BCE Maths approfondies HEC ECS 2001Sujet et corrigé

Epreuve de maths approfondies - ECS 2001

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Annale de maths approfondies BCE HEC pour la filiere ECS, session 2001.

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ECOLE DES HAUTES ETUDES COMMERCIALES

CONCOURS D'ADMISSION SUR CLASSES PREPARATOIRES

OPTION SCIENTIFIQUE

MATHEMATIQUES I

Mardi 8 Mai 2001, de 8h. à 12h.

La présentation, la lisibilité, l'orthographe, la qualité de la rédaction, la clarté et la précision des raisonnements entreront pour une part importante dans l'appréciation des copies.
Les candidats sont invités à encadrer dans la mesure du possible les résultats de leurs calculs.
Ils ne doivent faire usage d'aucun document ; l'utilisation de toute calculatrice et de tout matériel électronique est interdite.
Seule l'utilisation d'une règle graduée est autorisée.

Le but de ce problème est l'étude du modèle démographique «Proies et prédateurs» de Vito Volterra.
Dans tout le problème, In désigne la fonction logarithme népérien,

α, β, a, b

désignent des réels strictement positifs, fixés une fois pour toutes, et on définit les fonctions

f

g

sur

ℝ_+^*

par:

\forallx \in ℝ_+^*, f(x) = - αlnx + βx; \forally \in ℝ_+^*, g(y) = - alny + by

Enfin, on appelle

F

la fonction définie sur

(ℝ_+^*)^2

par:

\forall(x, y) \in (ℝ_+^*)^2, F(x, y) = f(x) + g(y)

Partie I. Étude de la fonction $F$

Étudier les variations de la fonction $f$ et vérifier qu'elle admet un minimum que l'on note $m_f$ ; on définit $m_g$ , mutato nomine, celui de la fonction $g$ .
On note $f_1$ et $f_2$ les restrictions respectives de $f$ à $]0, α/β]$ et à $[α/β, + \infty[$ .

On note

g_1

g_2

les restrictions respectives de

g

]0, a/b]

et à

[a/b, + \infty[

.
Montrer que

f_1

définit une bijection de

]0, α/β]

dans un ensemble que l'on précisera. Énoncer des résultats analogues pour

f_2, g_1

g_2

.
3) Montrer que

F

possède un minimum et préciser l'ensemble des points en lesquels celui-ci est atteint. On notera

m_F

le minimum de

F

Partie II. Étude des lignes de niveau de $F$

On définit pour tout réel

c

, l'ensemble

Γ_c = {(x, y) ∈ (ℝ_+^∗)^2, F(x, y) = c}

. On se propose détudier, dans cette partie, la forme de la représentation graphique de

Γ_c

dans le plan muni d'un repère orthonormé.

Préciser $Γ_c$ lorsque $c < m_F$ et lorsque $c = m_F$ .
On suppose désormais $c > m_F$ .
a) Montrer qu'il existe deux réels strictement positifs $u_c$ et $v_c$ tels que :

u_c < α/β < v_c et m_g = c - f(u_c) = c - f(v_c)

b) On note

K_c

l'ensemble des réels strictement positifs

x

pour lesquels il existe au moins un réel strictement positif

y

tel que

F(x, y) = c

. Montrer que

K_c = [u_c, v_c]

.
c) - Montrer que, dans le cas où

x

appartient à

]u_c, v_c[

, il existe deux réels strictement positifs y tels que

F(x, y) = c

et exprimer ces nombres

y

à l'aide de

f, g_1^(- 1)

g_2^(- 1)

Préciser l'ensemble ${y ∈ ℝ_+^∗, F(x, y) = c}$ lorsque d'une part $x = u_c$ et d'autre part $x = v_c$ .
d) - Montrer qu'il existe deux fonctions $h_1$ et $h_2$ définies sur $[u_c, v_c]$ telles que:

∀x ∈ [u_c, v_c], h_1(x) ⩽ a/b ⩽ h_2(x); et; Γ_c = {(x, h_1(x)), x ∈ [u_c, v_c]} ∪ {(x, h_2(x)), x ∈ [u_c, v_c]}

Justifier la réprésentation de $Γ_c$ suivante. Préciser les positions des tangentes éventuelles aux points d'abscisses $u_c, α/β$ et $v_c$ .

Partie III. Étude du cas discret

On considère dans cette partie un réel

Δ

et un entier

n

strictement positifs ; on pose

δ = Δ/n

. On considère également deux suites de nombres réels strictement positifs

(S_k)_(0 ⩽ k ⩽ n)

(R_k)_(0 ⩽ k ⩽ n)

telles que :

∀k ∈ {0, …, n − 1}, {(S_(k + 1) − S_k)/(S_k) = δ(a − bR_k); (R_(k + 1) − R_k)/(R_k) = δ(− α + βS_k)

On pose:

m = Min_(0 ⩽ k ⩽ n)S_k, M = Max_(0 ⩽ k ⩽ n)S_k, ℓ = Min_(0 ⩽ k ⩽ n)R_k, L = Max_(0 ⩽ k ⩽ n)R_k

Dans le préambule d'un programme écrit en Turbo-Pascal on a défini les constantes $α, β, a, b, n$ , et $Δ$ précédemment introduites.
Écrire le corps de la procédure :

Procedure calcul(SO,RO : Real ; Var S,R : Real) ;

qui doit retourner dans

S

R

les valeurs de

S_n

R_n

conformément aux relations décrites au début de cette partie, sachant que

S0 = S_0

R0 = R_0

.
2) a) Pour tout entier

k

appartenant à

{0, \dots, n - 1}

, calculer

β(S_(k + 1) - S_k) + b(R_(k + 1) - R_k)

en fonction de

S_k

R_k

.
b) Déterminer, pour tout

p ∈ {1, …n}, δaβ∑_(k = 0)^(p − 1)S_k − δαb∑_(k = 0)^(p − 1)R_k

en fonction de

S_p, S_0, R_p

R_0

.
c) Montrer que, pour tout

p \in {1, \dots, n}

α\sum_(k = 0)^(p - 1)(S_(k + 1) - S_k)/(S_k) + a\sum_(k = 0)^(p - 1)(R_(k + 1) - R_k)/(R_k) = β(S_p - S_0) + b(R_p - R_0)

a) Montrer que: $∀k ∈ {0, …, n − 1}, |lnS_(k + 1) − lnS_k − (S_(k + 1) − S_k)/(S_k)| ⩽ ((S_(k + 1) − S_k)^2)/(2m^2)$ .
b) En déduire que:

∀k ∈ {0, …, n − 1}, |lnS_(k + 1) − lnS_k − (S_(k + 1) − S_k)/(S_k)| ⩽ (Δ^2 M^2(a + bL)^2)/(2m^2 n^2)

c) Montrer que pour tout

p \in {1, \dots, n}

|lnS_p - lnS_0 - \sum_(k = 0)^(p - 1)(S_(k + 1) - S_k)/(S_k)| ⩽ (Δ^2 M^2(a + bL)^2)/(2m^2 n)

On pose $c = - αlnS_0 + βS_0 - alnR_0 + bR_0$ . Déterminer un réel $A$ s'exprimant à l'aide de $α, β, a, b, m$ , $M, ℓ$ et $L$ tel que pour tout $p$ appartenant à ${0, \dots, n}$ , on ait:

| - αlnS_p + βS_p - alnR_p + bR_p - c| ⩽ A/n

Partie IV. Étude du cas continu

Dans cette partie on considère deux fonctions

S

R

définies sur

ℝ_+

, de classe

C^1

sur

ℝ_+

, et à valeurs dans

ℝ_+^*

. On suppose que

S

R

vérifient les relations (

ℰ

) suivantes :

∀t ∈ ℝ_+, {(S^′(t))/(S(t)) = a − bR(t); (R^′(t))/(R(t)) = − α + βS(t)

Dans ces relations,

S^'

R^'

désignent respectivement les fonctions dérivées de

S

R

.
Le plan est toujours muni d'un repère orthonormé.

a) Montrer qu'il existe un réel $c$ tel que pour tout réel $t$ positif le point de coordonnées $(S(t), R(t))$ appartient à $Γ_c$ , ensemble introduit dans la partie II.
b) En déduire que les fonctions $S$ et $R$ sont bornées.
c) Que peut-on dire des fonctions $S$ et $R$ si $c = m_F$ ?

On suppose désormais, et ce jusqu'à la fin du problème, que

c > m_F

.
2) Soit

θ

un réel positif. On suppose que

S^'

ne s'annule pas sur

[θ, + \infty[

.
a) - Montrer que

S

admet une limite finie en

+ \infty

Montrer que cette limite est strictement positive.
b) Montrer qu'il existe un réel $λ$ tel que $R^'$ ne s'annule pas sur $[λ, + \infty[$ . Que peut-on en déduire pour $R$ ?
c) - Montrer que $S^'$ admet une limite en $+ \infty$ .
Montrer que cette limite est nulle en considérant la nature de l'intégrale $\int_θ^(+ \infty)S^'(t)dt$ .
d) Montrer également que : $lim_(t \to + \infty)R^'(t) = 0$ .
e) En considérant les limites de $S$ et $R$ en $+ \infty$ , montrer qu'on arrive à une contradiction. En déduire que $S^'$ s'annule en une infinité de points.

On considère dans cette question deux réels positifs $τ_1$ et $τ_2$ distincts tels que $S^'(τ_1) = S^'(τ_2) = 0$ , et on suppose: $τ_1 < τ_2$ .
a) Montrer qu'il existe $θ$ appartenant à $]τ_1, τ_2[$ tel que $R^'(θ) = 0$ .
b) En considérant les valeurs de $S$ en $θ$ et $τ_1$ , montrer qu'il existe un réel $μ$ strictement positif et indépendant de $τ_1$ et $τ_2$ tel que $|S(θ) - S(τ_1)| ⩾ μ$ .
c) Montrer que $S^'$ est bornée sur $ℝ_+$ .
d) Montrer qu'il existe un réel $η$ strictement positif et indépendant de $τ_1$ et $τ_2$ tel que $|τ_2 - τ_1| > η$ .
a) Montrer qu'on peut trouver trois réels positifs $θ_1, θ_2, θ_3$ tels que:

θ_1 < θ_2 < θ_3 et S^'(θ_1) = S^'(θ_2) = S^'(θ_3) = 0

b) Montrer que

S^'

ne s'annule qu'un nombre fini de fois sur

[0, θ_3]

.
c) En déduire qu'il existe trois réels positifs

t_1, t_2, t_3

tels que

t_1 < t_2 < t_3

tels que:

{0 ⩽ t_1 < t_2 < t_3; ∀t ∈ [t_1, t_3].S^′(t) = 0 ⟺ t ∈ {t_1, t_2, t_3}

Montrer que $S^'$ est de signe constant sur $]t_1, t_2[$ et sur $]t_2, t_3[$ et que les signes respectifs de $S^'$ sur ces deux intervalles sont opposés. On pourra considérer les valeurs de $R$ en $t_1, t_2, t_3$ .
Dans la suite on supposera que $S^'$ est positif sur $]t_1, t_2[$ et donc négatif sur $]t_2, t_3[$ .
a) Montrer que $S(t_1) = S(t_3) = u_c$ et $S(t_2) = v_c$ .
b) Déterminer les valeurs de $R(t_1)$ et $R(t_3)$ .
a) Sur un même tableau de variation faire apparaître les variations de $S$ et de $R$ sur $[t_1, t_3]$ .
b) En déduire le sens de déplacement du point $M_t$ de coordonnées $(S(t), R(t))$ sur la représentation graphique de $Γ_c$ lorsque $t$ décrit $[t_1, t_3]$ .
On admet que si ( $S_1, R_1$ ) et ( $S_2, R_2$ ) sont deux couples de fonctions définies sur $ℝ_+$ , de classe $C^1$ sur $ℝ_+$ , à valeurs dans $ℝ_+^*$ , vérifiant les relations ( $ℰ$ ) et s'il existe un réel $t_0 \in ℝ_+$ tel que $S_1(t_0) = S_2(t_0)$ et $R_1(t_0) = R_2(t_0)$ , alors :

\forallt \in ℝ_+, S_1(t) = S_2(t) et R_1(t) = R_2(t)

Montrer que les fonctions

S

R

sont périodiques de période

T = t_3 - t_1

.
9) On considère un réel

u

positif.
a) Calculer

\int_u^(u + T)(S^'(t))/(S(t))dt

.
b) En déduire la valeur moyenne de

R

sur le segment

[u, u + T]

, c'est-à-dire

1/T\int_u^(u + T)R(t)dt

Déterminer de même la valeur moyenne de

S

sur le segment

[u, u + T]

.
10) On considère dans cette question deux fonctions

K

H

définies sur

ℝ_+

, de classe

C^1

sur

ℝ_+

et à valeurs dans

ℝ_+^*

. On considère également un réel

ε

appartenant à

]0

, a

[

. On suppose que

K

H

vérifient les relations (

𝒞^'

) suivantes:

∀t ∈ ℝ_+, {(K^′(t))/(K(t)) = a − ε − bH(t); (H^′(t))/(H(t)) = − α − ε + βK(t)

Dans ces relations,

K^'

H^'

désignent respectivement les fonctions dérivées de

K

H

.
Montrer qu'il existe un réel

Θ

strictement positif tel que les fonctions

K

H

sont périodiques de période

Θ

et déterminer la valeur moyenne de ces fonctions sur un segment de longueur égale à

Θ

Partie V. Le contexte historique du modèle de Vito Volterra

On peut voir dans les calculs qui précèdent une représentation de l'évolution d'une population d'individus de deux types : les proies et les prédateurs. Ceux-ci se nourrissent uniquement de celles-là, et celles-là d'une autre nourriture disponible en abondance. Les proies, en l'absence de prédateurs, se développeraient de façon exponentielle, mais cette croissance est en fait réduite par la présence des prédateurs. En revanche, le nombre de prédateurs, en l'absence de proies, décroîtrait de manière exponentielle, (sans proies ils finiraient par disparaître), laquelle décroissance est compensée par la présence des proies.
Supposons alors que cette population soit une population de poissons constituée de proies et de prédateurs d'effectifs relatifs

K(t)

H(t)

à l'instant

t

, (les fonctions

K

H

ontété introduites à la question 10) de la partie IV) ; la constante

ε

apparaissant dans les relations (

𝒞^'

) représente un taux de pêche identique pour les proies et les prédateurs.
Au cours de la première guerre mondiale, on a pu constater, dans l'Adriatique, qu'une diminution de la pêche était défavorable aux proies.

Montrer que les calculs de la question IV. 10 expliquent directement le phénomène observé.

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OPTION SCIENTIFIQUE

MATHEMATIQUES I

Partie I. Étude de la fonction F

Partie II. Étude des lignes de niveau de F

Partie III. Étude du cas discret

Partie IV. Étude du cas continu

Partie V. Le contexte historique du modèle de Vito Volterra

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Partie I. Étude de la fonction $F$

Partie II. Étude des lignes de niveau de $F$