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BCE Maths appliquées ESC ECE 2004Sujet et corrigé

Epreuve de maths appliquées - ECE 2004

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Annale de maths appliquées BCE ESC pour la filiere ECE, session 2004.

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EPREUVES ESC

CONCOURS D'ADMISSION SUR CLASSES PREPARATOIRES

MATHEMATIQUES
OPTION ECONOMIQUE

MARDI 18 MAI 2004, de 8h à 12h
La présentation, la lisibilité, l'orthographe, la qualité de la rédaction, la clarté et la précision des raisonnements entreront pour une part importante dans l'appréciation des copies.
Les candidats sont invités à encadrer, dans la mesure du possible, les résultats de leurs calculs. Ils ne doivent faire usage d'aucun document ;
"L'usage de toute calculatrice ou de tout matériel électronique
est interdit pendant cette épreuve".
Seule l'utilisation d'une règle graduée est autorisée.
L'épreuve est composée de trois exercices indépendants.
N.B. Il est demandé au candidat d'indiquer, impérativement, son numéro d'inscription sur les copies.

EXERCICE 1

On considère les matrices carrées d'ordre 3 suivantes :
G = [0, 1, 1; 0, 2, 0; − 2, 1, 3], H = [− 4, 3, 3; − 3, 2, 3; − 3, 3, 2], P = [1, 0, 1; 1, 1, 0; 1, − 1, 1], I = [1, 0, 0; 0, 1, 0; 0, 0, 1]
ainsi que les matrices colonne d'ordre 3 : X_1 = [1; 1; 1], X_2 = [0; 1; − 1], X_3 = [1; 0; 1], O = [0; 0; 0].
  1. Déterminer les valeurs propres de G et vérifier que X_1, X_2, X_3 sont des vecteurs propres de G.
  2. (a) Calculer les produits HXX_1, HXX_2, HXX_3.
    (b) Montrer que la matrice P est inversible, et que les produits P^(− 1)GP et P^(− 1)HP fournissent deux matrices diagonales ( que l'on déterminera ).
    (c) Montrer que 0 est valeur propre de H − G, avec comme sous-espace propre associé la droite engendrée par X_1.
    Montrer que 0 est valeur propre de 2H + G, avec comme sous-espace propre associé la droite engendrée par X_2.
    Montrer que 0 est valeur propre de H + G, avec comme sous-espace propre associé la droite engendrée par X_3.
On note dans toute la suite f l'application définie sur M_3(ℝ) par f(M) = HMG − GMH.
3. (a) Montrer que f est un endomorphisme de M_3(ℝ).
(b) On suppose que M est une matrice appartenant au noyau Ker(f).
b1. Montrer que pour toute matrice colonne X d'ordre 3, HMGX − GMHX = O.
En déduire les relations : (H − G)MX_1 = O.
(2H + G)MX_2 = O.; (H + G)MX_3 = O.
b2. Montrer alors en utilisant la question 2(c) qu'il existe trois réels α, β, γ tels que
MX_1 = αX_1, MX_2 = βX_2, MX_3 = γX_3.
b3. En déduire la relation P^(− 1)MP = [α, 0, 0; 0, β, 0; 0, 0, γ].
(c) Soit E l'ensemble de toutes les matrices P[a, 0, 0; 0, b, 0; 0, 0, c]P^(− 1), où (a, b, c) ∈ ℝ^3.
Montrer que E est un sous-espace vectoriel de M_3(IR) de dimension inférieure ou égale à 3 . Déduire de la question 3.(b) que Ker(f) ⊂ E.
(d) Montrer que HG = GH, HG^2 = G^2 H et H^2 G = GH^2.
En déduire que les matrices I, G et H sont éléments de Ker(f).
(e) Montrer que la famille ( I, G, H ) est libre. Par une argumentation liée aux dimensions, montrer enfin que la famille ( I, G, H ) est une base de Ker(f).

EXERCICE 2

On considère pour tout entier naturel n supérieur ou égal à 2 la fonction f_n définie sur ℝ^+par :
f_n(t) = (e^(− t))/(1 + t^n)
  1. (a) Justifier la dérivabilité de la fonction f_n sur ℝ^+.
    (b) Etudier les variations de la fonction f_n, préciser sa limite en + ∞ et sa valeur en 0 .
  2. Etude d'une suite d'intégrales impropres.
On pose pour tout entier naturel n supérieur ou égal à 2 : I_n = ∫_0^(+ ∞)f_n(t)dt
( Il est démontré dans le (a) que chacune de ces intégrales est convergente).
(a) Montrer que pour tout réel t strictement positif, f_n(t) ≤ 1/(t^n).
En déduire la convergence de l'intégrale ∫_1^(+ ∞)f_n(t)dt, puis de l'intégrale I_n.
(b) Montrer que lim_(n → + ∞)∫_1^(+ ∞)f_n(t)dt = 0.
(c) Montrer que pour tout réel t positif, 0 ≤ e^(− t) − f_n(t) ≤ t^n.
(d) En déduire lim_(n → + ∞)∫_0^1 f_n(t)dt = 1 − 1/e.
(e) Déterminer lim_(n → + ∞)I_n.
3. Etude d'une fonction définie par des limites.
(a) Pour tout réel t positif, déterminer lim_(n → + ∞)f_n(t). (On distinguera t < 1, t = 1, t > 1).
(b) Dès lors, on définit sur ℝ^+une fonction h par h(t) = lim_(n → + ∞)f_n(t).
Donner la courbe représentative de h dans un repère orthonormé. ( On donne e^(− 1) ≅ 0, 37 ) h est-elle continue?
(c) Etudier l'intégrale ∫_0^(+ ∞)h(t)dt. A-t-on ici ∫_0^(+ ∞)lim_(n → + ∞)f_n(t)dt = lim_(n → + ∞)∫_0^(+ ∞)f_n(t)dt ?

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La présentation, la lisibilité, l'orthographe, la qualité de la rédaction, la clarté et la précision des raisonnements entreront pour une part importante dans l'appréciation des copies. Les candidats sont invités à encadrer, dans la mesure du possible, les résultats de leurs calculs. Ils ne doivent faire usage d'aucun document ;
"L'usage de toute calculatrice ou de tout matériel électronique
est interdit pendant cette épreuve".
Seule l'utilisation d'une règle graduée est autorisée.
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N.B. Il est demandé au candidat d'indiquer, impérativement, son numéro d'inscription sur les copies.

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