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Ecricome Maths approfondies ECS 2001Sujet et corrigé

Epreuve de maths approfondies - ECS 2001

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Annale de maths approfondies Ecricome pour la filiere ECS, session 2001.

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CONCOURS D'ADMISSION 2001

Option scientifique

MATHÉMATIQUES

Mardi 24 avril 2001 de 8 h 00 à 12 h 00
Durée : 4 heures

Aucun instrument de calcul n'est autorisé. Aucun document n'est autorisé.

L'énoncé comporte 5 pages.
Les candidats sont invités à soigner la présentation de leur copie, à mettre en évidence les principaux résultats, à respecter les notations de l'énoncé, et à donner des démonstrations complètes (mais brèves) de leurs affirmations.

Exercice 1

Soient a et b deux réels strictement positifs, X et Y deux variables aléatoires définies sur un même espace probabilisé, indépendantes, suivant chacune une loi exponentielle de paramètres respectifs a et b.
  1. Déterminer la fonction de répartition, puis une densité, de la variable aléatoire - X.
  2. Montrer que Y - X admet une densité, notée h, définie par :
h(t) = (ab)/(a + b)exp(− bt) pour t > 0 et h(t) = (ab)/(a + b)exp(at) pour t ≤ 0
On considère la variable aléatoire Z = |X − Y|.
3) Soit s un réel positif. Etablir l'égalité P(Z ≤ s) = 1 − (bexp(− as) + aexp(− bs))/(a + b).
4) a) Montrer que Z est une variable aléatoire à densité et en donner une densité.
b) Montrer que Z admet une espérance et la calculer.

Exercice 2

Soient n un entier ≥ 2 et E l'espace vectoriel des matrices carrées d'ordre n à coefficients réels. l est la matrice identité de E. On note ^t A la transposée d'un élément A de E. Si A = (a_(ij)) appartient à E, on appelle trace de A et on note tr(A), la somme a_(11) + a_(22) + … + a_(nn) des éléments diagonaux de A. On considère l'application g de E × E dans IR, qui à deux matrices A et B de E fait correspondre le réel g(A, B) = tr(^t AB).
  1. Montrer que l'application tr qui à tout élément de E associe sa trace, est une forme linéaire sur E.
  2. a) Soit M une matrice de E. Montrer que tr(M) = tr(^t M).
    b) En déduire que, pour tout couple ( A, B ) de matrices de E, on a g(A, B) = g(B, A).
  3. Soit A un élément de E. Montrer que g(A, A) est la somme des carrés des coefficients de A.
  4. Montrer, à l'aide des questions précédentes, que g est un produit scalaire sur E.
Soit B = (e_1, e_2, …, e_n) la base canonique de R^n et f l'endomorphisme de IR^n défini par :
f(e_1) = e_n et, pour tout entier k tel que 2 ≤ k ≤ n, f(e_k) = e_(k − 1).
  1. a) Montrer que f est un automorphisme de IR^n.
    b) Soit U la matrice de f dans la base B. Montrer que U^n = l et que U^(− 1) = tU.
On suppose, pour les deux questions suivantes, que n = 4.
6) Calculer U^2 et U^3 et montrer que ( I, U, U^2, U^3 ) est une famille orthogonale pour le produit scalaire g.
7) On note F le sous espace vectoriel de E engendré par la famille ( I, U, U^2, U^3 ) et V la matrice de E dont la première ligne est constituée de 1 et les autres uniquement de 0 . Calculer la projection orthogonale W de V sur F.

Problème

Dans tout le problème, n est un entier positif ou nul, a un entier pair supérieur ou égal à 4 et p un réel tel que 0 < p < 1. Pour simplifier les écritures, on pose a_n = 2^(n − 1)a.
Un jeu est une succession de jets d'une pièce qui fait pile avec la probabilité p. Un joueur dispose initialement d'une fortune a. On note F_n la variable aléatoire égale à la fortune du joueur à l'issue du du n^(ème) lancer. On convient que F_0 est la variable aléatoire certaine égale à a. On obtient la fortune F_(n + 1) à partir de F_n de la manière suivante :
avant le lancer n + 1, le joueur mise une partie X_n, entière, de sa fortune sur pile et l'autre partie, F_n − X_n, sur face. Si le lancer n + 1 fait apparaître pile, la fortune F_(n + 1) est égale à 2X_n, s'il fait apparaître face, la fortune F_(n + 1) est égale à 2(F_n − X_n). Ainsi, à tout instant, la fortune du joueur est un entier pair, éventuellement nul.
On étudie, dans ce problème, deux exemples ( parties 1 et 2 ) dans lesquels les mises X_n sont des variables aléatoires. A cet effet, on associe aux variables aléatoires F_n des polynômes G_n dont les propriétés générales sont établies en préliminaire. Ces polynômes servent à obtenir des informations sur l'évolution de la fortune du joueur tout au long du jeu.
E(X) et V(X) désignent, quand elles existent, l'espérance et la variance de X.

Résultats préliminaires .

  1. Pour tout entier positif ou nul n, montrer que F_n prend ses valeurs dans {0, 2, 4, …, 2a_n}.
Pour tout entier positif ou nul n, on définit le polynôme G_n par: G_n(x) = ∑_(k = 0)^(a_n)P(F_n = 2k)x^k
2) a) Calculer G_n(1).
b) Que représente concrètement G_n(0) ? Montrer, à l'aide d'un argument probabiliste, que la suite de terme général G_n(0) est croissante et convergente.
c) Montrer que G_n^′(1) = E(F_n)/2. Etablir de même que V(F_n) = 4G_n^(′′)(1) + 2E(F_n) − E(F_n)^2.
3) Montrer que le polynôme G_n est convexe sur IR+.

Première partie

Soit n un entier positif ou nul et k un entier tel que 0 ≤ k ≤ a_n. On suppose dans cette partie que la loi conditionnelle de X_n sachant {F_n = 2k} est une loi uniforme sur {0, 1, 2, …, 2k − 1, 2k}.
  1. Etablir, pour tout entier j tel que 0 ≤ j ≤ 2k, l'égalité P(F_(n + 1) = 2j ∩ F_n = 2k) = 1/(2k + 1)P(F_n = 2k). (On pourra utiliser le système complet d'événements constitué par les deux résultats possibles du lancer n + 1.)
  2. En déduire, pour tout entier j tel que 0 ≤ j ≤ a_(n + 1), une expression sommatoire de P(F_(n + 1) = 2j).
  3. Montrer que pour x appartenant à [0, 1[, G_(n + 1)(x) = ∑_(k = 0)^(a_n)(x^(2k + 1) − 1)/((2k + 1) ⋅ (x − 1))P(F_n = 2k).
  4. En déduire, pour x appartenant à IR , l'égalité : (1 − x)G_(n + 1)(x) = ∫_x^1 G_n ⋅ (t^2)dt
  5. Prouver, en dérivant deux fois cette égalité, que pour tout n ≥ 0, on a E(F_n) = a.

Deuxième partie (Les deux sous parties A et B sont indépendantes)

On suppose maintenant que la loi conditionnelle de la variable X_n sachant {F_n = 2k} est une loi binômiale de paramètres 2k et r, r étant un réel de ] 0,1 [.

A) Simulation informatique de l'expérience

On considère le programme suivant :
program simulation;
var a,n,i,X,F:integer;
        r,p:real;
function mise(m : integer, s : real): integer;
    ..................
    end;
begin
randomize ; readln (n); readln(p); readln(r); readln(a);F:=a;
for i:= 1 to n do
        begin X:=mise(F,r);
            if random < p then
____
        end;
end.
La fonction " random " est une fonction sans argument. A son appel, l'ordinateur génère un nombre aléatoire compris entre 0 et 1 , nombre qui suit une loi uniforme sur [0, 1]. L'instruction " randomize " est utilisée pour obliger l'ordinateur à générer un nouveau nombre à chaque appel de la fonction.
La fonction " mise " est une fonction qui simule une loi bino̊miale de paramètres m et s. Elle doit donc prendre, à chaque appel, une valeur aléatoire entière comprise au sens large entre 0 et m , la probabilité qu'elle prenne une valeur donnée étant celle fournie par la loi binỏmiale de paramètres m et s.
  1. Rédiger les lignes manquantes ( déclarations et instructions ) dans la définition de la fonction "mise ".
  2. Rédiger les instructions manquantes du corps principal du programme de telle sorte que celui-ci calcule et affiche les fortunes successives F_1, …, F_n du joueur, les paramètres a, r, p, n étant fournis par l'utilisateur.

B) Etude théorique

Dans toute cette partie, on posera A = pr^2 + (1 − p)(1 − r)^2 et B = 2[pr + (1 − p)(1 − r)].
  1. En procédant comme dans les trois premières questions de la première partie, montrer que pour tout réel x et tout entier n ≥ 0, on a: G_(n + 1)(x) = pG_n[(xr + 1 − r)^2] + (1 − p)G_n[(x − xr + r)^2].
Dans les questions 2 et 3, on suppose que p = 1/2.
On considère le trinôme Q, défini par Q(x) = Ax^2 + 2r(1 − r)x + A, et la suite (u_n) définie par la condition initiale u_0 = 0 et, pour tout entier n ≥ 0, par la relation de récurrence u_(n + 1) = Q(u_n).
2) a) Montrer, pour tout réel x, l'égalité : Q(x) = x + A(x − 1)^2.
b) Montrer que l'intervalle [0, 1] est stable par Q.
c) Montrer que la suite (u_n) est croissante et convergente. Donner la valeur de sa limite.
3) a) Montrer, en utilisant (2) et la convexité de G_n, que pour tout entier n ≥ 0 et tout réel x ≥ 0, on a l'inégalité: G_(n + 1)(x) ≥ G_n[Q(x)].
b) Etablir, pour tout entier n ≥ 0, l'inégalité : G_(n + 1)(0) ≥ G_1(u_n). Conclure.
On revient au cas général p quelconque.
4) a) Montrer à l'aide de (2), que la suite (E(F_n))_n est géométrique de raison B.
b) En posant p^′ = 1/2 − p et r^′ = 1/2 − r, étudier la limite de cette suite suivant les valeurs de p et r.
c) Montrer que si la suite (E(F_n))_n tend vers 0 , alors la suite (P(F_n = 0))_n tend vers 1 .
5) a) Pour tout entier n ≥ 0, établir à l'aide de (2) une relation entre G_(n + 1)^(′′)(1), G_n^(′′)(1) et G_n^′(1).
b) Montrer que la suite de terme général v_n = G_n^(′′)(1)/B^n est arithmético-géométrique.
c) En déduire, pour tout entier n ≥ 0, une expression explicite de G_n^(′′)(1) en fonction de a, n, A, B.
On suppose, dans cette demière question, que p = r = 1/3.
6) a) Calculer les trois réel A, B, B^2 et en déduire un équivalent de V(F_n) quand n tend vers l'infini.
b) Montrer, à l'aide de l'inégalité de Bienaymé-Tchebichev, que la probabilité P(F_n < 2^(n/4)a) tend vers 1 quand n tend vers l'infini. (On utilisera les inégalités : 2^(1/4) > 10/9 et 3 ⋅ √2 > 4.)
Fin de l'épreuve

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