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BCE Maths approfondies emlyon ECS 2002Sujet et corrigé

Epreuve de maths approfondies - ECS 2002

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Annale de maths approfondies BCE emlyon pour la filiere ECS, session 2002.

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Programme ESC d'E.M.LYON
CONCOURS D'ENTRÉE 2002

MATHEMATIQUES
1 ère épreuve (option scientifique)

Lundi 29 avril 2002 de 8 heures à 12 heures
Les candidats ne doivent faire usage d'aucun document; l'utilisation de toute calculatrice et de tout matériel électronique est interdite.
Seule l'utilisation d'une règle graduée est autorisée.

PREMIER PROBLÈME

On note, pour tout entier p ⩾ 1 :
u_p = 1/p − ∫_p^(p÷1)1/t dt
et, pour tout entier n ⩾ 1 :
a_n = ∑_(p = 1)^n u_p = u_1 + … + u_n.

PARTIE I : Étude de la suite (a_n)_(n ⩾ 1)

  1. Montrer, pour tout entier p ⩾ 1 :
0 ⩽ u_p ⩽ 1/p − 1/(p + 1).
  1. En déduire que la suite (a_n)_(n ⩾ 1) est croissante et converge vers un réel, noté γ, tel que 0 ⩽ γ ⩽ 1.

PARTIE II : Expression intégrale du réel γ.

1.a. Établir, pour tout réel x :
1 + x ⩽ e^x
b. En déduire, pour tout entier n ⩾ 1 et tout réel t tel que 0 ⩽ t ⩽ n :
(1 + t/n)^n ⩽ e^t et (1 − t/n)^n ⩽ e^(− t)
puis :
(1 − (t^2)/(n^2))^n e^(− t) ⩽ (1 − t/n)^n ⩽ e^(− t))
2.a. Établir, pour tout entier n ⩾ 1 et tout réel x de [0; 1] :
(1 − x)^n + nx − 1 ⩾ 0.
b. En utilisant 1.b. et 2.a., montrer, pour tout entier n ⩾ 1 et tout réel t tel que 0 ⩽ t ⩽ n :
0 ⩽ e^(− t) − (1 − t/n)^n ⩽ (t^2)/ne^(− t)
3.a. On note, pour tout entier n ⩾ 1 :
I_n = ∫_0^n 1/t(e^(− t) − (1 − t/n)^n)dt
Justifier l'existence de I_n.
b. Établir que I_n tend vers 0 lorsque n tend vers linfini.
4.a. Établir, pour tout entier n ⩾ 1 :
∑_(k = 0)^(n − 1)∫_0^n(1 − t/n)^k dt = n(a_n + ln(n + 1))
b. On note, pour tout entier n ⩾ 1 :
J_n = ∫_0^n 1/t(1 − (1 − t/n)^n)dt
Justifier lexistence de J_n, et montrer, pour tout entier n ⩾ 1 :
J_n = a_n + ln(n + 1)
  1. On note :
U = ∫_0^1(1 − e^(− t))/t dt et V = ∫_1^(+ ∞)(e^(− t))/t dt
a. Justifier l'existence de U et de V.
b. Démontrer :
γ = U − V.

DEUXIÈME PROBLÈME

Soit E un espace vectoriel euclidien de dimension n, dont le produit scalaire est noté ⟨, ⟩.
L'objectif du problème est d'étudier les endomorphismes u de E tels que :
∀x ∈ E, ⟨u(x), x⟩ = 0.
Les endomorphismes vérifiant cette propriété sont appelés endomorphismes antisymétriques.

PARTIE I. Étude d'un exemple

Dans cette partie, E est l'espace vectoriel des fonctions polynômes à coefficients réels, de degré inférieur ou égal à 2 . On rappelle que ( 1, X, X^2 ) est une base de E.
On considère l'application φ : E^2 ⟶ ℝ définie pour tout couple (P, Q) d'éléments de E par :
φ(P, Q) = P(0)Q(0) + P(1)Q(1) + P(− 1)Q(− 1)
  1. Vérifier que φ est un produit scalaire.
Dans cette première partie, on considère que E est muni de ce produit scalaire.
2. On considère l'endomorphisme u de E défini pour tout P de E par:
u(P) = 2P^′(0)X^2 − (P(1) + P(− 1))X
a. Vérifier: ∀P ∈ E, 2P^′(0) − P(1) + P(− 1) = 0.
b. En déduire que u est un endomorphisme antisymétrique de l'espace vectoriel euclidien E.
3. Soient P_1 = 1/2(X^2 + X) et P_2 = 1/2u(P_1).
a. Vérifier que P_1 est un vecteur propre de u^2 et que la famille ( P_1, P_2 ) est orthonormale.
b. Déterminer une base de Keru.
c. Déterminer une base orthonormale B de E et un nombre réel a tels que la matrice associée à u relativement à cette base soit (0, − a, 0; a, 0, 0; 0, 0, 0).

PARTIE II. Caractérisations des endomorphismes antisymétriques

Soit u un endomorphisme de E.
  1. Pour tout couple (x, y) de E^2, développer ⟨u(x + y), x + y⟩.
En déduire que u est un endomorphisme antisymétrique si et seulement si :
∀(x, y) ∈ E^2, ⟨u(x), y⟩ = − ⟨x, u(y)⟩.
  1. On suppose dans cette question que la dimension n de E est non nulle.
Soient B = (e_1, e_2, …, e_n) une base orthonormale de E, et M = (m_(i, j))_(1 ⩽ i, j ⩽ n) la matrice associée à u relativement à la base B.
a. Montrer: ∀(i, j) ∈ {1, …, n}^2, m_(i, j) = ⟨ε_i, u(e_j)⟩.
b. En déduire que u est un endomorphisme antisymétrique si et seulement si la matrice M associée à u relativement à la base B vérific ^t M = − M.

PARTIE III. Propriétés générales des endomorphismes antisymétriques

Soit u un endomorphisme antisymétrique non nul de E.
On pourra utiliser la caractérisation obtenue dans la question II.1.
  1. Soit λ un nombre réel. Montrer que si λ est valeur propre de u, alors λ = 0.
  2. Montrer que Imu et Keru sont orthogonaux et supplémentaires dans E.
En déduire que Ker u = Ker(u^2).
3. Montrer que u^2 est un endomorphisme symétrique de E et que toute valeur propre de u^2 est négative ou nulle.
4.a. Montrer que u^2 admet au moins une valeur propre non nulle.
Soient x un vecteur propre de u^2 associé à une valeur propre non nulle, et F le sous-espace vectoriel de E engendré par ( x, u(x) ).
b. Montrer que F est un plan vectoriel stable par u.
c. Montrer que F^⊥, le supplémentaire orthogonal de F, est stable par u.
d. On munit F^⊥ du produit scalaire (, ⟩_1 défini pour tout couple (x, y) d'éléments de F^⊥ par ⟨x, y⟩_1 = ⟨x, y⟩.
On définit l'endomorphisme u_1 de F^⊥ par: ∀x ∈ F^⊥, u_1(x) = u(x).
Montrer que u_1 est un endomorphisme antisymétrique de F^⊥ et que Imu = F∙Imu_1.
5. Montrer que le rang dun endomorphisme antisymétrique est pair. On pourra faire une récurrence sur la dimension de E.

PARTIE IV. Application

Dans cette partie, E est un espace vectoriel euclidien de dimension 4 et B = (e_1, e_2, e_3, e_4) est une base orthonormale de E.
Soit u l'endomorphisme de E associé, relativement à la base B, à la matrice
A = (0, 4, 1, − 1; − 4, 0, − 1, − 1; − 1, 1, 0, − 5; 1, 1, 5, 0)
  1. Montrer que u est un endomorphisme antisymétrique de E.
Vérifier que le vecteur f_1 = e_1 + e_2 − e_3 est vecteur propre de u^2.
2. Soit F le sous-espace vectoriel de E engendré par la famille ( f_1, u(f_1) ). Déterminer une base orthonormale de F et une base orthonormale de F^⊥.
3. En déduire une base orthonormale B_0 de E et deux nombres réels a et b tels que la matrice associée à u relativement à B_0 soit (0, − a, 0, 0; a, 0, 0, 0; 0, 0, 0, − b; 0, 0, b, 0).

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