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BCE Maths approfondies EDHEC ECS 2006Sujet et corrigé

Epreuve de maths approfondies - ECS 2006

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Annale de maths approfondies BCE EDHEC pour la filiere ECS, session 2006.

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ECOLE DE HAUTES ETUDES COMMERCIALES DU NORD
Concours d'admission sur classes préparatoires

MATHEMATIQUESOption scientifiqueMardi 9 mai 2006 de 8h à 12h

Abstract

La présentation, la lisibilité, l'orthographe, la qualité de la rédaction, la clarté et la précision des raisonnements entreront pour une part importante dans l'appréciation des copies. Les candidats sont invités à encadrer, dans la mesure du possible, les résultats de leurs calculs. Ils ne doivent faire usage d'aucun document ; seule l'utilisation d'une règle graduée est autorisée.

L'utilisation de toute calculatrice et de tout matériel électronique est interdite.

Exercice 1

Dans cet exercice, m désigne un entier naturel non nul. On note id (respectivement θ ) l'endomorphisme identité (respectivement l'endomorphisme nul) du ℂ-espace vectoriel ℂ^m et on considère un endomorphisme f de ℂ^m vérifiant : (f − λ_1 id)o(f − λ_2 id) = θ, où λ_1 et λ_2 sont deux complexes distincts.
  1. a) Vérifier que 1/(λ_2 − λ_1)((f − λ_1 id) − (f − λ_2 id)) = id.
    b) En déduire que : ℂ^m = Ker(f − λ_1 id) ⊕ Ker(f − λ_2 id).
    c) Conclure que f est diagonalisable et donner ses valeurs propres (on sera amené à étudier trois cas).
    Dans la suite de l'exercice, on désigne par n un entier naturel et l'on se propose de montrer qu'il n'existe pas de matrice de ℳ_(2n + 1)(ℝ) telle que A^2 = − I, où I désigne la matrice diagonale de ℳ_(2n + 1)(ℝ) dont les éléments diagonaux valent 1 .
  2. Trouver une matrice A de ℳ_(2n + 1)(ℂ telle que A^2 = − I.
  3. Dans cette question, on suppose qu'il existe une matrice A de ℳ_(2n + 1)(ℝ) telle que A^2 = − I.
    a) Utiliser la première question pour montrer que A est diagonalisable dans ℳ_(2n + 1) (T) et que ses valeurs propres sont i et − i.
    b) Pour toute matrice M = (m_(i, j))_(1 ≤ i ≤ p; 1 ≤ j ≤ q) de M_(p, q)(𝕀, on note M¯ la matrice (m_(i, j)^–)_(1 ≤ i ≤ p; 1 ≤ j ≤ q).
On note E_i et E_(− i) les sous-espaces propres de A associés aux valeurs propres i et − i.
Montrer que X ∈ E_i ⇔ X¯ ∈ E_(− i).
c) En déduire que, si ( u_1, u_2, …, u_p ) est une base de E_i, alors ( u_1^–, u_2^–, …, u_p^– ) est une famille libre de E_(− i). Conclure que dimE_i = dimE_(− i).
d) Établir enfin le résultat demandé.

Exercice 2

  1. a) Montrer que l'on définit bien une unique suite (u_n)_(n ≥ 1), à termes strictement positifs, en posant : u_1 = 1 et, pour tout entier n supérieur ou égal à 2, u_n = 1/(2n − 1)∑_(j = 1)^(n − 1)u_j.
    b) Vérifier que u_2 = 1/3, puis calculer u_3.
  2. Montrer que la série de terme général u_n est divergente et donner lim_(n → + ∞)∑_(j = 1)^n u_j.
  3. a) Établir que: ∀n ≥ 2, u_(n + 1) = (2n)/(2n + 1)u_n.
    b) En déduire que la suite ( u_n ) est convergente.
    c) Donner un équivalent de ln((u_n)/(u_(n + 1))) lorsque n est au voisinage de + ∞ puis déterminer la nature de la série de terme général ln((u_n)/(u_(n + 1))).
    d) En déduire lim_(n → + ∞)ln(u_n), puis montrer que lim_(n → + ∞)u_n = 0.
  4. a) Montrer que: ∀n ≥ 2, u_n = (4^n)/(4n((2n)/n)), où ((2n)/n) désigne le coefficient binomial ((2n)!)/(n!n!).
    b) En utilisant la question 2), déterminer lim_(n → + ∞)nu_n, puis montrer que : ((2n)/n) = _(n → + ∞)o(4^n).
  5. En utilisant le résultat de la question 3), montrer que : (4^n)/n = _(n → + ∞)o(((2n)/n)).

Exercice 3

On considère deux variables aléatoires X et Y, définies sur un espace probabilisé ( Ω, T, P ), indépendantes et suivant toutes deux la loi normale centrée réduite (de densité notée φ et de fonction de répartition notée Φ ).
On pose Z = Sup(X, Y) et l'on se propose de déterminer la loi de Z, ainsi que son espérance et sa variance.
  1. a) Montrer que Z est une variable aléatoire à densité définie elle aussi sur ( Ω, T, P ).
    b) Vérifier que Z admet pour densité la fonction f définie pour tout réel x par :
f(x) = 2φ(x)Φ(x)
  1. a) Rappeler la valeur de l'intégrale ∫_(− ∞)^(+ ∞)e^(− (t^2)/2)dt.
    b) En déduire la convergence et la valeur de ∫_(− ∞)^(+ ∞)e^(− t^2)dt.
    c) En remarquant que, pour tout réel x, φ^′(x) = − xφ(x), montrer, grâce à une intégration par parties, que : ∫_0^(+ ∞)xf(x)dx = 1/(√(2π)) + 1/π∫_0^(+ ∞)e^(− t^2)dt.
    d) Montrer de même que : ∫_(− ∞)^0 xf(x)dx = − 1/(√(2π)) + 1/π∫_(− ∞)^0 e^(− t^2)dt.
En déduire que Z a une espérance et donner sa valeur.
3) a) Montrer que X^2 et Z^2 suivent la même loi.
b) Déterminer E(Z^2), puis donner la valeur de la variance de Z.

Problème

Un mobile se déplace sur les points à coordonnées entières d'un axe d'origine O.
Au départ, le mobile est à l'origine (point d'abscisse 0 ).
Le mobile se déplace selon la règle suivante : s'il est sur le point d'abscisse k à l'instant n, alors, à l'instant (n + 1) il sera sur le point d'abscisse (k + 1) avec la probabilité (k + 1)/(k + 2) ou sur le point d'abscisse 0 avec la probabilité 1/(k + 2).
Pour tout n de ℕ, on note X_n l'abscisse de ce point à l'instant n et l'on a donc X_0 = 0.
On admet que, pour tout n de ℕ, X_n est une variable aléatoire définie sur un espace probabilisé ( Ω, T, P ) et on pose u_n = P(X_n = 0).

Partie 1: étude de la variable X_n.

  1. Vérifier que X_1(Ω) = {0, 1} puis donner la loi de X_1.
  2. Montrer par récurrence que, pour tout entier naturel n, X_n(Ω) = {0, 1, …, n}.
  3. a) Montrer que: ∀n ∈ ℕ^∗, ∀k ∈ {1, …, n}, P(X_n = k) = k/(k + 1)P(X_(n − 1) = k − 1).
    b) En déduire que : ∀n ∈ ℕ, ∀k ∈ {0, 1, …, n}, P(X_n = k) = 1/(k + 1)u_(n − k).
    c) En remarquant que ∑_(k = 0)^n P(X_n = k) = 1, montrer que : ∀n ∈ ℕ, ∑_(j = 0)^n(u_j)/(n − j + 1) = 1.
    d) Retrouver ainsi les valeurs de u_0 et u_1 puis déterminer u_2 et u_3.
  4. a) En remarquant que la relation obtenue à la question 3a) peut s'écrire sous la forme (k + 1)P(X_n = k) = kP(X_(n − 1) = k − 1), montrer que : ∀n ∈ ℕ^∗, E(X_n) − E(X_(n − 1)) = u_n.
    b) En déduire, pour tout entier naturel n non nul, E(X_n) sous forme de somme mettant en jeu certains termes de la suite (u_n).
    c) Pour tout entier naturel n non nul, donner la valeur de ∑_(j = 0)^(n − 1)(u_j)/(n − j) et vérifier que
    u_n + ∑_(j = 0)^(n − 1)(u_j)/(n − j + 1) = 1.
    Déduire de ces deux résultats que : ∀n ∈ ℕ^∗, u_n = ∑_(j = 0)^(n − 1)(u_j)/((n − j)(n − j + 1)).
    d) Montrer que, pour tout n de ℕ^∗, u_n ≥ 1/(n + 1). Déterminer ensuite lim_(n → + ∞)E(X_n).

Partie 2 : étude du premier retour à l'origine.

On note T l'instant auquel le mobile se trouve pour la première fois à l'origine (sans compter son positionnement au départ) et on admet que T est une variable aléatoire définie, elle aussi, sur (Ω, T, P). On convient que T prend la valeur 0 si le mobile ne revient jamais en O.
Par exemple, si les abscisses successives du mobile après son départ sont 0, 0, 1, 2, 0, 0, 1, alors on a T = 1. Si les abscisses successives sont: 1, 2, 3, 0, 0, 1, alors on a T = 4.

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