BCE Maths approfondies HEC ECS 2002Sujet et corrigé

Epreuve de maths approfondies - ECS 2002

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Annale de maths approfondies BCE HEC pour la filiere ECS, session 2002.

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ECOLE DES HAUTES ETUDES COMMERCIALES
CONCOURS D'ADMISSION SUR CLASSES PREPARATOIRES

OPTION SCIENTIFIQUE

MATHEMATIQUES I

Jeudi 16 Mai 2002, de 14 h. à 18 h.

La présentation, la lisibilité, l'orthographe, la qualité de la rédaction, la clarté et la précision des raisonnements entreront pour une part importante dans l'appréciation des copies.
Les candidats sont invités à encadrer dans la mesure du possible les résultats de leurs calculs.
Ils ne doivent faire usage d'aucun document : l'utilisation de toute calculatrice et de tout matériel électronique est interdite.
Seule l'utilisation d'une règle graduée est autorisée.

Le sujet ci-dessous vise à faire comprendre comment deur concurrents aux intérêts antagonistes, ne parvenant pas à fixer conjointement les stratégies de l'un et l'autre. conviennent de les tirer au sort avec des probabilités bien déterminées.

Notations :

Dans tout le problème

n

p

désignent des entiers naturels non nuls fixés et on pose

E_n = 𝕄_(n, 1)(ℝ)

, on définit de même

E_p

.
On note

K_n

l'ensemble

{X = (x_1; ⋮; x_n) ∈ E_n.x_1 ⩾ 0….x_n ⩾ 0.∑_(i = 1)^n x_i = 1}}}{{

; on définit de même

K_p

.
Les espaces

E_n

E_p

sont munis de leur structure euclidienne canonique ; la norme euclidienne d'un vecteur

X

E_n

est notée

‖X‖

: le produit scalaire de deux vecteurs

X

Y

E_n

est noté

⟨X, Y⟩

; on adopte la même notation pour les vecteurs de

E_p

.
Enfin, si

k

est un entier naturel non nul et si

(z_i)_(1 ⩽ i ⩽ k)

est une famille finie de réels, on note

Max_(1 ⩽ i ⩽ n)z¯_i

Max_i z_i

(respectivement

Min_(1 ⩽ i ⩽ n)z_i

Min_i z_i

) son plus grand (respectivement son plus petit) élément.
Plus généralement, si

f

est une fonction définie sur un ensemble

𝔸

, à valeurs dans

ℝ

, admettant un maximum (respectivement un minimum) sur

E

, on note

Max_(x \in 𝔸)f(x)

, (respectivement

Min_(x \in 𝔸)f(x)

), ce maximum, (respectivement ce minimum).

Partie I. Le plus petit des plus grands et le plus grand des plus petits

Soit

A = (a_(ij))_(1 ⩽ i ⩽ n; 1 ⩽ j ⩽ p)

une matrice appartenant à

𝕄_(n.p)(ℝ)

.
On note

u(A) = Min_(1 ⩽ i ⩽ n)(Max_(1 ⩽ j ⩽ p)a_(ij))

v(A) = Max_(1 ⩽ j ⩽ p)(Min_(1 ⩽ i ⩽ n)a_(ij))

. Pour simplifier les notations, on pourra écrire ces expressions :

u(A) = Min_i Max_j a_(ij)

v(A) = Max_j Min_i a_(ij)

Calculer $u(A)$ et $v(A)$ dans les deux cas suivants : $A = (- 2, 3; 1, - 1); A = (- 1, 6, - 2; 0, 1, 0; - 2, 3, - 1)$ .
On revient au cas général où $A \in 𝕄_(n, p)(ℝ)$ . Pour tout $j_0 ∈ {1, …, p}$ et tout $i_0 ∈ {1, …, n}$ , on pose $s_(j_0) = Min_i a_(ij_0)$ et $t_(i_0) = Max_j a_(i_0 j)$ .
a) Montrer que $s_(j_0) ⩽ t_(i_0)$ pour tout $j_0 ∈ {1, …, p}$ et tout $i_0 ∈ {1, …, n}$ .
b) En déduire que $v(A) ⩽ u(A)$ .
On suppose que dans le préambule d'un programme écrit en Turbo-Pascal on a défini :
deux constantes entières: n et $p$ ,
un type: matrice = array[1..n,1..p] of real;
a) Écrire le corps de la fonction function Max_ligne (A:matrice; i:integer): real; cette fonction doit retourner le plus grand élément de la ligne i de la matrice A, c'est-à-dire la valeur $Max_j A[i, j]$ .
b) Écrire le corps de la fonction function MinMax(A:matrice): real; cette fonction doit retourner la valeur $u(A)$ , définie plus haut; on pourra utiliser la fonction Max_ligne.

Partie II. Le minimum des maxima et le maximum des minima

Dans cette question on étudie un exemple. On considère la matrice $A = (- 2, 3; 1, - 1)$ , et pour tout $(x, y) \in [0, 1]^2$ . on pose $X = (x/(1 - x))$ et $Y = (y/(1 - y))$ puis $h(x, y) = ^t XAY$ .
a) Calculer $h(x, y)$ en fonction de $x$ et $y$ .
b) Déterminer suivant les valeurs de $x \in [0, 1]$ , le maximum de la fonction $y ⟼ h(x, y)$ sur $[0, 1]$ ; ce maximum sera noté $λ(x)$ .
c) Déterminer la valeur minimum de $λ(x)$ lorsque $x$ décrit $[0, 1]$ . Cette valeur sera notée $α(A)$ , elle est donc égale à $Min_(X \in K_2)(Max_(Y \in K_2)^t XAY)$ , qu'on note plus simplement $Min_X Max_Y^t XAY$ , étant entendu que $X$ et $Y$ décrivent $K_2$ .
d) Par une méthode analogue montrer l'existence de $β(A) = Max_Y Min_X^t XAY$ et donner sa valeur.

Dans la suite de cette partie

A = (a_(ij))_(1 ⩽ i ⩽ n; 1 ⩽ j ⩽ p)

désigne une matrice appartenant à

𝕄_(n, p)(ℝ)

.
On définit la fonction

f

sur

K_n \times K_p

par:

\forall(X, Y) \in K_n \times K_p, f(X, Y) = ^t XAY

.
Pour tout

j \in {1, \dots, p}

et tout

X = (x_1; ⋮; x_n) \in K_n

, on pose

φ_j(X) = \sum_(i = 1)^n a_(ij)x_i

, puis

λ(X) = Max_(1 ⩽ j ⩽ p)φ_j(X)

.
2) On considère des fonctions

g_1, \dotsg_p

définies et continues sur

K_n

, à valeurs dans

ℝ

.
a) On pose

h = Max(g_1, g_2)

. c'est-à-dire la fonction de

K_n

dans

ℝ

définie par

h(x) = Max(g_1(x), g_2(x))

Vérifier que

h = (g_1 + g_2 + |g_1 - g_2|)/2

et en déduire que

h

est continue sur

K_n

.
b) Montrer que la fonction

g = Max(g_1, \dotsg_p)

est continue sur

K_n, g

étant définie sur

K_n

par:

\forallx \in K_n.g(x) = Max(g_1(x)\dots.g_p(x))

.
3) Dans cette question on considère un élément

X

appartenant à

K_n

.
a) Montrer que pour tout

Y \in K_p, f(X, Y) ⩽ λ(X)

.
b) Montrer qu'il existe

Y_X \in K_p

tel que

f(X, Y_X) = λ(X)

.
c) En déduire quon peut poser:

λ(X) = Max_(Y \in K_p)f(X, Y)

.
4) a) Montrer que

K_n

est borné.
(On admet pour la suite du problème, que

K_n

est une partie fermée de

E_n

)
b) Montrer que

λ

admet un minimum sur

K_n

Ce minimum est noté

α(A)

et il est donc égal à

Min_(X \in K_n)(Max_(Y \in K_p)^t XAY)

, qu'on note plus simplement

Min_X Max_Y^t XAY

.
On montrerait de manière analogue que le nombre

Max_(Y \in K_p)(Min_(X \in K_n)^t XAY)

existe. Il est noté

β(A)

et on l'écrit plus simplement

Max_Y Min_X^t XAY

.
5) a) Soit (

X^', Y

) appartenant à

K_n \times K_p

. Montrer que

Min_(X \in K_n)f(X, Y) ⩽ λ(X^')

.
b) En déduire:

β(A) ⩽ α(A)

.
6) On dit qu une partie non vide

𝒞

E_p

est convexe lorsque:

\forall(X, Y) \in 𝒞^2.\forallm \in [0, 1], mY + (1 - m)X \in 𝒞

. On considère dans cette question une partie

𝒞

E_p

convexe, fermée, bornée et non vide.
a) Montrer qu'il existe

W \in 𝒞

, tel que:

\forallY \in 𝒞, ‖W‖ ⩽ ‖Y‖

.
b) Soit

Y

appartenant à

𝒞

, on pose pour tout

m \in [0, 1] : Y_m = (1 - m)W + mY

Montrer que: $\forallm \in ]0, 1[, ⟨W, Y⟩ ⩾ (2 - m)/(2(1 - m))‖W‖^2 - m/(2(1 - m))‖Y‖^2$ .

On rappelle que

⟨W, Y⟩(= ^t WY)

désigne le produit scalaire de

W

Y

En déduire que: $⟨W, Y⟩ ⩾ ‖W‖^2$ .

Dans cette question et jusqu'à la fin de cette partie on considère l'ensemble:

𝒞 = {m^t AX + (1 − m)Y, X ∈ K_n.Y ∈ K_p, m ∈ [0, 1]}

a) Montrer que

K_n

est une partie convexe de

E_n

.
b) Montrer que

𝒞

est une partie convexe et bornée de

E_p

On admet pour la suite que

𝒞

est une partie fermée de

E_p

.
8) On suppose dans cette question que le vecteur nul appartient à

𝒞

.
a) Montrer qu'il existe

X_0 \in K_n.Y_0 \in K_p

et un réel

μ ⩽ 0

tels que:

^t AX_0 = μY_0

.
b) Déterminer le signe de

^t X_0 AY

pour tout

Y \in K_p

.
c) Déterminer le signe de

α(A)

.
9) Dans cette question on suppose que le vecteur nul n'appartient pas à

𝒞

.
a) Montrer qu'il existe un élément

W \in 𝒞

tel que:

\forallm \in [0, 1].\forallX \in K_n, \forallY \in K_p, m^t XAW + (1 - m)^t YW > 0

b) On note

w_1, \dotsw_p

les coordonnées de

W

dans la base canonique de

E_p

Montrer que

w_i > 0

pour tout

i \in {1, \dotspp}

.
c) Montrer que:

\forallX \in K_n, ^t XAW > 0

.
d) Montrer qu'il existe un vecteur

W^' \in K_p

tel que:

\forallX \in K_n, ^t XAW^' > 0

.
e) Montrer que

β(A) > 0

.
10) On définit la matrice

B \in 𝕄_(n, p)(ℝ)

par

B = A - β(A)J

où

J

est la matrice appartenant à

𝕄_(n, p)(ℝ)

dont tous les éléments sont égaux à 1 .
a) Déterminer les valeurs

α(B)

β(B)

en fonction de

α(A)

β(A)

.
b) Déduire des questions précédentes que

α(A) = β(A)

Partie III. Point-selle et point critique

Dans cette partie,

A

désigne toujours une matrice de à

𝕄_(n.p)(ℝ)

et on rappelle que pour tout (

X, Y

) appartenant à

K_n \times K_p : f(X.Y) = ^t XAY

.
On dit que le couple

(X_0, Y_0)

appartenant à

K_n \times K_p

est un poinl-selle pour

f

, lorsque:

\forall(X, Y) \in K_n \times K_p, f(X_0, Y) ⩽ f(X_0, Y_0) ⩽ f(X, Y_0)

Montrer quil existe un point-selle pour $f$ et que si ( $X_0, Y_0$ ) en est un. alors $f(X_0, Y_0) = α(A)$ .
On considère la matrice réelle $A = (a, b; c, d)$ et on définit la fonction $g$ sur $ℝ^2$ par:

\forall(x, y) \in ℝ^2, g(x, y) = (x, 1 - x)A(y/(1 - y))

On appelle point critique de

g

tout couple

(u, v) \in ℝ^2

tel que

(\partialg)/(\partialx)(u, v) = (\partialg)/(\partialy)(u, v) = 0

.
a) Montrer que

g

admet un unique point critique (

x_0.y_0

) si et seulement si

a + d - b - c \neq 0

. Déterminer dans ce cas

(x_0, y_0)

.
b) On suppose

a - b

d - c

de mêne signe et non tous nuls et on suppose également que

a - c

d - b

sont de même signe et non tous nuls.

Montrer que dans ce cas $g$ admet un unique point critique $(x_0, y_0)$ et que $(x_0, y_0) \in [0, 1]^2$ .
Montrer que: $\forall(x, y) \in ℝ^2, g(x, y) = g(x_0.y_0) + (x - x_0)(y - y_0)(a + d - b - c)$ .

On pourra introduire les notations suivantes:

X = (x/(1 - x)), Y = (y/(1 - y)), X_0 = ((x_0)/(1 - x_0))

Y_0 = ((y_0)/(1 - y_0)) \cdot U = X - X_0 \cdot V = Y - Y_0

. et on exprimera

g(x, y)

à l'aide de

U, V, A, X_0

Y_0

En déduire que $(((x_0)/(1 - x_0)) \cdot ((y_0)/(1 - y_0)))$ est un point-selle pour l'application $f$ définie sur $K_2 \times K_2$ par: $\forall(X, Y) \in K_2 \times K_2, f(X, Y) = ^t XAY$ .
Quelle est la valeur de $α(A)$ ?

Partie IV. Application à une étude de la concurrence

Deux entrepreneurs Primus et Secundus se partagent le marché d'un produit sur un territoire commun, de sorte qu'au cours d'un trimestre, si l'un voit sa part de marché varier de

Δ

unités (nombre réel positif ou négatif) l'autre voit la sienne varier de

- Δ

unités. Cette variation dépend à chaque trimestre des stratégies choisies par l'un et l'autre.
Primus a le choix entre deux stratégies notées

P_1

P_2

, Secundus a le choix entre deux stratégies

S_1

S_2

. Lorsque Primus et Secundus choisissent chacun l'une de leurs deux stratégies, leurs parts de marché sont modifićes et le tableau suivant donne les variations trimestrielles de la part de marché de Secundus, celles de Primus étant opposées.

Variation trimestrielle de la part de marché de Secundus lorsque :	Secundus choisit $S_1$	Secundus choisit $S_2$
Primus choisit $P_1$	-2	3
Primus choisit $P_2$	1	-1

Dans une négociation entre Primus et Secundus, si Secundus propose par exemple

S_2

, Primus propose alors

P_2

. mais dans ce cas Secundus préfêre

S_1

et Primus souhaite alors

P_1

, ce qui pousse Secundus à choisir de nouveau

S_2

; finalement toute entente semble être impossible.
Primus et Secundus décident alors de s'en remettre au hasard de la manière suivante: les deux concurrents choisissent simultanément et aléatoirement l'une des deux stratégies dont chacun dispose: Primus choisit la stratégie

P_1

avec la probabilité

x(x \in [0, 1])

et la stratégie

P_2

avec la probabilité

1 - x

, Secundus, indépendamment du choix de Primus, choisit la stratégie

S_1

avec la probabilité

y, (y \in [0, 1])

et la stratégie

S_2

avec la probabilité

1 - y

. On note dans ces conditions,

V_(x, y)

la variable aléatoire égale à la variation trimestrielle de la part de marché de Secundus.

Déterminer l'espérance de $V_(x, y)$ .
Établir qu'il existe des probabilités $x_0$ et $y_0$ telles que Primus (respectivement Secundus) ne trouve aucun avantage à prendre $x$ différent de $x_0$ (respectivement $y$ différent de $y_0$ ), lorsque Secundus (respectivement Primus) s'en tient à $y_0$ (respectivement à $x_0$ ).
Déterminer les valeurs de $x_0$ et $y_0$ .

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Partie III. Point-selle et point critique

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