BCE Maths approfondies EDHEC ECS 2004Sujet et corrigé

Epreuve de maths approfondies - ECS 2004

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Annale de maths approfondies BCE EDHEC pour la filiere ECS, session 2004.

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ECOLE DE HAUTES ETUDES COMMERCIALES DU NORD
Concours d'admission sur classes préparatoires

MATHEMATIQUESOption scientifiqueMardi 4 mai 2004, de 8h à 12h.

La présentation, la lisibilité, l'orthographe, la qualité de la rédaction, la clarté et la précision des raisonnements entreront pour une part importante dans l'appréciation des copies.
Les candidats sont invités à encadrer, dans la mesure du possible, les résultats de leurs calculs.
Ils ne doivent faire usage d'aucun document ; seule l'utilisation d'une règle graduée est autorisée.
L'utilisation de toute calculatrice et de tout matériel électronique est interdite.

Exercice 1

Dans tout l'exercice,

X

est une variable aléatoire suivant la loi de Poisson de paramètre

λ > 0

Une première inégalité.
a. Montrer que $P(|X - λ| \geq λ) \leq 1/λ$ .
b. En déduire l'inégalité (*) : $P(X \geq 2λ) \leq 1/λ$
Première amélioration de l'inégalité (*).
~ a. Soit $Y$ une variable aléatoire discrète, à valeurs positives et ayant une espérance. On note $Y(Ω) = {y_0, y_1, …, y_n, …}$ . Montrer, en minorant $E(Y)$ , que : $\foralla > 0, P(Y \geq a) \leq (E(Y))/a$ .
b. On considère une variable aléatoire discrète $Z$ , d'espérance nulle et de variance $σ^2$ .

Montrer que, pour tout couple

(a, x)

]0, + \infty[ \times ℝ_+

P(Z \geq a) \leq P((Z + x)^2 \geq (a + x)^2)

.
c. En appliquant l'inégalité obtenue en 2a) à la variable aléatoire

(Z + x)^2

, montrer que :

\foralla > 0, \forallx \geq 0, P(Z \geq a) \leq (σ^2 + x^2)/((a + x)^2)

.
d. En déduire que :

\foralla > 0, P(Z \geq a) \leq (σ^2)/(σ^2 + a^2)

(on pourra étudier la fonction

f

qui, à tout

x

ℝ_+

, associe

(σ^2 + x^2)/((a + x)^2)

).
e. Utiliser cette dernière inégalité pour montrer que :

P(X \geq 2λ) \leq 1/(λ + 1)

.
3) Deuxième amélioration de l'inégalité (*).

Pour tout réel

t

, on pose

G_X(t) = \sum_(k = 0)^(+ \infty)P(X = k)t^k

.
a. Justifier l'existence de

G_X(t)

et montrer que :

G_X(t) = e^(λ(t - 1))

.
b. Montrer que :

\forallt \in [1, + \infty[, \foralla > 0, P(X \geq a) \leq (G_X(t))/(t^a)

.
c. Déterminer le minimum sur

[1, + \infty[

de la fonction

g : t \mapsto (e^(t - 1))/(t^2)

.
d. En déduire que :

P(X \geq 2λ) \leq (e/4)^λ

.
4) Montrer que cette dernière amélioration est meilleure que celle obtenue à la question

2e

) dès que

λ

prend des valeur assez grandes.

Exercice 2

On pose, lorsque c'est possible, $f(x) = \int_1^(+ \infty)(dt)/(1 + t + t^(x + 1))$ . Montrer que le domaine de définition de la fonction $f$ est $]0, + \infty[$ .
Montrer que $f$ est décroissante sur $]0, + \infty[$ .
a. Justifier l'existence de la quantité $g(x)$ définie sur $]0, + \infty[parg(x) = \int_1^(+ \infty)(dt)/(t(1 + t^x))$ .
b. Pour tout $x$ de $]0, + \infty[$ et pour tout $t$ de $[1, + \infty[$ , simplifier $1/t - (t^(x - 1))/(1 + t^x)$ , puis établir que : $\forallx \in ]0, + \infty[, g(x) = (ln2)/x$ .
c. En déduire que : $\forallx \in ]0, + \infty[, 0 \leq f(x) \leq (ln2)/x$ , puis déterminer $lim_(x \to + \infty)f(x)$ .
a. Montrer que: $\forallx \in ]0, + \infty[, 0 \leq (ln2)/x - f(x) \leq 1/(2x + 1)$ .
b. En déduire la limite de $f(x)$ quand $x$ tend vers $0^+$ ainsi qu'un équivalent de $f(x)$ lorsque $x$ est au voisinage de $0^+$ .
Dresser le tableau de variation de $f$ .

Exercice 3

On considère deux variables aléatoires

X

Y

, définies toutes les deux sur le même espace probabilisé (

Ω, A, P

), indépendantes et suivant la loi uniforme sur [ 0,1 ]. On pose

Z = X + Y

a. Déterminer une densité de $Z$ .
b. Montrer que, pour tout $x$ de $]0, 1[$ , les événements ( $Z > 1$ ) et ( $1 - x < Z \leq 1 + x$ ) sont indépendants.
On pose $T = Max(X, Y)$ . On admet que $T$ est une variable aléatoire définie elle aussi sur l'espace probabilisé $(Ω, A, P)$ .
a. Montrer que $T$ est une variable à densité puis donner une densité de $T$ .
b. En déduire que $T$ possède une espérance $E(T)$ et la déterminer.
c. On pose $U = |X - Y|$ et on admet que $U$ est une variable aléatoire définie elle aussi sur l'espace probabilisé ( $Ω, A, P$ ). Montrer que $U$ est combinaison linéaire de $Z$ et $T$ , puis en déduire l'espérance de $U$ .

Problème

Dans tout le problème, la lettre

n

désigne un entier naturel.

Partie 1

On note

E_n

ℝ

-espace vectoriel des fonctions réelles de classe

C^n

sur [ 0,1 ].
En particulier,

E_0

est le

ℝ

-espace vectoriel des fonctions réelles continues sur [ 0,1 ].
On note

N

l'ensemble des fonctions

f

E_2

vérifiant de plus

f(0) = f(1) = 0

.
On considère l'application

u

N

dans

E_0

qui, à toute fonction

f

N

associe sa dérivée seconde, notée

f^('')

Montrer que $N$ est un sous-espace vectoriel de $E_2$ .
Montrer que $u$ est une application linéaire injective.
Soit $g$ un élément de $E_0$ . Pour tout $x$ de $[0, 1]$ , on pose $G(x) = 1/2\int_0^1|x - t|g(t)dt$ .
a. Justifier que $G$ est élément de $E_1$ et montrer que :

\forallx \in [0, 1], G^'(x) = 1/2(\int_0^x g(t)dt - \int_x^1 g(t)dt)

b. En déduire que

G

est élément de

E_2

et déterminer

G

".
c. Pour tout

x

[0, 1]

, on pose

H(x) = G(x) + ax + b

. Déterminer les réels

a

b

(sous forme d'intégrales) pour que

H

appartienne à

N

.
d. Déterminer

u(H)

puis en déduire que

u

est surjective.
e. Que peut-on déduire des questions 2) et 3d) ?
4) Vérifier que, pour tout

x

élément de

[0, 1]

(u^(- 1))(g)(x) = 1/2\int_0^1|x - t|g(t)dt - 1/2\int_0^1 tg(t)dt - x/2\int_0^1(1 - 2t)g(t)dt

Partie 2

On note

P_n

l'espace vectoriel des fonctions polynomiales réelles de degré inférieur ou égal à

n

. Pour tout entier naturel

k

et pour tout réel

x

, on pose

e_k(x) = x^k

, avec bien sûr

e_0(x) = 1

, et on rappelle que

𝔅 = (e_0, e_1, \dots, e_n)

est une base de

P_n

.
On note

N_n

le sous-espace vectoriel de

P_n

constitué des fonctions polynomiales

P

de degré inférieur ou égal à

n

et telles que

P(0) = P(1) = 0

.
Pour tout entier naturel

k

et pour tout réel

x

on pose

f_k(x) = x^(k + 1)(x - 1)

Montrer que $C = (f_0, f_1, \dots, f_n)$ est une base de $N_(n + 2)$ .

On considère l'application linéaire

v

N_(n + 2)

dans

P_n

qui, à toute fonction

P

N_(n + 2)

associe sa dérivée seconde, notée

P^('')

.
2) a. Pour tout

k

{0, 1, \dots, n}

, déterminer

v(f_k)

en fonction de certains des vecteurs de

ℬ

, puis en déduire la matrice

A

v

relativement aux bases

C

𝔹

.
b. En déduire que

v

est un isomorphisme de

N_(n + 2)

sur

P_n

.
c. Simplifier, pour tout réel

x

et pour tout entier naturel

k

, la somme

\sum_(j = 0)^k f_j(x)

.
d. Justifier que le résultat de la quatrième question de la partie 1 peut s'appliquer ici, puis déterminer, en utilisant le résultat de la question 2c), la matrice

A^(- 1)

.
e. Vérifier cette dernière, dans le cas où

n = 2

(les calculs devront figurer sur la copie).
3) On considère l'application

w

qui à tout élément

P

P_n

associe

w(P)

, où

w(P)

est la dérivée seconde de l'application qui à tout réel

x

associe

(x^2 - x)P(x)

.
a. Montrer que

w

est un endomorphisme de

P_n

.
b. Pour tout

k

{0, 1, \dots, n}

, déterminer

w(e_k)

.
c. En déduire que la matrice de

w

dans

B

n'est autre que la matrice

A

de la question 2a).
d. L'endomorphisme

w

est-il diagonalisable ? Est-ce un automorphisme de

P_n

?
e. Dans le cas

n = 2

, déterminer les sous-espaces propres de

w

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