Ecricome Maths approfondies ECS 2002Sujet et corrigé

Epreuve de maths approfondies - ECS 2002

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Annale de maths approfondies Ecricome pour la filiere ECS, session 2002.

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CONCOURS D'ADMISSION 2002

option scientifique

MATHÉMATIQUES

mercredi 22 mai 2002 de 8 h 00 à 12 h 00
durée : 4 heures

Aucun instrument de calcul n'est autorisé.
Aucun document n'est autorisé.

L'énoncé comporte 7 pages.

Les candidats sont invités à soigner la présentation de leur copie, à mettre en évidence les principaux résultats, à respecter les notations de l'énoncé, et à donner des démonstrations complètes (mais brèves) de leurs affirmations.

1. EXERCICE.

E

désigne un espace vectoriel sur le corps

ℂ

des nombres complexes.

Id_E

l'identité de

E, Θ

l'endomorphisme nul.

ℂ[X]

l'ensemble des polynômes à coefficients complexes.
Pour tout

n, ℂ_n[X]

représente l'ensemble des polynômes à coefficients complexes, de degré inférieur ou égal à l'entier

n

.
Si

g

est un endomorphisme de

E

, on définit

g^n

par :

{g^0 = Id_E; g^n = g^(n − 1) ∘ g, n ∈ ℕ^∗

Pour tout polynôme

P

ℂ[X]

tel que :

P(X) = a_0 + a_1 X + \dots + a_p X^p

, on note

P(g)

l'endomorphisme de

E

égal à :

P(g) = a_0 Id_E + a_1 g + \dots + a_p g^p

On rappelle que pour tous polynômes

P, Q

ℂ[X]

on a :

(PQ)(g) = P(g) \circ Q(g) = Q(g) \circ P(g)

Puissance d'un endomorphisme.

On désigne par

T

le polynôme de

ℂ[X]

défini par :

T(X) = 3X^3 - X^2 - X - 1

et par

f

un endomorphisme de

E

satisfaisant à la relation:

T(f) = Θ

Montrer que 1 est la seule racine réelle de $T$ . Soient $α$ et $α¯$ les deux autres racines non réelles et conjuguées. Calculer $α + α¯$ et $αα¯$ .
On désigne par $φ$ l'application qui, à tout polynôme $P$ de $ℂ[X]$ associe le reste dans la division euclidienne de $P$ par $T$ .
a. Rappeler le théorème de la division des polynômes suivant les puissances décroissantes.
b. Montrer que $φ$ est un endomorphisme de $ℂ[X]$ .
c. L'endomorphisme $φ$ est-il injectif ? Est-il surjectif ?
On note $L_1, L_2, L_3$ , les polynômes définis par:

L_1(X) = (X - 1)(X - α), L_2(X) = (X - 1)(X - α¯); L_3(X) = (X - α)(X - α¯)

a. Montrer que

(L_1, L_2, L_3)

est une base de

ℂ_2[X]

.
b. Montrer que pour tout

n

ℕ

, il existe un unique triplet (

a_n, b_n, c_n

) appartenant à

ℂ^3

tel que :

φ(X^n) = a_n L_1 + b_n L_2 + c_n L_3

et exprimer

a_n, b_n, c_n

en fonction de

α, α¯, n

. Vérifier que

c_n = 1/2

.
c. Prouver que pour tout

n

ℕ

f^n = a_n L_1(f) + b_n L_2(f) + c_n L_3(f)

d. Justifier la convergence des suites

(a_n), (b_n), (c_n)

vers des réels respectifs

a, b, c

.
4. On pose

h = aL_1(f) + bL_2(f) + cL_3(f)

.
a. Montrer que

h = 1/6(3f^2 + 2f + Id_E)

.
b. Prouver enfin que

h

est un projecteur.

2. EXERCICE.

On se propose ici d'étudier la série de terme général :

u_n(x) = a_n x^n

où

x

est un réel quelconque et

a_n

un réel défini par:

a_n = \int_0^1[(1 + t^2)/2]^n dt, n \in ℕ

2.1. Etude de l'absolue convergence de la série.

Prouver que pour tout $n$ entier naturel :

1/(n + 1) ⩽ a_n ⩽ 2/(n + 1)

Pour $|x| = 1$ , la série de terme général $u_π(x)$ est-elle absolument convergente ?
Donner une condition nécessaire et suffisante, sur $x$ , pour que la série de terme général $u_n(x)$ soit absolument convergente.
2.2. Somme de la série pour $- 1 ⩽ x < 1$ .

On suppose maintenant,

- 1 ⩽ x < 1

Pour $t \in [0, 1]$ , montrer que :

2 - x - xt^2 ⩾ 3/2(1 - x)

Justifier l'existence de l'intégrale: $\int_0^1(2dt)/(2 - x - xt^2)$
On pose

f(x) = \int_0^1(2dt)/(2 - x - xt^2)

Montrer que pour tous les entiers naturels

n

|f(x) - \sum_(k = 0)^n u_k(x)| ⩽ (8|x|^(n + 1))/(3(n + 2)(1 - x))

En déduire la convergence et la somme de la série de terme général $u_n(x)$ .
Donner la valeur de $a_0$ , puis établir la relation de récurrence suivante :

\forallk \in ℕ (2k + 3)a_(k + 1) = 1 + (k + 1)a_k.

Ecrire en PASCAL un algorithme permettant d'obtenir une valeur approchée de $f(x)$ à $10^(- p)$ près, le réel $x$ et l'entier $p$ étant supposés dornés.

3. PROBLEME.

Deux biens

C_1

C_2

indéfiniment divisibles sont disponibles sur le marché. On appelle "panier de biens" tout couple (

x, y

) de nombres réels appartenant à l'ensemble

D

D = {(x, y) tels que 0 ⩽ x, 0 ⩽ y ⩽ 5, 2x + 3y ⩽ 19}

x, y

désignent respectivement les quantités du bien

C_1

et du bien

C_2

qui peuvent être physiquement consommés par un agent économique.
Sur le marché, le prix unitaire de chacun de ces deux biens est égal à 1 .
On considère un consommateur ayant un revenu égal à 8 .
Les paniers de biens accessibles budgétairement par ce consommateur appartiennent donc à l'ensemble

B

des couples

(x, y)

D

tels que

x + y ⩽ 8

.
Les préférences de ce consommateur sur

B

, sont définies de la façon suivante :

(x, y)

est préféré ou indifférent à

(x^', y^')

si et seulement si

(y - 3)exp(x + 2) ⩾ (y^' - 3)exp(x^' + 2)

L'application

u

définie sur

B

par :

u(x, y) = (y - 3)exp(x + 2), pour (x, y) \in B

s'appelle la fonction d'utilité du consommateur.

3.1. Propriétés de la relation de préférence.

Justifier les propositions suivantes:
a. $(x, y)$ est préféré ou indifférent à $(x, y)$ .
b. $Si(x, y)$ est préféré ou indifférent à ( $x^', y^'$ ) et si ( $x^', y^'$ ) est préféré ou indifférent à ( $x^(''), y^('')$ ) alors ( $x, y$ ) est préféré ou indifférent à ( $x^(''), y^('')$ ).
c. $(x, y)$ est préféré ou indifférent à $(x^', y^')$ ou $(x^', y^')$ est préféré ou indifférent à $(x, y)$ .

3.2. Courbes d'indifférence.

Représenter graphiquement l'ensemble $B$ dans un repère orthonormé (unités 1 cm sur chacun des axes) et déterminer les coordonnées des cinq sommets du polygone constituant le bord de $B$ .
Dans ce qui suit, pour $m$ réel, on désigne par $A_m$ l'ensemble défini par :

A_m = {(x, y) ∈ B tel que u(x, y) = m}

a. Déterminer la fonction numérique

f_m

telle que, pour

m

fixé on ait, pour tout élément

(x, y)

A_m, y = f_m(x)

.
b. Etudier et représenter dans le même repère que celui de la question 3.2.1, la fonction

y = f_m(x)

pour

m = - 8, m = 0, m = 8

(e^(- 2) \approx 0.14, e^(- 3) \approx 0.05, e^(- 4) \approx 0.02, e^(- 5) \approx 0.007, e^(- 6) \approx 0.002, e^(- 7) \approx 0.001)

c. Déterminer

m_0

pour que la courbe représentative de

y = f_(m_0)(x)

soit tangente à la droite

(T)

d'équation :

y = - 2/3x + (19)/3

Représenter

y = f_(m_0)(x)

sur le graphique.

(e^3 \approx 20.09, e^2 \approx 7.39, e \approx 2.72)

3.3. Recherche d'un élément maximal sur $B$ pour la relation de préférence.

On admet que $B$ est un fermé de $ℝ^2$ . Montrer qu'il est borné.
Justifier l'existence d'un couple ( $x_0, y_0$ ) de $B$ préféré ou indifférent à tous les couples $(x, y)$ de $B$ .
On note $B^\circ$ l'ouvert de $ℝ^2$ des couples solutions du système :

{0 < x; 0 < y < 5; 2x + 3y < 19; x + y < 8

Montrer que

u

n'admet pas d'extremum local sur

B^\circ

.
4. On étudie dans cette question le maximum de la fonction

u

sur

B

, sous la contrainte

2x + 3y = 19

a. Montrer que ce problème se ramène à déterminer le maximum de la fonction

g

de la variable réelle, définie sur

[2, 5]

par :

g(x) = (10 - 2x)/3exp(x + 2)

b. Déterminer ce maximum après avoir justifié son existence.
5. Etudier de même la recherche du maximum de la fonction

u

sur

B

, sous chacune des quatre autres contraintes:

x + y = 8, x = 0, y = 0, y = 5

Déduire de ce qui précède la valeur du couple ( $x_0, y_0$ ).

3.4. Etude de deux tests d'arrêt.

On considère l'épreuve qui consiste à effectuer une série de sondages sur un ensemble de consommateurs du bien

C_1

.
Toute personne interrogée se voit attribuer un numéro.
Pour tout

i

ℕ^*

, le numéro

X_i

affecté au

è i^(ème)

consommateur interrogé est une variable aléatoire.
Les variables

(X_i)_(i \in ℕ^*)

sont mutuellement indépendantes.
On définit deux tests qui conditionnent l'arrêt de l'enquête :

Test $I$ : le sondage s'arrête dès que le numéro d'un consommateur est supérieur ou égal au numéro du consommateur précédemment interrogé.
Test II : le sondage s'arrête dès que la somme des numéros des consommateurs est supérieure strictement à l'entier $N$ , avec $N$ supérieur ou égal à 2 .
Enfin, on note $T_1$ (respectivement $T_2$ ) la variable aléatoire réelle discrète égale au nombre de personnes interrogées, l'enquête ayant été interrompue par le Test I (respectivement le Test II).

3.4.1. Partie 1

On suppose que les variables

(X_i)_(i \in ℕ^*)

suivent la même loi, une loi uniforme sur l'ensemble

{1, 2, \dots, N}

.
Par convention :

C_n^j = 0

pour

j > n

Etude d'un cas particulier.

Pour cette question seulement, $N = 3$ .
a. Donner la loi des variables $T_1$ et $T_2$ .
b. Calculer leur espérance et leur variance.

Etude de la loi de $T_1$ .

Quel est l'ensemble $T_1(Ω)$ des valeurs prises par la variable $T_1$ ?
Montrer que pour tout entier $n ⩾ 0$ , la probabilité de l'événement ${T_1 > n}$ est donnée par :

p{T_1 > n} = (C_N^n)/(N^n)

En déduire la loi de

T_1

.
3. Montrer que l'espérance de

T_1

est donnée par :

E(T_1) = (1 + 1/N)^N

De même, prouver que :

E(T_1^2 - T_1) = 2(1 + 1/N)^(N - 1)

En déduire la variance

V(T_1)

T_1

en fonction de

N

.
5. Donner les limites de

E(T_1)

V(T_1)

lorsque

N

tend vers l'infini .

Etude de la loi de $T_2$ .

Montrer que, pour tous entiers naturels $r, n$ :

\sum_(k = 0)^r C_k^n = C_(r + 1)^(n + 1)

Quel est l'ensemble $T_2(Ω)$ des valeurs prises par la variable $T_2$ ?
Par récurrence sur l'entier $n$ inférieur ou égal à $N$ , prouver que :

∀j ∈ {1, 2, …N} p{X_1 + X_2 + … + X_n ⩽ j} = (C_j^n)/(N^n)

En déduire la loi de $T_2$ .
Quelle est votre conclusion ?

3.4.2.- Partie 2

On suppose que les variables

(X_i)_(i \in ℕ^*)

sont des variables aléatoires absolument continues qui suivent une loi uniforme sur le segment

[1, N]

Montrer que la densité de probabilité $f_n$ d'une somme de $n$ variables aléatoires, indépendantes, suivant la même loi uniforme sur le segment $[0, 1]$ , est donnée sur l'intervalle $[0, 1]$ par :

\forallx \in [0, 1] f_n(x) = (x^(n - 1))/((n - 1)!)

Prouver que si la variable $X$ suit une loi uniforme sur le segment $[1, N]$ , alors la variable $Y$ , définie par $X = 1 + (N - 1)Y$ , suit une loi uniforme sur le segment $[0, 1]$ .
En déduire la loi de $T_2$ .

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1. EXERCICE.

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2. EXERCICE.

2.1. Etude de l'absolue convergence de la série.

3. PROBLEME.

3.1. Propriétés de la relation de préférence.

3.2. Courbes d'indifférence.

3.3. Recherche d'un élément maximal sur B pour la relation de préférence.

3.4. Etude de deux tests d'arrêt.

3.4.1. Partie 1

Etude d'un cas particulier.

Etude de la loi de T_1.

Etude de la loi de T_2.

3.4.2.- Partie 2

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3.3. Recherche d'un élément maximal sur $B$ pour la relation de préférence.

Etude de la loi de $T_1$ .

Etude de la loi de $T_2$ .