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BCE Maths appliquees ESC ECE 2004

Epreuve de maths appliquees - ECE 2004

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Algèbre linéaireRéductionFonctions (limites, continuité, dérivabilité, intégration)Intégrales généraliséesSuites et séries de fonctions
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Banque
BCE
Année
2004
Filière
ECE
Matière
Mathématiques
Annales BCE ECE MathématiquesBCE ECE 2004ECE MathématiquesMathématiques 2004

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Description

Annale de maths appliquees BCE ESC pour la filiere ECE, session 2004.

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EPREUVES ESC

CONCOURS D'ADMISSION SUR CLASSES PREPARATOIRES

MATHEMATIQUES
OPTION ECONOMIQUE

MARDI 18 MAI 2004, de 8h à 12h
La présentation, la lisibilité, l'orthographe, la qualité de la rédaction, la clarté et la précision des raisonnements entreront pour une part importante dans l'appréciation des copies.
Les candidats sont invités à encadrer, dans la mesure du possible, les résultats de leurs calculs. Ils ne doivent faire usage d'aucun document ;
"L'usage de toute calculatrice ou de tout matériel électronique
est interdit pendant cette épreuve".
Seule l'utilisation d'une règle graduée est autorisée.
L'épreuve est composée de trois exercices indépendants.
N.B. Il est demandé au candidat d'indiquer, impérativement, son numéro d'inscription sur les copies.

EXERCICE 1

On considère les matrices carrées d'ordre 3 suivantes :
ainsi que les matrices colonne d'ordre .
  1. Déterminer les valeurs propres de et vérifier que sont des vecteurs propres de .
  2. (a) Calculer les produits .
    (b) Montrer que la matrice est inversible, et que les produits et fournissent deux matrices diagonales ( que l'on déterminera ).
    (c) Montrer que 0 est valeur propre de , avec comme sous-espace propre associé la droite engendrée par .
    Montrer que 0 est valeur propre de , avec comme sous-espace propre associé la droite engendrée par .
    Montrer que 0 est valeur propre de , avec comme sous-espace propre associé la droite engendrée par .
On note dans toute la suite l'application définie sur par .
3. (a) Montrer que est un endomorphisme de .
(b) On suppose que est une matrice appartenant au noyau .
b1. Montrer que pour toute matrice colonne d'ordre 3, .
En déduire les relations : .
b2. Montrer alors en utilisant la question 2(c) qu'il existe trois réels tels que
b3. En déduire la relation .
(c) Soit l'ensemble de toutes les matrices , où .
Montrer que est un sous-espace vectoriel de de dimension inférieure ou égale à 3 . Déduire de la question 3.(b) que .
(d) Montrer que et .
En déduire que les matrices et sont éléments de .
(e) Montrer que la famille ( ) est libre. Par une argumentation liée aux dimensions, montrer enfin que la famille ( ) est une base de .

EXERCICE 2

On considère pour tout entier naturel supérieur ou égal à 2 la fonction définie sur par :
  1. (a) Justifier la dérivabilité de la fonction sur .
    (b) Etudier les variations de la fonction , préciser sa limite en et sa valeur en 0 .
  2. Etude d'une suite d'intégrales impropres.
On pose pour tout entier naturel supérieur ou égal à 2 :
( Il est démontré dans le (a) que chacune de ces intégrales est convergente).
(a) Montrer que pour tout réel strictement positif, .
En déduire la convergence de l'intégrale , puis de l'intégrale .
(b) Montrer que .
(c) Montrer que pour tout réel positif, .
(d) En déduire .
(e) Déterminer .
3. Etude d'une fonction définie par des limites.
(a) Pour tout réel positif, déterminer . (On distinguera .
(b) Dès lors, on définit sur une fonction par .
Donner la courbe représentative de dans un repère orthonormé. ( On donne ) est-elle continue?
(c) Etudier l'intégrale . A-t-on ici ?

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MARDI 18 MAI 2004, de 8h à 12h
La présentation, la lisibilité, l'orthographe, la qualité de la rédaction, la clarté et la précision des raisonnements entreront pour une part importante dans l'appréciation des copies. Les candidats sont invités à encadrer, dans la mesure du possible, les résultats de leurs calculs. Ils ne doivent faire usage d'aucun document ;
"L'usage de toute calculatrice ou de tout matériel électronique
est interdit pendant cette épreuve".
Seule l'utilisation d'une règle graduée est autorisée.
L'épreuve est composée de trois exercices indépendants.
N.B. Il est demandé au candidat d'indiquer, impérativement, son numéro d'inscription sur les copies.

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