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BCE Maths approfondies emlyon ECS 2001Sujet et corrigé

Epreuve de maths approfondies - ECS 2001

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Annale de maths approfondies BCE emlyon pour la filiere ECS, session 2001.

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Programme ESC d'E.M.LYON
CONCOURS D'ENTREE 2001

MATHEMATIQUES
1ère épreuve (option scientifique)
Les candidats ne doivent pas faire usage d'aucun document; l'utilisation de toute calculatrice et de tout matériel électronique est interdite.
Seule l'utilisation d'une règle graduée est autorisée.

Problème 1

On note I = [ − 1/2; 1/2].
Le but du problème est la construction d'une application f : I ↦ ℝ, continue et telle que:
∀x ∈ I, f(x) = 1 + 1/2∫_0^x(f(t) + f(t^2))dt
On considère les applications f_n : I ↦ ℝ, pour n ∈ ℕ, définies par f_0 = 1 (application constante égale à 1) et:
∀n ∈ ℕ, ∀x ∈ I, f_(n + 1)(x) = 1 + 1/2∫_0^x(f_n(t) + f_n(t^2))dt
(a) Montrer que, pour tout n ∈ ℕ, f_n est une application polynomiale.
(b) Vérifier que, pour tout x ∈ I, f_1(x) = 1 + x et f_2(x) = 1 + x + (x^2)/4 + (x^3)/6, et calculer f_3(x).
2. Pour tout n ∈ ℕ^×, la fonction continue |f_n − f_(n − 1)| admet une borne supérieure sur I.
On note D_n = sup_(x ∈ I)|f_n(x) − f_(n − 1)(x)|.
(a) Calculer D_1 et D_2.
(b) Montrer: ∀n ∈ ℕ^×, ∀x ∈ I, |f_(n + 1)(x) − f_n(x)| ≤ 1/2D_n.
On pourra étudier séparément les cas x ∈ [0; 1/2] et x ∈ [ − 1/2; 0].
(c) En déduire: ∀n ∈ ℕ^×, D_n ≤ 1/(2^n).
(d) Établir la convergence de la série ∑_(n ≥ 1)D_n.
En déduire que, pour tout x fixé dans I, la série ∑_(n ≥ 1)(f_n(x) − f_(n − 1)(x)) converge.
3. Établir que, pour tout x fixé dans I, la suite (f_n(x))_(n ∈ ℕ) converge.
On définit ainsi une application f : I ↦ ℝ par: ∀x ∈ I, f(x) = lim_(n → + ∞)f_n(x).
4. On note, pour tout n ∈ ℕ, M_n = sup_(x ∈ I)|f_n(x)|.
(a) Montrer: ∀n ∈ ℕ^×, M_n ≤ 1 + 1/2M_(n − 1).
(b) Montrer: ∀n ∈ ℕ, M_n ≤ 2.
(c) Établir: ∀n ∈ ℕ, ∀(x, y) ∈ I^2, |f_n(x) − f_n(y)| ≤ 2|x − y|.
5.
(a) Établir: ∀(x, y) ∈ I^2, |f(x) − f(y)| ≤ 2|x − y|.
(b) En déduire que f est continue sur I.
6.
(a) Établir: ∀x ∈ I, ∀n ∈ ℕ^×, ∀p ∈ ℕ^×, |f_(n + p)(x) − f_n(x)| ≤ 1/(2^n)(1 − 1/(2^p)).
(b) En déduire: ∀x ∈ I, ∀n ∈ ℕ^×|f(x) − f_n(x)| ≤ 1/(2^n).
7. En déduire: ∀x ∈ I, f(x) = 1 + 1/2∫_0^x(f(t) + f(t^2))dt.

Problème 2

Rappel:

Pour tout entier n ≥ 1, l'équation z^n = 1, d'inconnue z appartenant à ℂ, admet exactement n racines complexes distinctes qui sont
1, e^(iθ), e^(2iθ), …, e^(i(n − 1)θ) avec θ = (2π)/n

Définitions:

Soit E un espace vectoriel sur ℂ.
  • On note id_E l'application identique de E.
  • Pour tout endomorphisme f de E, on note f^0 = id_E, et pour tout entier naturel k, f_(k + 1) = f_k ∘ f.
  • Soit p ∈ ℕ^×. On dit qu'un endomorphisme f de E est cyclique d'ordre p s'il existe un élément x_0 de E vérifiant les trois conditions suivantes
{∗ f^p(x_0) = x_0; ⋆ la famille (x_0, f(x_0), …, f^(p − 1)(x_0)) est génératrice de E; ⋆ la famille (x_0, f(x_0), …, f^(p − 1)(x_0)) est constituée d'éléments deux à deux distincts.
La famille (x_0, f(x_0), …, f^(p − 1)(x_0)) est alors appelée un cycle de f.

Etude d'un exemple

Dans cette partie, E est un espace vectoriel sur ℂ de dimension 3, et B = (e_1, e_2, e_3) est une base de E. On considère l'endomorphisme f de E dont la matrice associée dans la base B est:
A = (1, 2, 2; 1, 1, 2; − 2, − 2, − 3)
  1. Vérifier que ( e_1, f(e_1), f^2(e_1) ) est une base de E et déterminer la matrice associée à f relativement à cette base.
  2. Montrer que f est cyclique d'ordre 4 et que ( e_1, f(e_1), f^2(e_1), f^3(e_1) ) est un cycle de f.
  3. Montrer que f^4 = id_E.
  4. Montrer que f est diagonalisable en déterminant une base de E constituée de vecteurs propres de f.

Cas général

Dans cette partie, E est un espace vectoriel sur ℂ de dimension n, et on considère un endomorphisme f de E cyclique d'ordre p.
Soit ( x_0, f(x_0), …, f^(p − 1)(x_0)) un cycle de f.
  1. Montrer : p ≥ n.
  2. Montrer que f^p = id_E. En déduire que f est bijective.
  3. On note m le plus grand des entiers naturels k tels que la famille (x_0, f(x_0), …, f^(k − 1)(x_0)) est libre.
    (a) Montrer que f_m(x_0) est combinaison linéaire des m vecteurs x_0, f(x_0), …, f^(m − 1)(x_0)
    (b) Montrer, par récurrence, que pour tout entier naturel k supérieur ou égal à m, le vecteur f^k(x_0) est combinaison linéaire des m vecteurs x_0, f(x_0), …, f^(m − 1)(x_0)
    (c) En déduire que m = n et que la famille ( x_0, f(x_0), …, f^(n − 1)(x_0) ) est une base de E.
  4. On note a_0, a_1, …, a_(n − 1) les n nombres complexes tels que:
f^n(x_0) = a_0 x_0 + a_1 f(x_0) + a_2 f^2(x_0) + ⋯ + a_(n − 1)f^(n − 1)(x_0)
(a) On considère l'endomorphisme g de E défini par g = a_0 id_E + a_1 f + a_2 f^2 + ⋯ + a_(n − 1)f^(n − 1).
Montrer: ∀k ∈ ℕ, g(f^k(x_0)) = f^(n + k)(x_0).
En déduire: f^n = a_0 id_E + a_1 f + a_2 f^2 + ⋯ + a_(n − 1)f^(n − 1).
(b) Déterminer la matrice associée à f relativement à la base ( x_0, f(x_0), …, f^(n − 1)(x_0) ) à l'aide des coefficients a_0, a_1, …, a_(n − 1).
(c) Montrer: ∀λ ∈ ℂ, rg(f − λid_E) ≥ n − 1.
En déduire que les sous-espaces propres de f sont de dimension 1 .
5. On suppose dans cette question que f est cyclique d'ordre n ( et dim(E) = n ). Soit ( x_0, f(x_0), …, f^(n − 1)(x_0) ) un cycle de f.
(a) Montrer que si un nombre complexe λ est valeur propre de f, alors λ^n = 1.
(b) Déterminer la matrice associée à f relativement à la base ( x_0, f(x_0), …, f^(n − 1)(x_0) ).
(c) Montrer que f est diagonalisable en déterminant une base de E constituée de vecteurs propres de f.

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