BCE Maths approfondies EDHEC ECS 2003Sujet et corrigé

Epreuve de maths approfondies - ECS 2003

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Annale de maths approfondies BCE EDHEC pour la filiere ECS, session 2003.

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EDHEC Business School

Concours d'admission sur classes préparatoires 2003

MATHEMATIQUES

Option scientifique

Mardi 20 mai 2003, de 8h à 12h

La présentation, la lisibilité, l'orthographe, la qualité de la rédaction, la clarté et la précision des raisonnements entreront pour une part importante dans l'appréciation des copies.
Les candidats sont invités à encadrer, dans la mesure du possible, les résultats de leurs calculs.
Ils ne doivent faire usage d'aucun document ; seule l'utilisation d'une règle graduée est autorisée.
L'utilisation de toute calculatrice et de tout matériel électronique est interdite.

Exercice 1

P

désignant un polynôme de

ℝ[X]

tel que

P = \sum_(k = 0)^m a_k X^k

, on rappelle que, pour toute matrice

A

M_s(ℝ), P(A) = a_0 I + a_1 A + \dots + a_m A^(''')

, où

I

désigne la matrice unité de

M_s(ℝ)

.
On admet que si

P

Q

sont deux polynômes de

ℝ[X]

et si

A

est une matrice de

M_s(ℝ)

, alors :

(PQ)(A) = P(A)Q(A)

.
On se propose de déterminer explicitement le termc général de la suite (

u_n

) définie par :

u_0 = 0, u_1 = 1, u_2 = 1

et la relation, valable pour tout

n

ℕ, u_(n + 3) = 4u_(n + 2) - 5u_(n + 1) + 2u_n

.
Pour ce faire, on pose, pour tout

n

ℕ, X_n = (u_(n + 2); u_(n + 1); u_n)

a. Écrire la matrice $A$ de $M_3(ℝ)$ , indépendante de $n$ , telle que: $\foralln \in ℕ, X_(n + 1) = AX_n$ .
b. Vérifier que $(A - I)^2(A - 2I) = 0$ .
On considère le polynôme $P$ de $ℝ[X]$ défini par $P(X) = (X - 1)^2(X - 2)$ .
a. Justifier l'existence et l'unicité d'un couple ( $Q_n, R_n$ ) de $ℝ[X] \times ℝ_2[X]$ , tel que : $\foralln \in ℕ, X^n = PQ_n + R_n$ .
b. Montrer que pour tout entier naturel $n$ , il existe des rócls $a_n, b_n$ et $c_n$ tels que :
$R_n(X) = a_n + b_n(X - 1) + c_n(X - 1)^2$ .
c. Établir que: $\foralln \in ℕ, a_n = 1, b_n = n$ et $c_n = 2^n - n - 1$ .
a. Utiliser la question précédente pour écrire, pour tout $n$ de $ℕA^n$ comme combinaison linéaire de $I, A - I$ et $(A - I)^2$ .
b. Pour tout $n$ de $ℕ$ donner la troisième ligne de la matrice $A^('')$ .
a. Montrer que: $\foralln \in ℕ, X_n = A^n(1; 1; 0)$ .
b. En déduire, pour tout $n$ de $ℕ, u_n$ en fonction de $n$ .

Exercice 2

Soit

p

un entier naturel et

f

une fonction continue, strictement positive, décroissante sur

[p, + \infty[

et telle que

\int_p^(+ \infty)f(t)dt

converge.
Pour tout entier naturel

n

supéricur ou égal à

p

, on pose

S_n = \sum_(k = p)^n f(k)

a. Utiliser la décroissance de $f$ pour montrer que, pour tout entier naturel $n$ supérieur ou égal à $p$ , on a: $S_n - f(p) \leq \int_p^n f(t)dt$ .
b. En déduire que la série de terme général $f(n)$ est convergente.

On pose désormais, pour tout entier naturel

n

supérieur ou égal à

p, R_n = \sum_(k = n + 1)^(+ \infty)f(k)

.
2) a. Montrer que, pour tout entier naturel

n

supéricur ou égal à

p

, on a :

\int_n^(+ \infty)f(t)dt - f(n) \leq R_n \leq \int_n^(+ \infty)f(t)dt

b. En déduire une condition suffisante portant sur

f(n)

\int_n^(+ \infty)f(t)dt

pour que :

R_n \sim _(+ \infty)\int_n^(+ \infty)f(t)dt

Dans cette question, pour tout réel $x$ de $[2, + \infty[$ , on pose $f(x) = 1/(x(lnx)^2)$ .
a. Montrer que cette fonction vérifie les quatre hypothèses de l'énoncé ainsi que la condition trouvée à la question 2b).
b. En déduire un équivalent, lorsque $n$ est au voisinage de $+ \infty$ , de $R_n = \sum_(k = n + 1)^(+ \infty)1/(k(lnk)^2)$ .
c. La série de terme général $R_n(n \geq 1)$ est-elle convergente ?

Exercice 3

Pour toute matrice

A

M_3(ℝ)

, on note

^' A

la matrice transposée de

A

tr(A)

la trace de

A

, c'est-à-dire la somme des éléments diagonaux de

A

.
On note

I

la matrice unité de

M_3(ℝ)

et on considère la matrice

J

, élément de

M_3(ℝ)

. définie par

J = (0, 1, 0; 0, 0, 1; 0, 0, 0)

.
A tout couple

(A, B)

M_3(ℝ) \times M_3(ℝ)

, on associe le réel

⟨A, B⟩ = tr(^' AB)

Montrer que l'on définit ainsi un produit scalaire sur $ℳ_3(ℝ)$ .

Dans toute la suite, on se place dans l'espace euclidien

M_3(ℝ)

muni de ce produit scalaire.
2) Montrer que (

I, J, J^2

) est une famille orthogonale.
3) On note

E

le sous-espace vectoriel de

M_3(ℝ)

engendré par (

I, J, J^2

).
a. Déterminer une base orthonommale de

E

, notée (

K_0, K_1, K_2

) telle que, pour tout

i

{0, 1, 2}, K_i

soit proportionnelle à

J^i

(avec bien sûr

J^0 = I

).
b. Soit

A

une matrice quelconque de

M_3(ℝ)

dont le terme situé à l'intersection de la

è i^(ème)

ligne et de la

j

ème colonne est noté

a_(i, j)

.
Pour tout

i

{0, 1, 2}

, déterminer <

K_i, A

> en fonction de certains des éléments de

A

.
c. On note

p

la projection orthogonale sur

E

. Exprimer

p(A)

en fonction de

K_0, K_1, K_2

et de certains éléments de

A

.
d. En déduire une base de

Kerp

Problème

Partie 1

Dans cette partie.

r

désigne un entier naturel et

x

désigne un réel de

]0, 1[

Pour tout entier naturel $k$ non nul, calculer la dérivée $è k^(ème)$ de la fonction $f$ ,
définic sur ]0.1[. par: $f(x) = 1/((1 - x)^(r + 1))$ .
Montrer que, lorsque $n$ est au voisinage de $+ \infty.C_(n + r)^n \sim (n^r)/(r!)$ .
Montrer que $lim_(n \to + \infty)n^(r - 1)x^n = 0$ .
Soit $φ_x$ la fonction définie sur $[0.x]$ par $φ_x(t) = (x - t)/(1 - t)$ .

Montrer que :

\forallt \in [0, x], 0 \leq φ_x(t) \leq x

.
5) a. Écrire la formule de Taylor entre 0 et

x

avec reste intégral pour la fonction

f

à l'ordre

n

.
b. En déduire que :

0 \leq f(x) - \sum_(k = 0)^n C_(k + r)^k x^k \leq (n + r + 1)C_(n + r)^n x^('')\int_0^x(dt)/((1 - t)^(r + 2))

.
c. Montrer finalement que :

\forallx \in ]0.1[.\forallr \in ℕ, \sum_(k = 0)^(+ \infty)C_(k + r)^k x^k = 1/((1 - x)^(r + 1))

Partie 2

Dans cette partie,

n

désigne un entier naturel non nul.
On effectue une suite d'épreuves de Bernoulli indépendantes telles que pour chacune d'entre elles, la probabilité de succès soit égale à

p

, avec

0 < p < 1

.
On note

X_n

le nombre d'épreuves qu'il faut réaliser pour obtenir, pour la première fois

n

succès, pas forcément consécutifs (

X_n

est donc le numéro de l'épreuve où l'on obtient le

n^(end)

succès). On convient que

X_n = 0

si l'on n'obtient pas

n

succès.

Dans cette question sculement, on considère le cas $n = 1$ .
a. Reconnaitre la loi de $X_1$ .
b. Donner l'espérance et la variance de $X_1$ .

Dans toute la suite, on suppose que

n \geq 2

.
2) a. Déterminer

X_n(Ω)

.
b. Pour tout entier naturel

k

, calculer la probabilité que l'on obtienne

n - 1

succès au cours des

n + k - 1

premières épreuves.
c. Déduire de la question précédente que :

\forallk \in ℕ.P(X_n = n + k) = C_(n + k - 1)^(n - 1)p^n(1 - p)^k

.
d. Utiliser le résultat de la partie 1 pour vérifier que

\sum_(k = 0)^(+ \infty)P(X_n = n + k) = 1

En déduire

P(X_n = 0)

.
On dit que

X_n

suit la loi binomiale négative de paramètres

n

p

.
3) a. Montrer que:

\foralln \in ℕ^*, \forallk \in ℕ(n + k)C_(n + k - 1)^(n - 1) = nC_(n + k)^n

.
b. En utilisant le fait que. pour tout entier naturel

n.\sum_(k = 0)^(+ \infty)P(X_(n + 1) = n + 1 + k) = 1

, montrer que

X_n

possède une espérance et donner sa valeur en fonction de

n

p

.
4) a. Montrer que:

\foralln \geq 2, (n - 1)/(n + k - 1)C_(n + k - 1)^(n - 1) = C_(n + k - 2)^(n - 2)

.
b. Utiliser le théorème de transfert pour montrer que, pour tout entier naturel

n

supérieur ou égal à 2.

(n - 1)/(X_n - 1)

possède une espérance et que

E((n - 1)/(X_n - 1)) = p

.
5) a. Justifier que

n/(X_n)

possède une espérance (on n'en demande pas le calcul).
b. Montrer, sans calculer

E(n/(X_n))

, que

E(n/(X_n)) > p

.
6) Dans cette question, on suppose que le paramètre

p

est inconnu.

Pour tout

n \geq 2

, on pose :

Y_n = (n - 1)/(X_n - 1)

Z_n = n/(X_n)

.
Des deux suites

(Y_n)_(n \geq 2)

(Z_n)_(n \geq 2)

, laquelle est un estimateur sans biais de

p

? On ne se préoccupera pas de l'éventuelle convergence de ces estimateurs.

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