Ecricome Maths appliquées ECE 2002Sujet et corrigé

CONCOURS D'ADMISSION 2002

option économique

MATHÉMATIQUES

1. EXERCICE

1.1. Structure de E.

1. Montrer que E est un sous-espace vectoriel de M_3(ℝ).
2. Donner une base de F, ainsi que sa dimension.

1.2. Etude d'un cas particulier.

1. Calculer A^2. En déduire que A est une matrice inversible et exprimer A^(− 1) en fonction de A.
2. Déterminer les valeurs propres de A.
3. Trouver une base de ℝ^3 dans laquelle la matrice de f_(1, 0) est :

1.3. Diagonalisation des éléments de E et application.

1. Justifier que les matrices de l'ensemble E sont diagonalisables.
2. Montrer que C = (u⃗, v⃗, w⃗) est une base de ℝ^3.
3. On note P la matrice de passage de la base B à la base C. Ecrire P.
4. Déterminer F^(− 1).
5. Exprimer les vecteurs f_(a, b)(u⃗), f_(a, b)(v⃗), f_(a, b)(w⃗) en fonction de u⃗, v⃗, w⃗.
6. En déduire l'expression de la matrice D_(a, b) de f_(a, b) dans la base C.
7. Justifier l'égalité :

8. Donner une condition nécessaire et suffisante portant sur a et b pour que D_(a, b) soit inversible.
9. Cette condition étant réalisée, déterminer la matrice inverse de D_(a, b).
10. Donner une condition nécessaire et suffisante portant sur a et b pour que M_(a, b) soit inversible.

2. EXERCICE.

2.1. Etude des fonctions f_n.

1. Etudier le sens de variation des fonctions h_n.
2. Calculer h_n(0), puis en déduire le signe de h_n.
3. Etude du cas particulier n = 1.
   a. Après avoir justifié la dérivabilité de f_1 sur ] − 1, + ∞[, exprimer f_1^′(x) en fonction de h_1(x).
   b. En déduire les variations de la fonction f_1 sur ] − 1, + ∞[.
4. Soit n ∈ ℕ^∗ − {1}
   a. Justifier la dérivabilité de f_n sur ] − 1, + ∞[ et exprimer f_n^′(x) en fonction de h_n(x).
   b. En déduire les variations de f_n sur ] − 1, + ∞[. (On distinguera les cas n pair et n impair). On précisera les limites aux bornes sans étudier les branches infinies.

2.2. Etude d'une suite.

2.2.1. Calcul de U_1.

1. Prouver l'existence de trois réels a, b, c tels que :

2. En déduire la valeur de l'intégrale:

3. Montrer que U_1 = 1/4.
   2.2.2. Convergence de la suite (U_n)_(n ∈ ℕ^∗).
4. Montrer que la suite (U_n)_(n ∈ ℕ^∗) est monotone.
5. Justifier la convergence de la suite (U_n)_(n ∈ ℕ^∗). (on ne demande pas sa limite).
6. Démontrer que :

4. En déduire la limite de la suite (U_n)_(n ∈ ℕ^∗).

2.2.3. Calcul de U_n pour n ⩾ 2.

1. Montrer que :

2. En déduire que :

3. Fin utilisant une intégration par parties dans le calcul de U_n, montrer que :

3. EXERCICE.

3.1. Etude du cas c = 0.

1. Déterminer la loi de X. Donner la valeur de E(X) et de V(X).
2. Pour k ∈ {1, …, n}, déterminer la probabilité P(Y = k) de l'événement (Y = k), puis déterminer P(Y = 0).
3. Vérifier que :

4. Pour x ≠ 1 et n entier non nul, montrer que :

5. En déduire F(Y).

3.2. Etude du cas c ≠ 0.

1. Que représente la variable Z_p ?
2. Donner la loi de X_1 et l'espérance E(X_1) de X_1.
3. Déterminer la loi du couple ( X_1, X_2 ). En déduire la loi de X_2 puis l'espérance E(X_2).
4. Déterminer la loi de probabilité de Z_2.
5. Déterminer l'univers image Z_p(Ω) de Z_p.
6. Soit p ⩽ n − 1.
   a. Déterminer P(X_(p + 1) = 1/Z_p = k) pour k ∈ Z_p(Ω).
   b. En utilisant la formule des probabilités totales, montrer que :