BCE Maths appliquées emlyon ECE 2015Sujet, corrigé et rapport du jury

Epreuve de maths appliquées - ECE 2015

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Annale de maths appliquées BCE emlyon pour la filiere ECE, session 2015.

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$è 1^(ère)$ épreuve (option économique) MATHÉMATIQUES

Mardi 28 avril 2015 de 8 heures à 12 heures
La présentation, la lisibilité, l'orthographe, la qualité de la rédaction, la clarté et la précision des raisonnements entreront pour une part importante dans l'appréciation des copies.
Les candidats sont invités à encadrer dans la mesure du possible les résultats de leurs calculs.
Ils ne doivent faire usage d'aucun document : l'utilisation de toute calculatrice et de tout matériel électronique est interdite. Seule l'utilisation d'une règle graduée est autorisée.
Si au cours de l'épreuve, un candidat repère ce qui lui semble être une erreur d'énoncé, il la signalera sur sa copie et poursuivra sa composition en expliquant les raisons des initiatives qu'il sera amené à prendre.

EXERCICE 1

Dans tout l'exercice, (

Ω, A, P

) désigne un espace probabilisé et toutes les variables aléatoires considérées seront supposées définies sur cet espace.

Partie I : Loi exponentielle

Dans toute cette partie,

λ

désigne un réel strictement positif.

Donner une densité, la fonction de répartition, l'espérance et la variance d'une variable aléatoire suivant la loi exponentielle de paramètre $λ$ .
Justifier que les intégrales suivantes convergent et donner leurs valeurs :

\int_0^(+ \infty)e^(- λx) dx, \int_0^(+ \infty)xe^(- λx) dx

a. Soit $U$ une variable aléatoire suivant la loi uniforme sur $[0; 1[$ . Quelle est la loi de la variable aléatoire $V = - 1/λln(1 - U)$ ?
b. Écrire une fonction en Scilab qui, étant donné un réel $λ$ strictement positif, simule la loi exponentielle de paramètre $λ$ .

On considère une suite

(X_n)_(n \in ℕ^*)

de variables aléatoires indépendantes suivant toutes la loi exponentielle de paramètre 1.

Pour tout

n

ℕ^*

, on définit la variable aléatoire

T_n = max(X_1, \dots, X_n)

qui, à tout

ω

Ω

, associe le plus grand des réels

X_1(ω), \dots, X_n(ω)

et on note

f_n

la fonction définie sur

ℝ

par :

∀x ∈ ℝ, f_n(x) = {ne^(− x)(1 − e^(− x))^(n − 1), si x ⩾ 0; 0, si x < 0.

Partie II : Loi de la variable aléatoire $T_n$

a. Calculer, pour tout $n$ de $ℕ^*$ et pour tout $x$ de $ℝ^(+ *)$ , la probabilité $P(T_n ⩽ x)$ .
b. En déduire que, pour tout $n$ de $ℕ^*, T_n$ est une variable aléatoire à densité, admettant pour densité la fonction $f_n$ .
a. Montrer que, pour tout $n$ de $ℕ^*$ , la variable aléatoire $T_n$ admet une espérance.
b. Déterminer l'espérance $E(T_1)$ de $T_1$ et l'espérance $E(T_2)$ de $T_2$ .
a. Vérifier : $\foralln \in ℕ^*, \forallx \in ℝ^+, f_(n + 1)(x) - f_n(x) = - 1/(n + 1)f_(n + 1)^'(x)$ .
b. Montrer ensuite, à l'aide d'une intégration par parties :

\foralln \in ℕ^*, \int_0^(+ \infty)x(f_(n + 1)(x) - f_n(x))dx = 1/(n + 1)\int_0^(+ \infty)f_(n + 1)(x)dx

c. En déduire, pour tout

n

ℕ^*

, une relation entre

E(T_(n + 1))

E(T_n)

, puis une expression de

E(T_n)

sous forme d'une somme.

Partie III : Loi du premier dépassement

Dans toute cette partie, a désigne un réel strictement positif.
On définit la variable aléatoire

N

égale au plus petit entier

n

ℕ^*

tel que

X_n > a

si un tel entier existe, et égale à 0 sinon.
7. Justifier l'égalité d'événements :

(N = 0) = ⋂_(k = 1)^(+ \infty)(X_k ⩽ a)

. En déduire la probabilité

P(N = 0)

.
8. Montrer :

\foralln \in ℕ^*, P(N = n) = (1 - e^(- a))^(n - 1)e^(- a)

.
9. Déterminer l'espérance

E(N)

et la variance

V(N)

N

On s'intéresse maintenant à la variable aléatoire

Z

, définie pour tout

ω

Ω

par :

Z(ω) = {X_(N(ω))(ω), si N(ω) ≠ 0; 0, si N(ω) = 0

Justifier : $P(Z ⩽ a) = 0$ .
Soit $x \in ]a; + \infty[$ .
a. Soit $n \in ℕ^*$ . Justifier l'égalité d'événements :

((N = n) ∩ (Z ⩽ x)) = {(a < X_1 ⩽ x), si n = 1; (T_(n − 1) ⩽ a) ∩ (a < X_n ⩽ x), si n ⩾ 2.

En déduire la probabilité

P((N = n) \cap (Z ⩽ x))

.
b. Montrer alors :

P(Z ⩽ x) = 1 - e^(a - x)

.
12. a. Montrer que la variable aléatoire

Z - a

suit une loi exponentielle dont on précisera le paramètre.
b. En déduire l'existence et la valeur de

E(Z)

, ainsi que l'existence et la valeur de

V(Z)

EXERCICE 2

Dans cet exercice, on pourra utiliser l'encadrement suivant :

2 < e < 3

Partie I : Étude d'une fonction

On considère l'application

φ : ℝ ⟶ ℝ, x ⟼ φ(x) = x^2 e^x - 1

Dresser le tableau de variations de $φ$ , en précisant la limite de $φ$ en $- \infty$ , sa valeur en 0 et sa limite en $+ \infty$ .
Établir que l'équation $e^x = 1/(x^2)$ , d'inconnue $x \in ]0; + \infty[$ , admet une solution et une seule, notée $α$ , et que $α$ appartient à l'intervalle $]1/2; 1[$ .

On considère l'application

f : ℝ ⟶ ℝ, x ⟼ f(x) = x^3 e^x

, et la suite réelle

(u_n)_(n \in ℕ)

définie par :

u_0 = 1

\foralln \in ℕ, u_(n + 1) = f(u_n)

Partie II : Étude d'une suite

Montrer : $\foralln \in ℕ, u_n ⩾ 1$ .
Établir que la suite $(u_n)_(n \in ℕ)$ est croissante.
Quelle est la limite de $u_n$ lorsque l'entier $n$ tend vers l'infini?

Partie III : Étude d'une série

Montrer que la série $\sum_(n ⩾ 1)1/(f(n))$ converge. On note $S = \sum_(n = 1)^(+ \infty)1/(f(n))$ .
Montrer : $\foralln \in ℕ^*, |S - \sum_(k = 1)^n 1/(f(k))| ⩽ 1/((e - 1)e^n)$ .
En déduire une fonction en Scilab qui calcule une valeur approchée de $S$ à $10^(- 4)$ près.

Partie IV : Étude d'une fonction de deux variables

On considère l'ouvert

U = ]0; + \infty[ \times ℝ

ℝ^2

et l'application de classe

C^2

g : U ⟶ ℝ, (x, y) ⟼ g(x, y) = 1/x + e^x - y^2 e^y

Représenter graphiquement l'ensemble $U$ .
Calculer, pour tout $(x, y)$ de $U$ , les dérivées partielles premières de $g$ en $(x, y)$ .
Montrer que $g$ admet deux points critiques et deux seulement, et que ceux-ci sont $(α, 0)$ et $(α, - 2)$ , où $α$ est le réel défini à la question 2 .
Est-ce que $g$ admet un extremum local en $(α, 0)$ ?
Est-ce que $g$ admet un extremum local en $(α, - 2)$ ?
Est-ce que $g$ admet un extremum global sur $U$ ?

EXERCICE 3

Soit

E

un espace vectoriel de dimension 3 . On note

0_E

le vecteur nul de

E

.
On note

i

l'application identité de

E

, et

θ

l'application constante nulle de

E

dans

E

i : E ⟶ E, x ⟼ x et θ : E ⟶ E, x ⟼ 0_E.

On considère un endomorphisme

f

E

tel que :

f \neq θ, f^2 + i \neq θ, f \circ (f^2 + i) = θ,

où

f^2

désigne

f \circ f

a. Montrer que $f$ n'est pas bijectif.
b. En déduire que 0 est valeur propre de $f$ , puis montrer qu'il existe $u$ appartenant à $E$ tel que :

u \neq 0_E et f(u) = 0_E.

Soit

v_1

appartenant à

E

tel que:

v_1 \neq 0_E

f(v_1) = 0_E

.
2. Montrer :

Sp(f) = {0}

.
3. Est-ce que

f

est diagonalisable ?
4. Montrer que

f^2 + i

n'est pas bijectif, puis en déduire qu'il existe

v

appartenant à

E

tel que :

v \neq 0_E et f^2(v) = - v.

Soit

v_2

appartenant à

E

tel que:

v_2 \neq 0_E

f^2(v_2) = - v_2

. On note :

v_3 = f(v_2)

.
5. Montrer :

f(v_3) = - v_2

.
6. a. Montrer que la famille

B = (v_1, v_2, v_3)

est une base de

E

.
b. Déterminer la matrice

C

f

dans la base

B

On considère les matrices suivantes :

A = (1, 0, 0; 0, 0, 0; 0, 0, 0)

B = (0, 0, 0; 0, 1, 0; 0, 0, 1)

, et le sous-espace vectoriel

F

M_3(ℝ)

engendré par (

A, B, C

), c'est-à-dire :

F = {aA + bB + cC; (a, b, c) ∈ ℝ^3}

Déterminer la dimension de $F$ .
Montrer : ${M ∈ M_3(ℝ); CM = MC} = F$ .
a. Pour tout $(a, b, c) \in ℝ^3$ , calculer la matrice $(aA + bB + cC)^2$ .
b. En déduire une matrice $M$ de $M_3(ℝ)$ telle que : $M^2 = (4, 0, 0; 0, 5, - 12; 0, 12, 5)$ .
On note $g = f^2 - i$ .

Montrer que

g

est bijectif et exprimer

g^(- 1)

à l'aide de

f

i

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EXERCICE 1

Partie I : Loi exponentielle

Partie II : Loi de la variable aléatoire T_n

Partie III : Loi du premier dépassement

EXERCICE 2

Partie I : Étude d'une fonction

Partie II : Étude d'une suite

Partie III : Étude d'une série

Partie IV : Étude d'une fonction de deux variables

EXERCICE 3

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Partie II : Loi de la variable aléatoire $T_n$