements entreront pour une part importante dans l'appréciation des copies.
Les candidats sont invités à encadrer, dans la mesure du possible, les résultats de leurs calculs.
Ils ne doivent faire usage d'aucun document ; seule l'utilisation d'une règle graduée est autorisée.

L'utilisation de toute calculatrice et de tout matériel électronique est interdite.

Exercice 1

Soit

f

l'endomorphisme de

ℝ^3

dont la matrice dans la base canonique

B

ℝ^3

est :

A = (2, 10, 7; 1, 4, 3; - 2, - 8, - 6)

On note

I

la matrice unité de

ℳ_3(ℝ)

et on pose

u = (2, 1, - 2)

a) Montrer que $Kerf = vect(u)$ .
b) La matrice $A$ est-elle inversible ?
a) Déterminer le vecteur $v$ de $ℝ^3$ , dont la $è 2^(ème)$ coordonnée dans $ℬ$ vaut 1 , et tel que $f(v) = u$ .
b) Démontrer que le vecteur $w$ de $ℝ^3$ , dont la $è 2^(ème)$ coordonnée dans $B$ vaut 1 , et qui vérifie $f(w) = v$ est $w = (0, 1, - 1)$ .
c) Montrer que ( $u, v, w$ ) est une base de $ℝ^3$ que l'on notera $ℬ^'$ . On note $P$ la matrice de passage de la base $B$ à la base $B^'$ .
a) Écrire la matrice $N$ de $f$ relativement à la base $B^'$ . En déduire la seule valeur propre de $f$ . L'endomorphisme $f$ est-il diagonalisable ?
b) Donner la relation liant les matrices $A, N, P$ et $P^(- 1)$ , puis en déduire que, pour tout entier $k$ supérieur ou égal à 3 , on a : $A^k = 0$ .
On note $C_N$ (respectivement $C_A$ ) l'ensemble des matrices de $M_3(ℝ)$ qui commutent avec $N$ (respectivement $A$ ).
a) Montrer que $C_N$ est un sous-espace vectoriel de $M_3(ℝ)$ et que $C_N = vect(I, N, N^2)$ .

On admet que

C_A

est aussi un sous-espace vectoriel de

M_3(ℝ)

.
b) Établir que :

M \in C_A \Leftrightarrow P^(- 1)MP \in C_N

. En déduire que

C_A = vect(I, A, A^2)

Quelle est la dimension de

C_A

Exercice 2

On considère la fonction

f

définie par :

f(x) = {1/(2(1 − x)^2), si x ∈ [0, 1/2[; 1/(2x^2) si, x ∈ [1/2, 1[; 0 sinon.

Montrer que $f$ peut être considérée comme une densité de probabilité.

Dans toute la suite, on considère une variable aléatoire

X

définie sur un certain espace probabilisé

(Ω, A, P)

et admettant la fonction

f

pour densité.
2) Déterminer la fonction de répartition

F

X

.
3) Montrer que

X

a une espérance et que celle-ci vaut

1/2

.
4) a) Déterminer

E((X - 1)^2)

.
b) En déduire que

X

a une variance et que

V(X) = 3/4 - ln2

.
5) On appelle variable indicatrice d'un événement

A

, la variable de Bernoulli qui vaut 1 si

A

est réalisé et 0 sinon.
On considère maintenant la variable aléatoire

Y

, indicatrice de l'événement (

X \leq 1/2

) et la variable aléatoire

Z

, indicatrice de l'événement (

X > 1/2

).
a) Préciser la relation liant

Y

Z

puis établir sans calcul que le coefficient de corrélation linéaire de

Y

Z

, noté

ρ(Y, Z)

, est égal à -1 .
b) En déduire la valeur de la covariance de

Y

Z

Exercice 3

Soit

f

la fonction définie pour tout couple

(x, y)

ℝ^2

par :

f(x, y) = 2x^2 + 2y^2 + 2xy - x - y

a) Calculer les dérivées partielles premières de $f$ .
b) En déduire que le seul point critique de $f$ est $A = (1/6, 1/6)$ .
a) Calculer les dérivées partielles secondes de $f$ .
b) Montrer que $f$ présente un minimum local en $A$ et donner la valeur $m$ de ce minimum.
a) Développer $2(x + y/2 - 1/4)^2 + 3/2(y - 1/6)^2$ .
b) En déduire que $m$ est le minimum global de $f$ sur $ℝ^2$ .
On considère la fonction $g$ définie pour tout couple $(x, y)$ de $ℝ^2$ par : $g(x, y) = 2e^(2x) + 2e^(2y) + 2e^(x + y) - e^x - e^y$ .
a) Utiliser la question 3) pour établir que : $\forall(x, y) \in ℝ^2, g(x, y) \geq - 1/6$ .
b) En déduire que $g$ possède un minimum global sur $ℝ^2$ et préciser en quel point ce minimum est atteint.

Problème

Partie 1: étude d'une variable discrète sans mémoire.

Soit

X

une variable aléatoire discrète, à valeurs dans

ℕ

telle que :

\forallm \in ℕ, P(X \geq m) > 0

.
On suppose également que

X

vérifie :

\forall(m, n) \in ℕ \times ℕ, P_((X \geq m))(X \geq n + m) = P(X \geq n)

.
On pose

P(X = 0) = p

et on suppose que

p > 0

On pose $q = 1 - p$ . Montrer que $P(X \geq 1) = q$ . En déduire que $0 < q < 1$ .
Montrer que : $\forall(m, n) \in ℕ \times ℕ, P(X \geq n + m) = P(X \geq m)P(X \geq n)$ .
Pour tout $n$ de $ℕ$ , on pose $u_n = P(X \geq n)$ .
a) Utiliser la relation obtenue à la deuxième question pour montrer que la suite ( $u_n$ ) est géométrique.
b) Pour tout $n$ de $ℕ$ , exprimer $P(X \geq n)$ en fonction de $n$ et de $q$ .
c) Établir que : $\foralln \in ℕ, P(X = n) = P(X \geq n) - P(X \geq n + 1)$ .
d) En déduire que, pour tout $n$ de $ℕ$ , on a $P(X = n) = q^n p$ .
a) Reconnaître la loi suivie par la variable $X + 1$ .
b) En déduire $E(X)$ et $V(X)$ .

Partie 2 : taux de panne d'une variable discrète.

Pour toute variable aléatoire

Y

à valeurs dans

ℕ

et telle que, pour tout

n

ℕ, P(Y \geq n) > 0

, on définit le taux de panne de

Y

à l'instant

n

, noté

λ_n

, par :

\foralln \in ℕ, λ_n = P_((Y \geq n))(Y = n)

a) Montrer que : $\foralln \in ℕ, λ_n = (P(Y = n))/(P(Y \geq n))$ .
b) En déduire que: $\foralln \in ℕ, 1 - λ_n = (P(Y \geq n + 1))/(P(Y \geq n))$ .
c) Établir alors que : $\foralln \in ℕ, 0 \leq λ_n < 1$ .
d) Montrer par récurrence, que : $\foralln \in ℕ^*, P(Y \geq n) = \prod_(k = 0)^(n - 1)(1 - λ_k)$ .
a) Montrer que: $\foralln \in ℕ^*, \sum_(k = 0)^(n - 1)P(Y = k) = 1 - P(Y \geq n)$ .
b) En déduire que $lim_(n \to + \infty)P(Y \geq n) = 0$ .
c) Montrer que $lim_(n \to + \infty)\sum_(k = 0)^(n - 1) - ln(1 - λ_k) = + \infty$ .
d) Conclure quant à la nature de la série de terme général $λ_n$ .
a) Compléter la déclaration de fonction récursive suivante pour qu'elle renvoie la valeur de $n!$ lorsqu' on appelle $f(n)$ .

Function f(n : integer) : integer ;
Begin
If (n=0) then f:= __----
    else f:= __-_--- ;
end;

b) On considère la déclaration de fonction récursive suivante :

Function \(g(a:\) real ; \(n:\) integer ) : real ;
Begin
If \((n=0)\) then \(g:=1\)
    else \(g:=a * g(a, n-1)\);
end ;

Dire quel est le résultat retourné à l'appel de

g(a, n)

.
c) Proposer un programme (sans écrire la partie déclarative) utilisant ces deux fonctions et permettant d'une part le calcul de la somme

\sum_(k = 0)^(n - 1)(a^k)/(k!)e^(- a)

et d'autre part, à l'aide du résultat de la question 1a), le calcul et l'affichage du taux de panne à l'instant

n

d'une variable aléatoire suivant la loi de Poisson de paramètre

a > 0

, lorsque

n

et a sont entrés au clavier par l'utilisateur (on supposera

n \geq 1

).
d) Compléter la déclaration de fonction suivante pour qu'elle renvoie la valeur de

à \sum_(k = 0)^(n - 1)(a^k)/(k!)e^(- a) à l'appel de sigma(a, n).; Function sigma(a : real; n : integer) : real;; var k : integer;; p : real;; Begin; p:=1; s:=1;; For k:=1 to n - 1 do begin p:=p*a/k; s:=\dots\dots.; end;; s:=\dots\dots;; sigma :=s;; end;

Partie 3 : caractérisation des variables dont la loi est du type de celle de $X$ .

Déterminer le taux de panne de la variable $X$ dont la loi a été trouvée à la question 3d) de la partie 1.
On considère une variable aléatoire $Z$ , à valeurs dans $ℕ$ , et vérifiant : $\foralln \in ℕ, P(Z \geq n) > 0$ . On suppose que le taux de panne de $Z$ est constant, c'est-à-dire que l'on a : $\foralln \in ℕ, λ_n = λ$ .
a) Montrer que $0 < λ < 1$ .
b) Pour tout $n$ de $ℕ$ , déterminer $P(Z \geq n)$ en fonction de $λ$ et $n$ .
c) Conclure que les seules variables aléatoires $Z$ à valeurs dans $ℕ$ , dont le taux de panne est constant et telles que pour tout $n$ de $ℕ, P(Z \geq n) > 0$ , sont les variables dont la loi est du type de celle de $X$ .

Pas de description pour le moment

Commentaires• BCE Maths appliquées EDHEC ECE 2006

Connectez-vous pour participer aux discussions

Partagez vos avis, posez des questions et échangez avec la communauté

Chargement des commentaires...

Explorer les annales

Téléchargements

Description

Ces sujets peuvent vous intéresser

Lecture du sujet en ligne

ECOLE DE HAUTES ETUDES COMMERCIALES DU NORD Concours d'admission sur classes préparatoires

L'utilisation de toute calculatrice et de tout matériel électronique est interdite.

Exercice 1

Exercice 2

Exercice 3

Problème

Partie 1: étude d'une variable discrète sans mémoire.

Partie 2 : taux de panne d'une variable discrète.

Partie 3 : caractérisation des variables dont la loi est du type de celle de X.

Commentaires• BCE Maths appliquées EDHEC ECE 2006

Commentaires• BCE Maths appliquées EDHEC ECE 2006

ECOLE DE HAUTES ETUDES COMMERCIALES DU NORD
Concours d'admission sur classes préparatoires

Partie 3 : caractérisation des variables dont la loi est du type de celle de $X$ .