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BCE Maths approfondies EDHEC ECS 2004

Epreuve de maths approfondies - ECS 2004

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Probabilités finies, discrètes et dénombrementIntégrales généraliséesProbabilités continuesAlgèbre linéaireFonctions (limites, continuité, dérivabilité, intégration)Calcul différentiel et fonctions à plusieurs variables
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Banque
BCE
Année
2004
Filière
ECS
Matière
Mathématiques
Annales BCE ECS MathématiquesBCE ECS 2004ECS MathématiquesMathématiques 2004

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Description

Annale de maths approfondies BCE EDHEC pour la filiere ECS, session 2004.

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ECOLE DE HAUTES ETUDES COMMERCIALES DU NORD
Concours d'admission sur classes préparatoires

MATHEMATIQUESOption scientifiqueMardi 4 mai 2004, de 8h à 12h.

La présentation, la lisibilité, l'orthographe, la qualité de la rédaction, la clarté et la précision des raisonnements entreront pour une part importante dans l'appréciation des copies.
Les candidats sont invités à encadrer, dans la mesure du possible, les résultats de leurs calculs.
Ils ne doivent faire usage d'aucun document ; seule l'utilisation d'une règle graduée est autorisée.
L'utilisation de toute calculatrice et de tout matériel électronique est interdite.

Exercice 1

Dans tout l'exercice, est une variable aléatoire suivant la loi de Poisson de paramètre .
  1. Une première inégalité.
    a. Montrer que .
    b. En déduire l'inégalité (*) :
  2. Première amélioration de l'inégalité (*).
    ~ a. Soit une variable aléatoire discrète, à valeurs positives et ayant une espérance. On note . Montrer, en minorant , que : .
    b. On considère une variable aléatoire discrète , d'espérance nulle et de variance .
Montrer que, pour tout couple de :
.
c. En appliquant l'inégalité obtenue en 2a) à la variable aléatoire , montrer que :
.
d. En déduire que : (on pourra étudier la fonction qui, à tout de , associe ).
e. Utiliser cette dernière inégalité pour montrer que : .
3) Deuxième amélioration de l'inégalité (*).
Pour tout réel , on pose .
a. Justifier l'existence de et montrer que : .
b. Montrer que : .
c. Déterminer le minimum sur de la fonction .
d. En déduire que : .
4) Montrer que cette dernière amélioration est meilleure que celle obtenue à la question ) dès que prend des valeur assez grandes.

Exercice 2

  1. On pose, lorsque c'est possible, . Montrer que le domaine de définition de la fonction est .
  2. Montrer que est décroissante sur .
  3. a. Justifier l'existence de la quantité définie sur .
    b. Pour tout de et pour tout de , simplifier , puis établir que : .
    c. En déduire que : , puis déterminer .
  4. a. Montrer que: .
    b. En déduire la limite de quand tend vers ainsi qu'un équivalent de lorsque est au voisinage de .
  5. Dresser le tableau de variation de .

Exercice 3

On considère deux variables aléatoires et , définies toutes les deux sur le même espace probabilisé ( ), indépendantes et suivant la loi uniforme sur [ 0,1 ]. On pose .
  1. a. Déterminer une densité de .
    b. Montrer que, pour tout de , les événements ( ) et ( ) sont indépendants.
  2. On pose . On admet que est une variable aléatoire définie elle aussi sur l'espace probabilisé .
    a. Montrer que est une variable à densité puis donner une densité de .
    b. En déduire que possède une espérance et la déterminer.
    c. On pose et on admet que est une variable aléatoire définie elle aussi sur l'espace probabilisé ( ). Montrer que est combinaison linéaire de et , puis en déduire l'espérance de .

Problème

Dans tout le problème, la lettre désigne un entier naturel.

Partie 1

On note le -espace vectoriel des fonctions réelles de classe sur [ 0,1 ].
En particulier, est le -espace vectoriel des fonctions réelles continues sur [ 0,1 ].
On note l'ensemble des fonctions de vérifiant de plus .
On considère l'application de dans qui, à toute fonction de associe sa dérivée seconde, notée .
  1. Montrer que est un sous-espace vectoriel de .
  2. Montrer que est une application linéaire injective.
  3. Soit un élément de . Pour tout de , on pose .
    a. Justifier que est élément de et montrer que :
b. En déduire que est élément de et déterminer ".
c. Pour tout de , on pose . Déterminer les réels et (sous forme d'intégrales) pour que appartienne à .
d. Déterminer puis en déduire que est surjective.
e. Que peut-on déduire des questions 2) et 3d) ?
4) Vérifier que, pour tout élément de :

Partie 2

On note l'espace vectoriel des fonctions polynomiales réelles de degré inférieur ou égal à . Pour tout entier naturel et pour tout réel , on pose , avec bien sûr , et on rappelle que est une base de .
On note le sous-espace vectoriel de constitué des fonctions polynomiales de degré inférieur ou égal à et telles que .
Pour tout entier naturel et pour tout réel on pose .
  1. Montrer que est une base de .
On considère l'application linéaire de dans qui, à toute fonction de associe sa dérivée seconde, notée .
2) a. Pour tout de , déterminer en fonction de certains des vecteurs de , puis en déduire la matrice de relativement aux bases et .
b. En déduire que est un isomorphisme de sur .
c. Simplifier, pour tout réel et pour tout entier naturel , la somme .
d. Justifier que le résultat de la quatrième question de la partie 1 peut s'appliquer ici, puis déterminer, en utilisant le résultat de la question 2c), la matrice .
e. Vérifier cette dernière, dans le cas où (les calculs devront figurer sur la copie).
3) On considère l'application qui à tout élément de associe , où est la dérivée seconde de l'application qui à tout réel associe .
a. Montrer que est un endomorphisme de .
b. Pour tout de , déterminer .
c. En déduire que la matrice de dans n'est autre que la matrice de la question 2a).
d. L'endomorphisme est-il diagonalisable ? Est-ce un automorphisme de ?
e. Dans le cas , déterminer les sous-espaces propres de .

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