Ecricome Maths approfondies ECS 2003Sujet et corrigé

Epreuve de maths approfondies - ECS 2003

Pas encore noté

Explorer les annales

BanqueEcricome Année2003 FilièreECS MatièreMathématiques

Annales Ecricome ECS Mathématiques Ecricome ECS 2003 ECS Mathématiques Mathématiques 2003

Téléchargements

Télécharger le sujet (PDF)

Corrigé

Lire en ligne LaTeX Word

Rapport du jury : non disponible

Source du document : annales-prepa.fr

Description

Annale de maths approfondies Ecricome pour la filiere ECS, session 2003.

Ces sujets peuvent vous intéresser

Lecture du sujet en ligne

L'énoncé complet, avec les formules et les figures, sans ouvrir le PDF.

Sujet en PDF

aux concours des Ecoles

CONCOURS D'ADMISSION 2003

MATHÉMATIQUES option SCIENTIFIQUE

lundi 28 avril 2003 de 8 h 00 à 12 h 00
durée : 4 heures

Aucun instrument de calcul n'est autorisé.
Aucun document n'est autorisé.
L'énoncé comporte 8 pages.

Les candidats sont invités à soigner la présentation de leur copie, à mettre en évidence les principaux résultats, à respecter les notations de l'énoncé, et à donner des démonstrations complètes (mais brèves) de leurs affirmations.

1. EXERCICE.

On considère la suite de nombres réels

(u_n)_(n \in ℕ)

définie par la relation de récurrence :

{u_(n + 1) = u_n + u_n^2; u_0 = a, a ∈ ℝ^(+ ∗)

1.1. Convergence de $(u_n)_(n \in ℕ)$ .

Montrer que cette suite est strictement positive et monotone.
Montrer que cette suite diverge vers l'infini.

1.2. Comportement asymptotique de $(u_n)_(n \in ℕ)$ .

On définit la suite

(v_n)_(n \in ℕ)

par :

v_n = 1/(2^n)lnu_n

Prouver que pour tout entier $n$ de $ℕ$ :

v_(n + 1) - v_n = 1/(2^(n + 1))ln(1 + 1/(u_n))

En déduire que quels que soient les entiers naturels

p

n

0 < v_(n + p + 1) - v_(n + p) ⩽ 1/(2^(n + p + 1))ln(1 + 1/(u_n))

En déduire que quels que soient les entiers naturels $k$ et $n$ :

0 < v_(n + k + 1) - v_n ⩽ 1/(2^n)ln(1 + 1/(u_n))

Démontrer que la suite $(v_n)_(n \in ℕ)$ est majorée, puis qu'elle converge vers une limite notée $α$ .
Montrer que :

\foralln \in ℕ, u_n ⩽ exp(α2^n)

En passant à la limite pour

n

fixé dans l'encadrement 1.2 .2 , montrer que :

\foralln \in ℕ, exp(α2^n) ⩽ u_n + 1

En déduire, lorsque

n

tend vers l'infini, l'équivalent suivant :

u_n \sim _(n \to + \infty)exp(α2^n)

On pose :

β_n = exp(α2^n) - u_n

Montrer que la suite

(β_n)_(n \in ℕ)

est bornée et qu'elle vérifie la relation suivante :

2β_n - 1 = (β_(n + 1) + β_n^2 - β_n)exp(- α2^n)

Prouver enfin que lorsque $n$ tend vers l'infini :

u_n = _(n \to + \infty) - 1/2 + exp(α2^n) + o(1)

2. EXERCICE.

Dans cet exercice, on adopte les notations suivantes :

M_n(ℝ)

: ensemble des matrices carrées d'ordre

n

, à coefficients réels (

n

entier naturel non nul).

S_n(ℝ)

: le sous-espace vectoriel de

M_n(ℝ)

des matrices symétriques.

A_n(ℝ)

: le sous-espace vectoriel de

M_n(ℝ)

des matrices antisymétriques.
On rappelle qu'une matrice

A

M_n(ℝ)

est antisymétrique si :

^t A = - A

^t A

étant la matrice transposée de

A

.
On définit les applications

Tr

φ

par :
Pour toute matrice

A = (a_(ij))_(1 ⩽ i ⩽ n; 1 ⩽ j ⩽ n)

B

M_n(ℝ), Tr(A) = \sum_(i = 1)^n a_(ii), φ(A, B) = Tr(^t AB)

Montrer que $Tr$ est une application linéaire de $M_n(ℝ)$ dans $ℝ$ qui vérifie :

\forallA \in M_n(ℝ), \forallB \in M_n(ℝ) Tr(AB) = Tr(BA)

Prouver que $Tr$ est surjective. Donner la dimension du noyau de $Tr$ .
Prouver que $φ$ définit un produit scalaire dont la norme associée, ||||, vérifie :

\forallA = (a_(ij))_(1 ⩽ i ⩽ n; 1 ⩽ j ⩽ n) \in M_n(ℝ), ‖A‖^2 = \sum_(i = 1)^n\sum_(j = 1)^n a_(ij)^2

Etablir que :

\forallA \in M_n(ℝ) |Tr(A)| ⩽ \sqrtn‖A‖

Démontrer que $S_n(ℝ)$ et $A_n(ℝ)$ sont deux sous-espaces supplémentaires orthogonaux de $M_n(ℝ)$ pour $φ$ .
Soit $M = (m_(ij))_(1 ⩽ i ⩽ n; 1 ⩽ j ⩽ n)$ . En déduire que pour toute matrice $A = (a_(ij))_(1 ⩽ i ⩽ n; 1 ⩽ j ⩽ n)$ de $M_n(ℝ)$ ,

Min_(M \in S_n(ℝ))\sum_(i = 1)^n\sum_(j = 1)^n(a_(ij) - m_(ij))^2 existe et vaut 1/4\sum_(i = 1)^n\sum_(j = 1)^n(a_(ij) - a_(ji))^2

3. PROBLEME.

On rappelle que :

La fonction $Γ$ est la fonction définie pour $x > 0$ par :

Γ(x) = \int_0^(+ \infty)t^(x - 1)exp(- t)dt

Si $X$ suit une loi normale et si $α$ est un réel non nul alors $αX$ suit également une loi normale.
On admettra que $Γ(1/2) = \sqrtπ$ .

3.1.

On considère la variable aléatoire

Y_π = \sum_(k = 1)^n X_i^2

, où

X_1, X_2, \dots\dots, X_n

sont

n

variables aléatoires indépendantes, suivant toutes une loi normale centrée réduite.

Déterminer la fonction de répartition $F_(Y_1)$ de $Y_1 = X_1^2$ .
En déduire que $Y_1$ est une variable aléatoire qui suit une loi gamma dont on précisera les paramètres.
Justifier que $Y_n$ suit une loi gamma de paramètres $(2, n/2)$ .
Donner les valeurs de l'espérance $E(Y_n)$ et de la variance $V(Y_n)$ de $Y_n$ .
On dit alors que $Y_n$ suit une loi du $Chi$ - deux à $n$ degrés de liberté, notée $χ^2(n)$ . Soient $G_n$ la fonction de répartition de $Y_n$ et $β$ un réel dans l'intervalle $]0, 1[$ .
Montrer qu'il existe un réel unique $t$ tel que $G_n(t) = β$ . Ce réel est alors noté $χ_β^2(n)$
Dans la suite du problème on considère $(X_i)_(i ⩾ 1)$ une suite de variables aléatoires mutuellement indépendantes suivant une même loi normale $N(m, σ)$ . L'objet des questions suivantes est de déterminer une estimation ponctuelle (3.2) puis une estimation par intervalle de confiance (3.3 et 3.4) de la variance $σ^2$ .

g

est une fonction de

n

variables réelles, et que

Z_n = g(X_1, \dots, X_n)

, on rappelle que :

$g$ est un estimateur de $θ(Z_n$ est un estimateur de $θ)$ lorsque :

lim_(n \to + \infty)E(Z_n) = θ

L'estimateur $Z_n$ est dit sans biais lorsque pour tout $n$ entier naturel non nul :

E(Z_n) = θ

L'estimateur $Z_n$ est dit convergent lorsque :

lim_(n \to + \infty)V(Z_n) = 0

3.2. Estimation ponctuelle de $σ^2$ .

Pour

n

entier naturel non nul, on pose :

F_n = 1/n\sum_(i = 1)^n X_i, V_n = 1/n\sum_(i = 1)^n(X_i - F_n)^2

Montrer que $(F_n)_(n ⩾ 1)$ est un estimateur convergent sans biais de $m$ .
Soit $n$ un entier naturel non nul.
a. Démontrer que :

V_n = 1/n\sum_(i = 1)^n X_i^2 - (1/n\sum_(i = 1)^n X_i)^2

puis que :

V_n = 1/n\sum_(i = 1)^n(X_i - m)^2 - (F_n - m)^2

b. Prouver que :

E(V_n) = (n - 1)/nσ^2

c. En déduire un estimateur sans biais de

σ^2

3.3. Estimation par intervalle de confiance de $σ^2, m$ étant connue.

Pour

n

entier supérieur à 2 , on pose :

U_n = 1/(σ^2)\sum_(i = 1)^n(X_i - m)^2 et T_n = 1/n\sum_(i = 1)^n(X_i - m)^2

Justifier que $U_n$ suit une loi du $Chi - deux$ à $n$ degrés de liberté.
Montrer l'égalité des événements :

[(nT_n)/(χ_(1 - α/2)^2(n)) ⩽ σ^2 ⩽ (nT_n)/(χ_(α/2)^2(n))] et [χ_(α/2)^2(n) ⩽ U_n ⩽ χ_(1 - α/2)^2(n)]

En déduire que la probabilité de l'événement

[(nT_n)/(χ_(1 - α/2)^2(n)) ⩽ σ^2 ⩽ (nT_n)/(χ_(α/2)^2(n))]

est

1 - α

3.4. Estimation par intervalle de confiance de $σ^2, m$ étant inconnue.

M_(n, 1)(ℝ)

désigne l'ensemble des matrices à

n

lignes et 1 colonne à coefficients réels et

Id_(ℝ^n)

l'identité de

ℝ^n

.
Pour

n

entier supérieur à 2 , on pose :

M_n = 1/n\sum_(i = 1)^n X_i, S_n = 1/(n - 1)\sum_(i = 1)^n(X_i - M_n)^2, U_n = 1/(σ^2)\sum_(i = 1)^n(X_i - M_n)^2

Soit $φ$ l'endomorphisme de $ℝ^n$ dont la matrice dans la base canonique est $A$ définie par :

A = (a_(ij))_(1 ⩽ i ⩽ n; 1 ⩽ j ⩽ n) avec {a_(ii) = n − 1; a_(ij) = − 1 si i ≠ j

B

la matrice de

M_(n, 1)(ℝ)

dont tous les éléments sont égaux à 1 .
a. Justifier que

A

est une matrice diagonalisable.
b. Calculer le produit

AB

, en déduire une valeur propre de

A

et un vecteur propre de

A

associé à cette valeur propre.
c. Montrer que :

dimIm(φ - nId_(ℝ^n)) = 1

d. En déduire la dimension de

Ker(φ - nId_(ℝ^n))

, les valeurs propres et les sousespaces propres de la matrice

A

.
e. Soit

W = (w_1; w_2; ⋮; w_n)

la matrice des coordonnées d'un vecteur propre associé à la valeur propre

n

. Prouver que :

\sum_(i = 1)^n w_i = 0

.
f. Justifier l'existence d'une matrice

P

inversible dont la dernière colonne est proportionnelle à

B

et d'une matrice diagonale

D

que l'on déterminera, telle que :

P^(- 1)AP = D avec ^t P = P^(- 1)

(On ne demande pas la matrice

P

).
g. On note

(p_(ij))_(1 ⩽ i ⩽ n; 1 ⩽ j ⩽ n)

les coefficients de la matrice

^t P

, montrer que :

∀i ∈ {1, …, n − 1}, ∑_(j = 1)^n p_(ij) = 0

puis que :

∀i ∈ {1, …, n}, ∑_(j = 1)^n p_(ij)^2 = 1

Soit $q$ l'application de $M_(n, 1)(ℝ)$ dans $ℝ$ définie par :

ù \forallX = (x_1; ⋮; x_n) \in M_(n, 1)(ℝ), q(X) = ^t XMX où M = 1/nA

a. On pose

Y = ^t PX

, montrer que:

q(X) = 1/n^t YDY

puis que :

q(X) = \sum_(i = 1)^n(x_i - 1/n\sum_(j = 1)^n x_j)^2

b. En utilisant l'écriture

q(X) = 1/n^t YDY

, montrer que:

q(X) = \sum_(i = 1)^(n - 1)(\sum_(j = 1)^n p_(ij)x_j)^2

Pour tout $i$ de l'ensemble ${1, \dots, n - 1}$ on pose:

Y_i = \sum_(j = 1)^n p_(ij)X_j

a. Justifier que

Y_i

suit une loi normale puis montrer que

E(Y_i) = 0

V(Y_i) = σ^2

.
b. En utilisant les résultats de la question 3.4.2, montrer que :

U_n = 1/(σ^2)\sum_(i = 1)^(n - 1)Y_i^2

c. En admettant que les

(Y_i)_(1 ⩽ i ⩽ n - 1)

sont mutuellement indépendantes, justifier que

U_n

suit une loi du

Chi - deux

n - 1

degrés de liberté.
d. Montrer que les événements :

[((n - 1)S_n)/(χ_(1 - α/2)^2(n - 1)) ⩽ σ^2 ⩽ ((n - 1)S_n)/(χ_(α/2)^2(n - 1))] et [χ_(α/2)^2(n - 1) ⩽ U_n ⩽ χ_(1 - α/2)^2(n - 1)]

sont égaux.
e. En déduire que la probabililité de l'événement :

[((n - 1)S_n)/(χ_(1 - α/2)^2(n - 1)) ⩽ σ^2 ⩽ ((n - 1)S_n)/(χ_(α/2)^2(n - 1))]

est

1 - α

Pas de description pour le moment

Commentaires• Ecricome Maths approfondies ECS 2003

Connectez-vous pour participer aux discussions

Partagez vos avis, posez des questions et échangez avec la communauté

Chargement des commentaires...

Explorer les annales

Téléchargements

Description

Ces sujets peuvent vous intéresser

Lecture du sujet en ligne

MATHÉMATIQUES option SCIENTIFIQUE

1. EXERCICE.

1.1. Convergence de (u_n)_(n ∈ ℕ).

1.2. Comportement asymptotique de (u_n)_(n ∈ ℕ).

2. EXERCICE.

3. PROBLEME.

3.1.

3.2. Estimation ponctuelle de σ^2.

3.3. Estimation par intervalle de confiance de σ^2, m étant connue.

3.4. Estimation par intervalle de confiance de σ^2, m étant inconnue.

Commentaires• Ecricome Maths approfondies ECS 2003

Commentaires• Ecricome Maths approfondies ECS 2003

1.1. Convergence de $(u_n)_(n \in ℕ)$ .

1.2. Comportement asymptotique de $(u_n)_(n \in ℕ)$ .

3.2. Estimation ponctuelle de $σ^2$ .

3.3. Estimation par intervalle de confiance de $σ^2, m$ étant connue.

3.4. Estimation par intervalle de confiance de $σ^2, m$ étant inconnue.