BCE Maths approfondies EDHEC ECS 2005Sujet et corrigé

Epreuve de maths approfondies - ECS 2005

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Annale de maths approfondies BCE EDHEC pour la filiere ECS, session 2005.

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ECOLE DE HAUTES ETUDES COMMERCIALES DU NORD

Concours d'admission sur classes préparatoires

MATHEMATIQUES

Option scientifique

Vendredi 13 mai 2005 de 8h à 12h

La présentation, la lisibilité, l'orthographe, la qualité de la rédaction, la clarté et la précision des raisonnements entreront pour une part importante dans l'appréciation des copies.
Les candidats sont invités à encadrer, dans la mesure du possible, les résultats de leurs calculs.
Ils ne doivent faire usage d'aucun document ; seule l'utilisation d'une règle graduée est autorisée.

L'utilisation de toute calculatrice et de tout matériel électronique est interdite.

Exercice 1

Dans cet exercice,

n

est un entier naturel supérieur ou égal à 2 .
On désigne par

I

la matrice unité de

ℳ_n(ℝ)

On note $tr$ l'application linéaire qui à toute matrice de $M_n(ℝ)$ associe sa trace, c'est-à-dire la somme de ses éléments diagonaux.
a) Montrer que $Imtr = ℝ$ .
b) En déduire la dimension de Kertr.
c) Établir que $M_n(ℝ) = Kertr \oplus Vect(I)$ .
Soit $f$ l'application qui, à toute matrice $M$ de $M_n(ℝ)$ associe $f(M) = M + tr(M)I$ ,
a) Montrer que $f$ est un endomorphisme de $ℳ_n(ℝ)$ .
b) Utiliser la première question pour déterminer les valeurs propres de $f$ . En déduire que $f$ est un automorphisme diagonalisable de $M_n(ℝ)$ .
Soit $g$ l'application qui, à toute matrice $M$ de $M_n(ℝ)$ associe $g(M) = M + tr(M)J$ , où $J$ désigne une matrice non nulle de $ℳ_n(ℝ)$ dont la trace est nulle.
On admet que $g$ est un endomorphisme de $M_n(ℝ)$ .
a) Établir que le polynôme $X^2 - 2X + 1$ est un polynôme annulateur de $g$ .
b) Montrer que 1 est la seule valeur propre de $g$ .
c) $g$ est-il diagonalisable ?

Exercice 2

Pour tout réel

x

, on note

⌊x⌋

la partie entière de

x

et on rappelle que

⌊x⌋

est le seul entier vérifiant :

⌊x⌋ \leq x < ⌊x⌋ + 1

.
On considère une variable aléatoire

X

définie sur un espace probabilisé (

Ω, A, P

) et qui suit la loi exponentielle de paramètre

λ

(avec

λ > 0

). On note

F

sa fonction de répartition.
On pose

X_1 = ⌊X⌋, X_2 = ⌊10(X - X_1)⌋

et l'on admet que

X_1

X_2

sont des variables aléatoires définies elles aussi sur (

Ω, A, P

a) Déterminer $X_1(Ω)$ .
b) Pour tout $k$ de $X_1(Ω)$ , exprimer $P(X_1 = k)$ à l'aide de $F$ .
c) En déduire que $X_1 + 1$ suit une loi géométrique dont on donnera le paramètre.
d) Déterminer $E(X_1)$ en fonction de $λ$ .
a) Déterminer $X_2(Ω)$ et dire ce que représente $X_2$ .
b) Justifier que, pour tout $k$ élément de ${0, 1, …, 9}, P(X_2 = k) = ∑_(i = 0)^(+ ∞)P(X_1 = i ∩ X_2 = k)$ , puis montrer que : $∀k ∈ {0, 1, …, 9}, P(X_2 = k) = ∑_(i = 0)^(+ ∞)(F(i + (k + 1)/(10)) − F(i + k/(10)))$ .
En déduire que $∀k ∈ {0, 1, …, 9}, P(X_2 = k) = e^(− (λk)/(10))(1 − e^(− λ/(10)))/(1 − e^(− λ))$ .
Montrer que $X_1$ et $X_2$ sont indépendantes.

Exercice 3

Dans cet exercice,

n

est un entier naturel supérieur ou égal à 2 .
On considère la fonction de

n

variables réelles, notée

f

, définie par :

\forall(x_1, x_2, \dots, x_n) \in ℝ^n, f(x_1, x_2, \dots, x_n) = \sum_(k = 1)^n x_k^2 + (\sum_(k = 1)^n x_k)^2 - \sum_(k = 1)^n x_k

a) Montrer que $f$ est de classe $C^2$ sur $ℝ^n$ .
b) Calculer les dérivées premières et secondes de $f$ .
a) Déterminer le seul point critique ( $a_1, a_2, \dots, a_n$ ) de $f$ sur $ℝ^n$ .
b) Vérifier que la hessienne de $f$ en ce point est la matrice $A_n = 2(I_n + J_n)$ , où $I_n$ désigne la matrice unité de $M_n(ℝ)$ et $J_n$ la matrice de $M_n(ℝ)$ dont tous les éléments sont égaux à 1 .
a) Déterminer le rang de $J_n$ . En déduire que 0 est valeur propre de $J_n$ et déterminer la dimension du sous-espace propre associé.
b) Calculer le produit $J_n(1; 1; ⋮; 1; 1)$ .
c) À l'aide des questions précédentes, donner les valeurs propres de $J_n$ , puis celles de $A_n$ .
a) Montrer que, pour tout $H = (h_1; h_2; ⋮; h_n)$ non nul, on a: $^t HA_n H > 0$ .
b) En déduire que $f$ admet un minimum local en ( $a_1, a_2, \dots, a_n$ ) et vérifier que ce minimum est égal à $- n/(4(n + 1))$ .

Problème

On considère deux jetons

J_1

J_2

, équilibrés (c'est-à-dire tels que chaque face a une chance sur deux d'apparaître au cours d'un lancer).
Le jeton

J_1

possède une face numérotée 0 et une face numérotée 1.
Le jeton

J_2

possède deux faces numérotées 1 .
Un joueur choisit au hasard un jeton puis effectue une série de lancers avec ce jeton.
On note

E

l'événement « le jeton

J_1

est choisi pour le jeu» et, pour tout entier naturel

k

non nul,

U_k

l'événement « le

è k^(ème)

lancer fait apparaître une face numérotée 1 ».

Partie 1 : étude de quelques variables aléatoires liées à cette épreuve.

a) Déterminer la probabilité que le joueur obtienne $n$ fois ( $n \in ℕ^*$ ) une face portant le numéro 1 lors des $n$ premiers lancers.
b) Dans cette question, on suppose que le joueur a obtenu $n$ fois ( $n \in ℕ^*$ ) une face portant le numéro 1 lors des $n$ premiers lancers. Quelle est la probabilité qu'il ait joué avec le jeton $J_1$ ? Quelle est la limite de cette probabilité lorsque $n$ tend vers $+ \infty$ ? Interpréter ce résultat.

Dans la suite, on considère la variable aléatoire

X

égale au rang d'apparition de la première face portant le numéro 0 et on pose

X = 0

si la face portant le numéro 0 n'apparaît jamais.
On considère également la variable aléatoire

Y

égale au rang d'apparition de la première face portant le numéro 1 et on pose

Y = 0

si la face portant le numéro 1 n'apparaît jamais.
On suppose ces variables aléatoires définies sur le même espace probabilisé (

Ω, A, P

).
2) a) Calculer, pour tout entier naturel

n

non nul, la probabilité

P(X = n)

.
b) En déduire que

P(X = 0) = 1/2

. Ce résultat était-il prévisible?
c) Montrer que

X

a une espérance puis déterminer

E(X)

.
d) Montrer que

X(X - 1)

a une espérance, la déterminer puis vérifier que

V(X) = 2

.
3) a) Calculer, pour tout entier naturel

n

non nul, la probabilité

P(Y = n)

.
b) En déduire que

P(Y = 0) = 0

.
c) Montrer que

Y

a une espérance puis déterminer

E(Y)

.
d) Montrer que

Y(Y - 1)

a une espérance, la déterminer puis vérifier que

V(Y) = 5/4

.
4) On définit sur

(Ω, A, P)

la variable aléatoire

S

par :

\forallω \in Ω, S(ω) = Max(X(ω), Y(ω))

.
a) Déterminer

S(Ω)

.
b) Montrer que

P(S = 1) = P(X = 0) = 1/2

.
c) Pour tout entier

n

supérieur ou égal 2, comparer d'une part (

X = n

) et (

Y < n

) et d'autre part

(Y = n)

(X < n)

, puis en déduire que :

(S = n) = (X = n \cup Y = n)

.
d) Reconnaître alors la loi de

S

et préciser son espérance et sa variance.
5) On définit sur (

Ω, A, P

) la variable aléatoire

I

par :

\forallω \in Ω, I(ω) = Min(X(ω), Y(ω))

.
a) Montrer que

I

est une variable de Bernoulli.
b) Déterminer

P(I = 0)

puis donner la loi de

I

, ainsi que son espérance et sa variance.

Partie 2 : simulation des variables $X$ et $Y$ .

On rappelle que random(2) renvoie au hasard un entier de

{0, 1}

On considère le programme suivant :

Program edhec2005;; Var jeton, lancer, X : integer;; Begin; Randomize;; X:=0; jeton := random(2) + 1;; if (jeton = 1 then begin; repeat; X:=X + 1;; lancer := random(2);; until (lancer = 0);; end;; Writeln (X);; end.

a) Expliquer le fonctionnement de ce programme et déterminer quel est le contenu de la variable affichée à la fin.
b) Est-on certain que le nombre de passages dans la boucle « Repeat ... until » est fini ?
2) Écrire un programme Pascal qui donne la valeur de la variable aléatoire

Y

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MATHEMATIQUES

Option scientifique

Vendredi 13 mai 2005 de 8h à 12h

L'utilisation de toute calculatrice et de tout matériel électronique est interdite.

Exercice 1

Exercice 2

Exercice 3

Problème

Partie 1 : étude de quelques variables aléatoires liées à cette épreuve.

Partie 2 : simulation des variables X et Y.

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Partie 2 : simulation des variables $X$ et $Y$ .