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BCE Maths appliquées ESC ECE 2002Sujet et corrigé

Epreuve de maths appliquées - ECE 2002

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Annale de maths appliquées BCE ESC pour la filiere ECE, session 2002.

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Epreuve maths voie conomique

EXERCICE 1 : suite d'intégrales impropres.
On considère, pour n entier naturel non nul, la fonction f_n définie sur ℝ_+^∗ par :
f_n(x) = (nlnx)/(n + 1 + nx^2) pour tout réel x strictement positif.
On définit également sur ℝ_+^∗ la fonction h par :
h(x) = (lnx)/(1 + x^2) pour tout x strictement positif.
  1. Montrer que les fonctions f_n et h sont continues sur ℝ_+^∗ et étudier leur signe.
  2. (a) Montrer que l'intégrale impropre ∫_1^(+ ∞)(lnx)/(x^2)dx est convergente et déterminer sa valeur.
    (b) Montrer que l'intégrale impropre ∫_1^(+ ∞)h(x)dx est convergente.
Dans toute la suite de l'exercice on note alors K l'intégrale impropre :
K = ∫_1^(+ ∞)h(x)dx.
3. (a) Montrer, grâce au changement de variable u = 1/x que K = − ∫_0^1 h(u)du.
(b) En déduire que l'intégrale impropre ∫_0^(+ ∞)|h(x)|dx converge et est égale à 2K.
(c) En déduire également que l'intégrale impropre ∫_0^(+ ∞)h(x)dx converge et vaut 0 .
4. (a) Montrer que pour tout réel x strictement positif, |f_n(x)| ⩽ |h(x)|. En déduire la convergence de l'intégrale ∫_0^(+ ∞)f_n(x)dx.
(b) Montrer que pour tout réel x strictement positif, h(x) − f_n(x) = (h(x))/(n + 1 + nx^2).
(c) En déduire successivement :
0 ⩽ ∫_1^(+ ∞)(h(x) − f_n(x))dx ⩽ K/(n + 1); − K/(n + 1) ⩽ ∫_0^1(h(x) − f_n(x))dx ⩽ 0
(d) Montrer que lim_(n → + ∞)∫_0^(+ ∞)f_n(x)dx = 0.

EXERCICE 2 : calcul matriciel et algèbre linéaire.

On considère un paramètre réel m, et les matrices suivantes :
A_m = (2, 2, 2; 2, 2 + m, 2 + m; − 2, − 2 − m, − 2 − m) et I_3 = (1, 0, 0; 0, 1, 0; 0, 0, 1)
  1. (a) Montrer que A_m^2 et A_m^3 ne dépendent plus de m, et vérifier que : A_m^3 = 2.A_m^2.
    (b) On suppose que λ est une valeur propre de A_m et que X est un vecteur propre associé à cette valeur propre λ. Montrer que : (λ^3 − 2λ^2)X = (0; 0; 0) et en déduire que : S_p(A_m) ⊂ {0, 2}.
  2. Dans cette série de questions on étudie le cas m = 0 et on cherche à diagonaliser A_0.
    (a) Montrer que les réels 0 et 2 sont bien valeurs propres de A_0.
    (b) Déterminer une base de chacun des deux sous-espaces propres de A_0.
    (c) Montrer que A_0 est diagonalisable, et donner une matrice carrée inversible Q et une matrice diagonale D = (α, 0, 0; 0, α, 0; 0, 0, β) telles que A_0 = QDQ^(− 1).
    (d) Montrer l'existence de deux réels a et b tels que A_0^2 = aA_0 + bI_3.
  3. Dans cette série de questions, on suppose que le paramètre m est non nul. On note B = (e_1, e_2, e_3) la base canonique de ℝ^⊮ et f_m l'endomorphisme de ℝ^⊮ dont la matrice relativement à B est A_m.
    (a) Montrer que les réels 0 et 2 sont bien valeurs propres de f_m.
    (b) Déterminer une base de chacun des deux sous-espaces propres de f_m .
    La matrice A_m est-elle diagonalisable ?
    (c) On pose les vecteurs de ℝ^⊮ :
    u = e_1 − e_2 = (1, − 1, 0); v = f_m(u); w = e_1 + e_2 − e_3 = (1, 1, − 1).
    Calculer v, f_m(v) et f_m(w).
    (d) Montrer que la famille ( u, v, w ) est une base de ℝ^⊮ et former la matrice de l'endomorphisme f_m relativement à cette base.
    (e) En déduire une matrice carrée inversible P_m telle que P_m^(− 1)A_m P_m = (0, 0, 0; 1, 0, 0; 0, 0, 2)
    (f) Existe-t-il des réels c et d tels que A_m^2 = cA_m + dI_3 ?
EXERCICE 3 : v.a.r. usuelles, fonctions de deux variables, optimisation.
Dans tout l'exercice n désigne un entier naturel supérieur ou égal à 2 .
On considère deux variables aléatoires discrètes indépendantes X et Y telles que :
X suit une loi binomiale de paramètres n et x (notée B(n, x) avec x ∈ ]0, 1[ ).
Y suit une loi binomiale de paramètres n et y (notée B(n, y) avec y ∈ ]0, 1[ ).
On pose alors Z la variable aléatoire discrète définie par l'égalité : Z = 2n − X − Y.
  1. (a) Déterminer l'ensemble Z(Ω) des valeurs possibles de Z.
    (b) Exprimer en fonction de n, x et y les probabilités :
P(Z = 0); P(Z = 2n); P(Z = 2n − 1); P(Z = 1)
  1. (a) Donner les espérances et variances suivantes : E(X), E(Y), V(X), V(Y), et en déduire E(X^2) et E(Y^2).
    (b) On pose W la variable aléatoire définie par W = XYZ.
Montrer que l'espérance de W est donnée par : E(W) = n^2(n − 1) xy(2 − x − y).
3. On pose D = ]0, 1[ × ]0, 1[ et f la fonction de deux variables définie sur D par :
f(x, y) = xy(2 − x − y) pour tout couple (x, y) de D
(a) Justifier que f est de classe C^2 sur D.
(b) Calculer les dérivées partielles d'ordre 1 de f, en déduire le seul point (x_0, y_0) de D (appelé " point critique ") susceptible de réaliser un extremum local pour f.
(c) Calculer les dérivées partielles d'ordre 2 de f, et montrer que f admet un maximum local en (x_0, y_0) de valeur 8/(27).
(d) Montrer que pour tout couple (x, y) de D :
f(x, y) − 8/(27) = 1/4(y − 2/3)^2(y − 8/3) − y(x + 1/2y − 1)^2
En déduire que ce maximum local est un maximum global de f sur D.
4. On suppose que les variables X, Y définies plus haut représentent, en centimètres, la largeur et la longueur d'une brique, dont la hauteur Z est telle que la somme des côtés, X + Y + Z, est toujours égale à 56 cm , et de volume XYZ.
(a) Quelles sont les valeurs que l'on doit donner aux paramètres x et y pour que le volume moyen de la brique soit maximal ?
(b) Montrer que ce volume moyen maximum est de 6272 cm^3.

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