BCE Maths approfondies ESSEC ECS 2003Sujet et corrigé

Dans tout le problème, on désigne par n un entier naturel et par :

En particulier, C^0(ℝ) est l'espace vectoriel des fonctions réelles continues sur ℝ.
A toute fonction f appartenant à C^0(ℝ), on associe l'application notée φf définie sur ℝ par :

On définit ainsi un endomorphisme φ de l'espace vectoriel C^0(ℝ) dont on se propose dans la suite d'étudier quelques propriétés au travers de parties qui sont largement indépendantes.

b) On suppose la fonction f paire (resp. impaire). Exprimer φf(− x) en fonction de φf(x + 1).
c) On suppose la fonction f croissante (resp. décroissante). Est-ce le cas de φf ?
d) On suppose la fonction f convexe (resp. concave). Est-ce le cas de φf ?
e) On suppose que la fonction f a une limite L en ± ∞. Est-ce le cas de φf ?
2) Dans cette question, on étudie l'endomorphisme induit par φ sur ℝ_n[x].
a) Montrer que ℝ_n[x] est stable par φ. On note alors φ_n l'endomorphisme induit par φ sur ℝ_n[x].
b) Déterminer la matrice de φ_n dans la base canonique de ℝ_n[x].
c) Déterminer les valeurs propres et vecteurs propres de φ_n.
3) Dans cette question, on étudie l'injectivité et la surjectivité de φ.
a) Montrer, pour toute fonction f de C^0(ℝ), que φf est de classe C^1 et préciser sa dérivée. Pour quelles valeurs du nombre entier j l'espace vectoriel φ(C^k(ℝ)) est-il inclus dans C^j(ℝ) ?
b) Montrer que Ker(φ) est formé des fonctions 1 -périodiques et d'intégrale nulle sur une période.
c) L'endomorphisme φ est-il surjectif ? injectif ?
4) Dans cette question, on étudie les éléments propres de φ.
a) On considère une valeur propre λ, de l'endomorphisme φ, autrement dit un nombre réel λ tel qu'il existe une fonction non nulle f appartenant à C^0(ℝ) vérifiant φf = λf.
Montrer que toute fonction propre f associée à une valeur propre λ ≠ 0, c'est-à-dire toute fonction continue non nulle f telle que φf = λf, est nécessairement de classe C^∞ sur ℝ.
b) Quelles sont les fonctions-polynômes f qui sont fonctions propres de φ ?
c) Montrer, pour tout nombre réel λ > 0, qu'il existe une et une seule fonction exponentielle f définie par f(x) = e^(ax) (a ∈ ℝ) telle que φf = λf.
En déduire que tout nombre réel λ > 0 est valeur propre de φ.
d) Montrer, pour tout nombre réel λ > 1, que la seule fonction bornée f appartenant au sousespace propre associé à λ est la fonction nulle.
Dans la suite du problème, on étudie le sous-espace propre E_1(φ) associé à la valeur propre 1 , c'est-à-dire l'ensemble des fonctions continues f vérifiant φf(x) = f(x) pour tout nombre réel x, ou :

Partie II: Existence d'une fonction non constante dans E_1(φ)

a) Montrer que la courbe représentative de f_0 admet pour centre de symétrie le point ( 1/2, 0 ).
b) Montrer que f_0 est de classe C^1 sur [0, 1] et que ∫_0^1 f_0(t)dt = 0.
2) On définit alors par récurrence à partir de f_0 une suite de fonctions (f_n) définies sur [0, 1] par :

a) Montrer que f_(n + 1) est de classe C^1 sur [0, 1] et vérifie (f_(n + 1))^′ = f_(n + 1) − f_n. En déduire que :

b) Montrer que f_(n + 1)(0) = f_n(1). En déduire que :

c) Etablir enfin, pour tout nombre réel x de [0, 1], que f_(n + 1)(x) = ∫_0^x f_(n + 1)(t)dt + ∫_x^1 f_n(t)dt.
d) On note f l'application définie sur chaque intervalle [n, n + 1[ où n ∈ ℕ par f(x) = f_n(x − n). Ainsi, la fonction f est définie sur la réunion de ces intervalles [n, n + 1[, et donc sur [0, + ∞[.
Montrer que f est continue sur [0, + ∞[ et vérifie f(x) = ∫_(x − 1)^x f(t)dt pour tout nombre réel x ⩾ 1.
3) On prolonge la fonction f définie ci-dessus sur [0, + ∞[ en une fonction définie sur [ − 1, + ∞[.

A cet effet, on pose f(x) = f(x + 1) − f^′(x + 1) pour − 1 ⩽ x < 0.
Montrer que f est continue sur [ − 1, + ∞[ et vérifie f(x) = ∫_(x − 1)^x f(t)dt pour tout nombre réel x ⩾ 0.
En réitérant ce même procédé sur [ − 2, + ∞[, [ − 3, + ∞[, etc, on obtient une fonction f continue sur ℝ vérifiant φf(x) = f(x) pour tout nombre réel x (on ne demande pas d'expliciter ce raisonnement).

On désigne toujours par f une application de E_1(φ) et par n un nombre entier naturel.

En déduire dans tous les cas que M_(n − 1) ⩾ M_n.
c) On définit de même le minimum m_n de la fonction f sur l'intervalle [n, n + 1].

Etablir la monotonie de la suite ( m_n ) et en déduire la convergence des suites ( M_n ) et ( m_n ).
2) On étudie dans cette question l'existence d'une limite éventuelle de f en + ∞ et on pose

a) Calculer la dérivée de l'application x ↦ g(x) = ∫_x^(x + 1)(t − x)f(t)dt et exprimer g(x) à l'aide de L.
b) Justifier l'inégalité suivante pour x ⩾ n :

En l'appliquant avec x = x_(n + 1) − 1, en déduire que : 0 ⩽ (M_n − L)/2 ⩽ M_n − M_(n + 1).
c) Etablir une inégalité analogue faisant intervenir L, m_n et m_(n + 1), et en déduire enfin que f(x) tend vers L lorsque x tend vers + ∞.

On désigne maintenant par f une application bornée de E_1(φ) et on note alors

a) Comparer u_0 et φf^2 − f^2 (ou φ(f^2) − f^2 ).
b) Calculer la dérivée de u_0 et en déduire le sens de variation de u_0.
2) On définit alors par récurrence à partir de u_0 une suite de fonctions (u_n) définies sur ℝ par :

a) Calculer la dérivée de u_n et en déduire le sens de variation de u_n.
b) Déterminer le sens de variation de la suite n ↦ u_n(x) lorsque le nombre réel x est fixé.
c) Etablir pour tout nombre réel x et tout nombre entier naturel n l'inégalité suivante :

d) En déduire que la suite n ↦ u_n(x) converge vers 0 , puis que f est constante sur ℝ.