BCE Maths approfondies HEC ECS 2003Sujet et corrigé

Epreuve de maths approfondies - ECS 2003

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Annale de maths approfondies BCE HEC pour la filiere ECS, session 2003.

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HEC 2003. Math1 option scientifique.

NUAGES DE POINTS ET APPROXIMATION D'UN NUAGE

Dans tout le problème

n

p

désignent des entiers naturels supérieurs ou égaux à 2 et on pose

E_p = M_(p, 1)(ℝ)

.
L'espace

E_p

est muni de sa structure euclidienne canonique ; la norme euclidienne d'un vecteur

x

E_p

est notée

‖x‖

; le produit scalaire de deux vecteurs

x

y

E_p

est noté

⟨x, y⟩

.
Si

u

est un vecteur non nul appartenant à

E_p, D_u

désigne la droite vectorielle engendrée par

u

et si

x

est un vecteur de

E_p, P_(D_u)(x)

est le projeté orthogonal de

x

sur la droite

D_u

.
Si

F

est un sous-espace vectoriel de

E_p

, le supplémentaire orthogonal de

F

dans

E_p

est noté

F^⊥

. Pour toute matrice

A

appartenant à

M_(m, ℓ)(ℝ)

on note

Φ_A

l'application linéaire de

M_(ℓ, 1)(ℝ)

dans

M_(m, 1)(ℝ)

définie par :

\forallX \in M_(ℓ, 1)(ℝ), Φ_A(X) = AX

.
Pour tout

r

appartenant à

ℕ^*

et toute famille

(u_i)_(1 ⩽ i ⩽ r)

de vecteurs de

E_p

Vect(u_1, \dots, u_r)

est le sous-espace vectoriel de

E_p

engendré par les vecteurs

u_1, \dots, u_r

.
Si

g

est une fonction définie sur un sous-espace vectoriel

F

E_p

et à valeurs dans

ℝ

, on désigne par

max_(x \in F; ‖x‖ = 1)g(x)

max{g(x); x \in F

‖x‖ = 1}

le maximum, lorsqu'il existe, de la fonction

g

sur l'ensemble des vecteurs

x

F

dont la norme est égale à 1 .

Partie I: Étude d'un exemple

Dans cette partie et uniquement dans celle-ci, on suppose que

p = 2

. On note (

u_1, u_2

) la base canonique de

E_2

On considère les vecteurs $v_1, v_2$ et $v_3$ appartenant à $E_2$ et dont les coordonnées dans la base ( $u_1, u_2$ ) sont respectivement $(1, 2), (- 3, - 1), (2, - 1)$ .
On considère un réel $m$ et on note, pour tout $i$ appartenant à ${1, 2, 3}, v_i^′$ le projeté orthogonal de $v_i$ sur la droite vectorielle engendrée par $u_1 + mu_2$ .
a) Calculer en fonction de $m$ la quantité : $‖v_1^'‖^2 + ‖v_2^'‖^2 + ‖v_3^'‖^2$ .
b) Déterminer la valeur $m_0$ de $m$ pour laquelle cette quantité atteint son maximum; ce maximum est noté $λ_1$ .
Soit $X$ la matrice $(1, - 3, 2; 2, - 1, - 1)$ .
a) Vérifier que $λ_1$ est une valeur propre de $Φ_X^t X; u_1 + m_0 u_2$ étant un vecteur propre associé à $λ_1$ .
b) Déterminer l'autre valeur propre de $Φ_(X^t X)$ et la comparer à $λ_1$ .

Partie II: Les axes principaux d'inertie d'un nuage

Les notations introduites dans cette partie seront utilisées dans toute la suite du problème.
On définit la matrice

X = (x_(ij))_(1 ⩽ i ⩽ p; 1 ⩽ j ⩽ n)

appartenant à

M_(p, n)(ℝ)

appelée nuage; ses colonnes

c_1, \dots, c_n

sont appelées points du nuage;

X

est donc un nuage de

n

points dans un espace de dimension

p

.
On définit la matrice

V = X^t X

.
On appelle

F

le sous-espace vectoriel de

E_p

engendré par les vecteurs colonnes

c_1, \dots, c_n

et on suppose que

dimF = r

p > r ⩾ 1

.
Pour tout vecteur

v

non nul de

E_p

, on pose

I(v) = \sum_(j = 1)^n‖P_(D_v)(c_j)‖^2

; cette quantité s'appelle l'inertie du nuage

X

sur la droite

D_v

.
Pour tout couple de vecteurs

(v, w)

appartenant à

E_p^2

, on pose:

J(v, w) = \sum_(j = 1)^n⟨v, c_j⟩⟨w, c_j⟩

.
1)a) Montrer que la matrice

V

est diagonalisable et que ses valeurs propres sont des réels positifs ou nuls.

On note

λ_1, \dots, λ_p

les valeurs propres de

V

et on suppose que

λ_1 ⩾ \dots ⩾ λ_p

Justifier l'existence d'une base orthonormale

(e_1, \dots, e_p)

E_p

telle que:

\foralli \in [ [1, p] ], Ve_i = λ_i e_i

b) - Montrer que le noyau de

Φ_V

est égal à celui de

Φ_(^t X)

En déduire que le rang de $V$ est égal à $r$ .
Montrer que: $λ_(r + 1) = \dots = λ_p = 0$ .
Que peut-on dire de $λ_1, \dots, λ_r$ ?
Montrer que $(e_1, \dots, e_r)$ est une base de $F$ .
2)a) Montrer, pour tout vecteur $v$ de norme 1 appartenant à $E_p$ , l'égalité: $I(v) = ^t vVv$ .
b) Déterminer, pour tout $i$ appartenant à $[ [1, p] ], I(e_i)$ à l'aide des nombres $λ_1, \dots, λ_p$
c) On définit les sous-espaces vectoriels $F_1, \dots, F_r$ de $E_p$ par :

F_1 = F, F_2 = F_1 \cap (D_(e_1)^⊥), \dots, F_r = F_(r - 1) \cap (D_(e_(r - 1))^⊥)

Montrer que : $\foralli \in [ [1, r] ], F_i = Vect(e_i, \dots, e_r)$ .
Montrer que : $I(e_1) = max{I(v); v ∈ E_p$ et $‖v‖ = 1} = max{I(v); v ∈ F_1$ et $‖v‖ = 1}$ .
Montrer que : $∀i ∈ [ [1, r] ], I(e_i) = max{I(v); v ∈ F_i$ et $‖v‖ = 1}$ .

Soit $w$ un vecteur unitaire de $E_p$ tel que $I(w) = max{I(v); v ∈ E_p$ et $‖v‖ = 1}$ . Montrer que $w$ appartient à $F$ .
On suppose dans cette question que $ε_1, \dots, ε_r$ sont $r$ vecteurs de norme 1 appartenant à $E_p$ et que $G_1, \dots, G_r$ sont $r$ sous-espaces vectoriels de $E_p$ tels que
$(S){G_1 = F; ε_1 ∈ G_1 et I(ε_1) = max{I(v); v ∈ G_1 et ‖v‖ = 1}; ε_2 ∈ G_2 = G_1 ∩ (D_(ε_1)^⊥), et I(ε_2) = max{I(v); v ∈ G_2 et ‖v‖ = 1}; ⋮; ε_(r − 1) ∈ G_(r − 1) = G_(r − 2) ∩ (D_(ε_(r − 2))^⊥), et I(ε_(r − 1)) = max{I(v); v ∈ G_(r − 1) et ‖v‖ = 1}; ε_r ∈ G_r = G_(r − 1) ∩ (D_(ε_(r − 1))^⊥), et I(ε_r) = max{I(v); v ∈ G_r et ‖v‖ = 1}$
Les droites vectorielles $D_(ε_1), \dots, D_(ε_r)$ sont appelées axes principaux d'inertie du nuage.
a) Vérifier que $(ε_1, \dots, ε_r)$ est une base orthonormale de $F$ et que $(ε_1, \dots, ε_r, e_(r + 1), \dots, e_p)$ est une base orthonormale de $E_p$ .
b) Montrer que pour tout couple de vecteurs ( $v, w$ ) appartenant à $E_p$ :

J(v, w) = ^t vVw = ⟨v, Φ_V(w)⟩

c) On se donne deux vecteurs

v_1

v_2

, unitaires, orthogonaux et appartenant à

F

Pour tout réel

t

, on pose

φ(t) = I(costv_1 + sintv_2)

Exprimer $φ(t)$ à l'aide de $I(v_1), I(v_2), J(v_1, v_2)$ et $t$ .
Montrer que $φ$ est majorée sur $ℝ$ et qu'elle admet un maximum.
On suppose que le maximum de $φ$ est atteint en 0 . Montrer que $J(v_1, v_2) = 0$ .
d) - Montrer que pour tout $(i, j)$ appartenant à $[ [1, r] ]^2, J(ε_i, ε_j) = 0$ dès que $i \neq j$ .
Déterminer la forme de la matrice de $Φ_V$ dans la base $(ε_1, \dots, ε_r, e_(r + 1), \dots, e_p)$ .
En déduire que pour tout $i \in [ [1, r] ], ε_i$ est un vecteur propre de $V$ associé à $λ_i$ .

Dans le langage des statisticiens les colonnes $c_j$ de $X$ représentent des individus d'une population statistique où $p$ variables statistiques $x_i, (1 ⩽ i ⩽ p)$ ont respectivement pris les valeurs $x_(i1), x_(i2), \dots, x_(in)(1 ⩽ i ⩽ p)$ , valeurs fixées de telle sorte que leur moyennes sont nulles, c'est à dire : $\sum_(j = 1)^n x_(ij) = 0, 1 ⩽ i ⩽ p$ .
Calculer la covariance $Cov(x_k, x_ℓ)$ des variables $x_k$ et $x_ℓ$ lorsque $k$ et $ℓ$ appartiennent à $[ [1, p] ]$ puis comparer la matrice $V$ et la matrice $(Cov(x_k, x_ℓ))_(1 ⩽ k ⩽ p; 1 ⩽ ℓ ⩽ p)$

Partie III: Une décomposition de la matrice $X$

Pour tout

i \in [ [1, p] ]

on note

Π_i

la matrice dans la base canonique de

E_p

, de la projection orthogonale de

E_p

sur

D_(e_i)

; les vecteurs

e_1, \dots, e_p

ont été définis au II.1.a.

Montrer que : $\sum_(i = 1)^p Π_i = I_p$ , (où $I_p$ est la matrice appartenant à $M_p(ℝ)$ dont tous les éléments sont nuls excepté les éléments diagonaux qui valent 1).
Déterminer $Π_i Π_j$ pour tout $(i, j) \in [ [1, p] ]^2$ tel que $i \neq j$ .
Calculer pour tout $i \in [ [r + 1, p] ], Π_i X$ et en déduire que : $X = \sum_(i = 1)^r Π_i X$ .
Pour tout $s \in [ [1, r] ]$ , on pose $X_s = \sum_(i = 1)^s Π_i X$ .
a) Montrer que : $ImΦ_(X_s) \subset Vect(e_1, \dots, e_s)$ .
b) Calculer $X_s^t Xe_j$ pour tout $j \in [ [1, p] ]$ et déterminer le rang de $X_s$ .

Partie IV: Une norme euclidienne de matrices carrées

Pour tout entier naturel q non nul et toute matrice, carrée

A = (a_(ij))_(1 ⩽ i ⩽ q; 1 ⩽ j ⩽ q)

appartenant à

M_q(ℝ)

, on pose

tr(A) = \sum_(i = 1)^q a_(ii)

.
On sait que tr définit une application linéaire de

M_q(ℝ)

dans

ℝ

et que si

A

B

appartiennent respectivement à

M_(n, p)(ℝ)

M_(p, n)(ℝ)

alors

tr(AB) = tr(BA)

. On sait également que si deux matrices

A

B

sont semblables alors

tr(A) = tr(B)

.
Pour tout

M

N

appartenant à

M_(p, n)(ℝ)

on pose :

Θ(M, N) = tr(M^t N)

Montrer que $(M, N) \mapsto Θ(M, N)$ est un produit scalaire sur $M_(p, n)(ℝ)$ .

Pour toute matrice

M

appartenant à

M_(p, n)(ℝ)

, on note

‖M‖ = \sqrt(tr(M^t M))

, appelé ici norme euclidienne de

M

.
2) Calculer pour tout

(i, j) \in [ [1, p] ]^2, Θ(Π_i X, Π_j X)

. On distinguera les cas

i = j

i \neq j

, et on exprimera les résultats en fonction des nombres

λ_1, \dots, λ_p

.
3) Calculer

‖X - X_s‖^2

en fonction de

λ_1, \dots, λ_r

, pour tout

s

appartenant à

[ [1, r] ]

Partie V: La meilleure approximation du nuage

On rappelle que si

H_1

H_2

sont deux sous-espaces vectoriels de

E_p

, alors :

dim(H_1 + H_2) = dimH_1 + dimH_2 - dim(H_1 \cap H_2)

On considère un entier naturel

s

appartenant à

[ [1, r - 1] ]

et une matrice

N

appartenant à

M_(p, n)(ℝ)

telle que

rg(N) ⩽ s

Justifier rapidement l'existence d'une base orthonormale ( $a_1, \dots, a_p$ ) de $E_p$ formée de vecteurs propres de $(X - N)^t(X - N)$ . On note $γ_1, \dots, γ_p$ les valeurs propres de $(X - N)^t(X - N)$ associées respectivement aux vecteurs $a_1, \dots, a_p$ et on suppose que $γ_1 ⩾ \dots ⩾ γ_p$ .
Soit $i$ un entier appartenant à $[ [1, r - s] ]$ et $G$ un sous-espace de $E_p$ de dimension supérieure ou égale à $i$ .
a) Montrer que: $dim(G \cap Vect(a_i, \dots, a_p)) ⩾ 1$ .
b) En déduire qu'il existe un vecteur unitaire $u$ appartenant à $G$ tel que $‖^t(X - N)u‖^2 ⩽ γ_i$ .
c) On considère l'espace vectoriel $H = (KerΦ_(t_N)) \cap Vect(e_1, \dots, e_(s + i))$ .

Montrer que : $dimH ⩾ i$ .
En déduire : $λ_(s + i) ⩽ γ_i$ .
3)a) Montrer que : $‖X - N‖^2 = \sum_(i = 1)^p γ_i$ .
b) En déduire que : $‖X - N|‖^2 ⩾ \sum_(i = s + 1)^r λ_i$ .
c) En déduire que $X_s$ réalise la meilleure approximation de $X$ par des matrices de rang inférieur ou égal à $s$ au sens de la norme euclidienne définie plus haut sur $M_(p, n)(ℝ)$ .

Soit $G$ un sous-espace vectoriel de $E_p$ . On note $P_G$ la projection orthogonale de $E_p$ sur $G$ , $Π_G$ sa matrice dans la base canonique de $E_p$ et $K(G) = \sum_(j = 1)^n‖P_G(c_j)‖^2$ .
La quantité $K(G)$ s'appelle l'inertie du nuage $X$ sur le sous-espace $G$ , et dans le cas où $G = E_p, K(G)$ est l'inertie totale du nuage $X$ .
a) Montrer que : $K(G) = ‖Π_G X‖‖^2$ .
b) Montrer que : $K(G) = ‖X‖‖^2 - ‖X - Π_G X‖^2$ .
c) On suppose toujours que $s$ est un entier appartenant à $[ [1, r - 1] ]$ et $dimG ⩽ s$ .

Montrer que : $K(G) ⩽ \sum_(i = 1)^s λ_i$ .
Montrer que $K(Vect(e_1, \dots, e_s))$ est le maximum des nombres $K(G)$ , lorsque $G$ parcourt l'ensemble des sous-espaces vectoriels de $E_p$ dont la dimension est inférieure ou égale à $s$ .
d) On suppose dans cette question que $s$ appartient à $[ [1, p] ]$ , on ne suppose donc plus que $s ⩽ r - 1$ .
Montrer que $K(Vect(e_1, \dots, e_s))$ est le maximum des nombres $K(G)$ , lorsque $G$ parcourt l'ensemble des sous-espaces vectoriels de $E_p$ dont la dimension est inférieure ou égale à $s$ .

Partie VI: Non multa, sed multum

Dans cette partie, on propose une interprétation pratique des résultats théoriques précédents à propos d'une enquête de consommations.
On a étudié les « consommations » annuelles de 8 denrées alimentaires (ce sont les 8 variables statistiques

x_i

, (

1 ⩽ i ⩽ 8

) que l'on suppose centrées), par différentes catégories socioprofessionnelles, à savoir : celles des exploitants agricoles (AGRI) représentées par la colonne

c_1

, des salariés agricoles (SAAG(

= c_2

)), des professions indépendantes (PRIN

(= c_3)

), les cadres supérieurs

(CSUP(= c_4))

, des cadres moyens

(CMOY(= c_5))

, des employés

(EMP(= c_6))

, des ouvriers (

OUV(= c_7)

), des inactifs (

INAC(= c_8)

). Dans notre exemple un individu est donc une catégorie socio-professionnelle.
On a consigné les résultats de l'enquête dans une matrice

X = (x_(ij))_(1 ⩽ i ⩽ 8; 1 ⩽ j ⩽ 8)

. Par exemple

x_(12)

représente la consommation moyenne de la denrée 1 par la catégorie SAAG.
Les valeurs propres de la matrice

V = X^t X

sont approximativement

70, 20, 5, 3, 2, 0, 0

et 0 associées respectivement à

e_1, \dots, e_8

Quelle part de l'inertie totale est contenue dans l'inertie du nuage de points sur le sous-espace de base ( $e_1, e_2$ ).

On a représenté dans le dessin ci-contre les projetés orthogonaux dans le plan de base

(e_1, e_2)

des 8 individus

(c_j)_(1 ⩽ j ⩽ 8)

, c'est-à-dire des 8 colonnes représentant les consommations moyennes de chaque catégorie socio-professionnelle.
2) Que représente le nuage de points du

dessin pour le nuage

X

de l'enquête?

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Partie II: Les axes principaux d'inertie d'un nuage

Partie III: Une décomposition de la matrice X

Partie IV: Une norme euclidienne de matrices carrées

Partie V: La meilleure approximation du nuage

Partie VI: Non multa, sed multum

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Partie III: Une décomposition de la matrice $X$