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Ecricome Maths approfondies ECS 2004Sujet et corrigé

Epreuve de maths approfondies - ECS 2004

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Annale de maths approfondies Ecricome pour la filiere ECS, session 2004.

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1. EXERCICE.

M_n(ℝ) désigne l'espace vectoriel des matrices carrées d'ordre n à coefficients réels ( n ⩾ 1 ) et E l'espace vectoriel des polynômes à coefficients réels de degré inférieur ou égal à n − 1. On considère une matrice S de M_n(ℝ) admettant n valeurs propres réelles λ_1, λ_2, …, λ_n distinctes deux à deux.
L'objet de l'exercice est de montrer que, si k est un entier naturel impair et si une matrice A de M_n(ℝ) commute avec S^k, alors elle commute avec S.
Dans la dernière question on étudiera un contre-exemple.
  1. Justifier l'existence d'une matrice P inversible telle que la matrice P^(− 1)SP soit une matrice D diagonale.
    Dans la suite de l'exercice un entier naturel impair k est fixé.
  2. On considère l'application f de E dans ℝ^n qui à tout polynôme T fait correspondre le vecteur de ℝ^n défini par :
f(T) = (T(λ_1^k), T(λ_2^k), …, T(λ_n^k))
a. Montrer que f est un isomorphisme d'espaces vectoriels.
b. En déduire l'existence d'un unique polynôme U de E tel que :
U(λ_1^k) = λ_1, U(λ_2^k) = λ_2, …, U(λ_n^k) = λ_n
  1. Prouver que le polynôme R, défini par :
R(X) = U(X^k) − X
est un polynôme annulateur de D puis de S.
4. Soit une matrice A de M_n(ℝ) vérifiant AS^k = S^k A.
a. Montrer que pour tout entier naturel p,
AS^(pk) = S^(pk)A
b. En déduire que les matrices A et S commutent, c'est-à-dire que :
AS = SA
  1. On considère les deux matrices A et S de M_2(ℝ) suivantes :
A = (1, − 1; 2, 2), S = (0, 1; 1, 0)
a. Vérifier que S possède deux valeurs propres distinctes.
b. Montrer que A commute avec toute puissance paire de S, mais ne commute pas avec S.

2. EXERCICE.

On considère la fonction f définie sur l'intervalle I = [0, π/4] par :
f(x) = 1/(cosx)
ainsi que la suite réelle (I_n)_(n ∈ ℕ) suivante :
{I_0 = π/4; ∀n ∈ ℕ^∗, I_n = ∫_0^(π/4)[f(x)]^n dx

2.1. Etude de la bijection réciproque de f.

  1. Montrer que f réalise une bijection de I dans un intervalle J que l'on précisera. On note f^(− 1) la bijection réciproque.
  2. Donner sur le même graphique l'allure des courbes représentatives de f et de f^(− 1).
  3. Justifier que:
∀x ∈ J, cos(f^(− 1)(x)) = 1/x; sin(f^(− 1)(x)) = √(1 − 1/(x^2))
  1. Montrer que f^(− 1) est dérivable sur J∖{1} et montrer que :
∀x ∈ J∖{1}, (f^(− 1))^′(x) = 1/(x√(x^2 − 1))
  1. En déduire le développement limité en √2 de f^(− 1) à l'ordre 1 .

2.2. Etude des dérivées successives de f.

  1. Justifier que f est de classe C^∞ sur I, on note f^((n)) la dérivée n^(ème) de f sur I.
  2. Montrer que pour tout entier naturel n non nul, il existe un polynôme P_n tel que:
∀x ∈ I, f^((n))(x) = (P_n(sinx))/(cos^(n + 1)(x))
  1. Déterminer les polynômes P_1 et P_2.
  2. Montrer que :
∀n ∈ ℕ^∗, P_(n + 1) = (1 − X^2)P_n^′ + (n + 1)X ⋅ P_n
En déduire le polynôme P_3.
5. Déterminer, pour tout entier naturel n non nul, le degré et le coefficient dominant du polynôme P_n.

2.3. Etude de la suite d'intégrales.

  1. Justifier que la suite (I_n)_(n ∈ ℕ^∗) est bien définie. Calculer I_2.
  2. Déterminer les réels a et b, tels que :
∀t ∈ ℝ∖{ − 1, 1}, 1/(1 − t^2) = a/(1 − t) + b/(1 + t)
  1. En posant t = sinx, déterminer I_1.
  2. Déterminer le sens de variation de la suite (I_n)_(n ∈ ℕ^∗).
  3. Montrer que :
∀n ∈ ℕ^∗, I_n ⩾ ∫_(π/4 − 1/(n^2))^(π/4)1/(cos^n x)dx ⩾ 1/(n^2)1/(cos^n(π/4 − 1/(n^2)))
En déduire le comportement de la suite (I_n)_(n ∈ ℕ^∗) lorsque n tend vers + ∞.
6. Montrer que :
∀n ∈ ℕ, I_(n + 2) = ((√2)^n)/(n + 1) + n/(n + 1)I_n

3. PROBLEME.

3.1. Etude d'une variable discrète d'univers image fini.

Deux urnes A et B, initialement vides, peuvent contenir respectivement au plus n et m boules ( n ⩾ 1, m ⩾ 1 ).
On s'intéresse au protocole suivant :
  • On choisit l'urne A avec la probabilité p ∈ ]0, 1 [, l'urne B avec la probabilité q = 1 − p.
  • On met une boule dans l'urne choisie.
  • On répète cette épreuve autant de fois qu'il est nécessaire pour que l'une des urnes A ou B soit pleine, c'est-à-dire contienne n boules pour l'urne A ou contienne m boules pour l'urne B, les choix des urnes étant mutuellement indépendants.

3.1.1. Préliminaires.

On définit la suite de terme général a_n par :
a_n = (√nC_(2n)^n)/(4^n) n ⩾ 1
  1. Calculer a_1 et, pour tout entier n ⩾ 1, le rapport (a_(n + 1))/(a_n).
  2. Démontrer que pour tout entier n ⩾ 1 :
a_n ⩽ √(n/(2n + 1))
  1. Donner le sens de variation de la suite (a_n)_(n ∈ ℕ^∗), et montrer qu'elle converge vers un réel l tel que :
1/2 ⩽ l ⩽ 1/(√2)
On admet que l = 1/(√π).

3.1.2. Etude de cas particuliers.

Dans cette partie seulement m = n et p = q = 1/2.
On note R_n la variable aléatoire égale au nombre (éventuellement nul) de boules contenues dans l'urne qui n'est pas pleine, à l'issue de l'expérience.
  1. Donner les lois de R_1, R_2 et R_3. Justifier vos calculs.
  2. Calculer l'espérance et la variance de R_1, R_2 et R_3.
Dans toute la suite du problème n ≥ 2.
3. Quel est l'ensemble R_n(Ω) des valeurs prises par la variable R_n ?
4. Soit k appartenant à l'univers image R_n(Ω).
a. Calculer la probabilité qu'à l'issue du (n − 1 + k)^(ème) tirage l'urne A contienne n − 1 boules et l'urne B contienne k boules.
b. Donner alors la probabilité p([R_n = k]).
5. Vérifier que :
∀k ∈ {0, 1, …, n − 2}, 2(k + 1)p([R_n = k + 1]) = (n + k)p([R_n = k])
  1. Par sommation de la relation qui précède, en déduire que :
E(R_n) = n − (2n − 1)p([R_n = n − 1])
  1. Donner alors un équivalent de n − E(R_n) quand n tend vers plus l'infini.
  2. De façon analogue, montrer que :
E(R_n^2) = (2n + 1)E(R_n) − n(n − 1)
  1. En déduire l'expression de V(R_n) en fonction de n et E(R_n).
  2. Ecrire un algorithme, en langage Pascal, permettant de calculer l'espérance de R_n, l'entier n étant donné par l'utilisateur.

3.1.3. Retour au cas général.

On abandonne les conditions m = n et p = q = 1/2.
  1. En utilisant un argument probabiliste, montrer que:
(1) : q^m∑_(k = 0)^(n − 1)p^k C_(m − 1 + k)^(m − 1) + p^n∑_(k = 0)^(m − 1)q^k C_(n − 1 + k)^(n − 1) = 1
  1. On pose u_m = ∑_(k = 0)^(m − 1)q^k C_(n − 1 + k)^(n − 1)
    a. Etudier le sens de variation de la suite (u_m)_(m ∈ ℕ^∗) et donner à l'aide de la relation (1) un majorant de u_m ne dépendant pas de m.
    Etablir alors la convergence de la suite (u_m)_(m ∈ ℕ^∗).
    b. Pour k ∈ {0, …, n − 1}, donner un équivalent de C_(m − 1÷k)^(m − 1) lorsque m tend vers + ∞.
    c. En déduire l'existence et la valeur de la limite suivante :
lim_(m → + ∞)q^m∑_(k = 0)^(n − 1)p^k C_(m − 1 + k)^(m − 1)
d. Prouver alors que :
lim_(m → − ∞)u_m = 1/(p^n)

3.2. Etude d'une variable discrète d'univers image infini.

Dans cette dernière partie l'urne B, initialement vide, a une capacité illimitée et l'urne A, initialement vide, peut contenir au plus n boules ( n ⩾ 1 ).
On s'intéresse au protocole suivant :
  • On choisit l'urne A avec la probabilité p ∈ ]0, 1[, l'urne B avec la probabilité q = 1 − p.
  • On met une boule dans l'urne choisie.
  • On répète cette épreuve autant de fois qu'il est nécessaire pour que l'urne A soit pleine, c'est-à-dire contienne n boules, les choix successifs des urnes étant mutuellement indépendants.
    On note alors T_n le nombre (éventuellement nul) de boules contenues dans l'urne B et (Z_j)_(j ∈ {1, …, n}), les variables aléatoires définies de la façon suivante :
  • Z_1 compte le nombre de boules mises dans B avant de mettre la première boule dans A.
  • Pour tout entier j de {2, …, n}, Z_j compte le nombre de boules mises dans B entre la (j − 1)^(ème) boule et la j^(ème) boule mises dans A.
    On admet que T_n est une variable aléatoire.
  1. Quel est l'ensemble T_n(Ω) des valeurs prises par la variable T_n ?
  2. Pour tout entier naturel k appartenant à T_n(Ω), donner la valeur de p([T_n = k]).
  3. Vérifier que :
∑_(k = 0)^(+ ∞)P([T_n = k]) = 1
  1. Pour tout entier j de {1, …, n}, donner la loi, l'espérance, la variance de Z_j.
  2. Exprimer T_n en fonction des variables (Z_j)_(1 ⩽ j ⩽ n) et de l'entier n.
  3. En déduire l'espérance et la variance de la variable T_n.

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