BCE Maths approfondies ESSEC ECS 2006Sujet et corrigé

Epreuve de maths approfondies - ECS 2006

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Annale de maths approfondies BCE ESSEC pour la filiere ECS, session 2006.

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281
CONCOURS D'ADMISSION DE 2006
ESSECM1_S

Option scientifique

MATHEMATIQUES I

Lundi 15 mai 2006 de 8h à 12h

La présentation, la lisibilité, l'orthographe, la qualité de la rédaction, la clarté des raisonnements entreront pour une part importante dans l'appréciation des copies.
Les candidats sont invités à encadrer dans la mesure du possible les résultats de leurs calculs.
Ils ne doivent faire usage d'aucun document ; l'utilisation de toute calculatrice et de tout matériel électronique est interdite. Seule l'utilisation d'une règle graduée est autorisée.

Dans tout ce problème, la lettre

n

désigne un entier supérieur ou égal à 2 et on note

[ [1, n] ]

l'ensemble

{1, 2, \dots, n}

.
On rappelle qu'une permutation de

[ [1, n] ]

est une bijection de

[ [1, n] ]

sur lui-même.
Par ailleurs, on note :

$𝔖_n$ l'ensemble des permutations de $[ [1, n] ]$ ;
$M_n(ℝ)$ l'espace vectoriel des matrices carrées d'ordre $n$ à coefficients réels ;
$M_(p, q)(ℝ)$ l'espace vectoriel des matrices à $p$ lignes, $q$ colonnes à coefficients réels ;
$m_(i, j)$ l'élément générique d'une matrice $M$ , c'est-à-dire le réel situé à l'intersection de la $è i^(ème)$ ligne et de la $è j^(ème)$ colonne de $M$ ;
$^t M$ la transposée d'une matrice $M$ .

Lorsque

σ

appartient à

𝔖_n

, on appelle matrice de la permutation

σ

la matrice de

M_n(ℝ)

notée

P_σ

dont le terme générique

p_(i, j)

vérifie :

\forall(i, j) \in [ [1, n] ]^2 p_(i, j) = 1

σ(i) = j

p_(i, j) = 0

sinon.
Par exemple, pour

n = 3

σ \in S_3

définie par

σ(1) = 2, σ(2) = 3, σ(3) = 1, P_σ = (0, 1, 0; 0, 0, 1; 1, 0, 0)

On s'intéresse dans un premier temps à l'ensemble

E_n

des matrices

M

appartenant à

M_n(ℝ)

vérifiant la propriété suivante :

\foralli \in [ [1, n] ], \forallj \in [ [1, n] ] \sum_(k = 1)^n m_(i, k) = \sum_(k = 1)^n m_(k, j)

.
Dans ce cas, leur valeur commune sera notée

ω(M)

PARTIE I : Etude de l'ensemble $E_n$

On note

J

la matrice d'ordre

n

dont tous les coefficients sont égaux à 1 c'est-à-dire égale à

(1, \dots, 1; ⋮, ⋱, ⋮; 1, \dots, 1)

U

la matrice colonne à

n

lignes égale à

(1; ⋮; 1)

Généralités.
a) Montrer que $E_n$ est un sous espace vectoriel de $M_n(ℝ)$ et que l'application $ω : E_n \to ℝ M \mapsto ω(M)$ en est une forme linéaire.
b) Lorsque $M \in M_n(ℝ)$ , établir que : $M \in E_n$ si et seulement si $U$ est vecteur propre commun à $M$ et $^t M$ associé à une même valeur propre.
c) Vérifier que $E_n$ est stable pour le produit matriciel et préciser $ω(MN)$ en fonction de $ω(M)$ et $ω(N)$ lorsque $M$ et $N$ appartiennent à $E_n$ .
Dimension de $E_n$ .
a) Montrer que le noyau de $ω$ et la droite vectorielle engendrée par $J$ sont supplémentaires dans $E_n$ .
b) Pour $(r, s) \in [ [2, n] ]^2$ , on note $A_(r, s)$ la matrice de $E_n$ dont tous les éléments sont nuls sauf les quatre éléments : $a_(1, 1), a_(r, s), a_(1, s), a_(r, 1)$ qui sont tels que : $a_(1, 1) = a_(r, s) = 1$ et $a_(1, s) = a_(r, 1) = - 1$ . Montrer que la famille $(A_(r, s))_((r, s) \in [ [2, n] ]^2)$ est libre puis qu'elle est génératrice du noyau de $ω$ . En déduire la dimension de $E_n$ .
Une famille génératrice de $E_n$ .
a) Établir que pour toute permutation $σ$ de $[ [1, n] ]$ , la matrice $P_σ$ appartient à $E_n$ et que les matrices $P_σ$ sont les seules matrices $M$ de $E_n$ telles que $ω(M) = 1$ n'admettant qu'un seul élément non nul par ligne et par colonne.
b) Écrire la matrice $P_σ$ correspondant à la permutation $σ$ de $𝔖_n$ définie par :

\forallk \in [ [1, n - 1] ] σ(k) = k + 1 et σ(n) = 1

Préciser les matrices :

(P_σ)^2, (P_σ)^3, \dots, (P_σ)^n

.
c) Exprimer

J

comme combinaison linéaire de matrices de permutations . Faire de même avec chaque matrice du type

A_(r, s)

quand

(r, s) \in [ [2, n] ]^2

: on pourra se limiter aux matrices

A_(2, 2)

A_(3, 2)

(si

n \geq 3

) et donner une décomposition explicite de ces deux matrices en combinaison linéaire de matrices de permutations.
d) Prouver qu'il existe

(n - 1)^2 + 1

permutations

σ_1, σ_2, \dots, σ_((n - 1)^2 + 1)

[ [1, n] ]

telles que

(P_(σ_1), P_(σ_2), \dots, P_(σ_((n - 1)^2 + 1)))

soit une base de

E_n

.
Que représente la somme des composantes d'une matrice

M

E_n

relativement à cette base ?

Les deux parties suivantes du problème sont indépendantes de la partie I

On s'intéresse dans toute la suite du problème à l'ensemble des matrices

M

E_n

dont tous les éléments

m_(i, j)

sont positifs ou nuls. On note

E_n^+

cet ensemble.

PARTIE II: Etude de l'ensemble $E_n^+$

Montrer que $E_n^+$ est stable pour le produit matriciel et que pour toute famille ( $σ_1, σ_2, \dots, σ_p$ ) de permutations de $[ [1, n] ]$ et toute famille $(α_1, α_2, \dots, α_p)$ de réels positifs ou nuls $\sum_(k = 1)^p α_k P_(σ_k) \in E_n^+$

Dans cette partie, on admettra que:

∀M ∈ E_n^+∖{0} ∃σ ∈ 𝔖_n telle que m_(1, σ(1))m_(2σ(2)), m_(n, σ(n)) > 0

a) On suppose que $σ$ est une telle permutation associée à $M ∈ E_n^+∖{0}$ et on désigne par

c = min{m_(1, σ(1)), m_(2, σ(2)), …, m_(n, σ(n))}. Montrer que : M − cP_σ ∈ E_n^+

b) En déduire que pour toute matrice

M

E_n^+∖{0}

, il existe

p \in ℕ^*, p

permutations

σ_1, σ_2, \dots, σ_p

[ [1, n] ]

p

réels

α_1, α_2, \dots, α_p

strictement positifs tels que :

M = \sum_(k = 1)^p α_k P_(σ_k)

c) Montrer qu'une matrice de

E_n^+

possédant au moins

n^2 - n + 1

termes nuls est nulle ; en déduire que :

1 ⩽ p ⩽ n^2 - n + 1

.
d) Exemple : lorsque

M = (3, 1, 2; 3, 1, 2; 0, 4, 2)

, exprimer

M

comme combinaison linéaire à scalaires strictement positifs de matrices de permutations de

[ [1, 3] ]

.
3) Une application : L'espace vectoriel

ℝ^n

est muni de sa structure euclidienne canonique et on note

⟨x|y⟩

le produit scalaire de deux vecteurs

x

y

ℝ^n

On désigne par

(u_1, u_2, \dots., u_n)

(v_1, v_2, \dots, v_n)

deux bases orthonormales de

ℝ^n_(..)

a) Vérifier que la matrice

M_(u, v) = (⟨v_i|u_j⟩^2)

appartient à

E_n^+

et donner la valeur de

ω(M_(u, v))

. Lorsque

σ

est une permutation de

[ [1, n] ]

, préciser

M_(u, v)

dans le cas où

(v_1, v_2, \dots, v_n) = (u_(σ(1)), u_(σ(2)), \dots, u_(σ(n)))

.
b) On introduit l'endomorphisme symétrique

s

ℝ^n

dont

(u_1, u_2, \dots, u_n)

est une base orthonormale de diagonalisation et de valeurs propres respectivement associées

λ_1, λ_2, \dots, λ_n

.
On note

Λ

la matrice colonne

(λ_1; ⋮; λ_n)

Montrer l'égalité matricielle :

(⟨s(v_1)|v_1⟩; ⋮; ⟨s(v_n)|v_n⟩) = M_(u, v)Λ

.
c) En utilisant la question II 2) b), établir que pour toute forme linéaire

f

M_(n, 1)(ℝ)

, il existe deux permutations

σ

σ^'

[ [1, n] ]

vérifiant :

f(P_σ Λ) ⩽ f(M_(u, v)Λ) ⩽ f(P_(σ^')Λ)

.
d) On suppose que :

λ_1 ⩽ λ_2 ⩽ \dots ⩽ λ_n

r \in [ [1, n] ]

Trouver une forme linéaire

f

permettant d'en déduire les inégalités :

\sum_(k = 1)^r λ_k ⩽ \sum_(k = 1)^r⟨s(v_k)|v_k⟩ ⩽ \sum_(k = 1)^r λ_(n - r + k)

Que représente le terme

⟨s(v_k)|v_k⟩

dans la matrice de

s

relativement à la base

(v_1, v_2, \dots, v_n)

et pouvez- vous donner une interprétation matricielle des inégalités obtenues ci- dessus ?

PARTIE III

L'objet de cette dernière partie est la justification du résultat admis dans la partie II 1). Lorsque

(p, q) \in [ [1, n] ]^2

, on appelle sous-matrice de type

(p, q)

de la matrice

M

appartenant à

M_n(ℝ)

toute matrice extraite de

M

en supprimant de

Mn - p

lignes et

n - q

colonnes.

Lorsque $σ$ est une permutation de $[ [1, n] ]$ et $M$ un élément de $M_n(ℝ)$ , expliciter le terme générique des matrices $P_σ M$ et $MP_(σ^(- 1))$ . Comment obtient-on ces deux matrices à partir de $M$ ?
On suppose que $M$ appartient à $M_n(ℝ)$ et qu'elle contient une sous-matrice nulle de type ( $p, q$ ).
a) Montrer que : $\existsσ, σ^'$ deux permutations de $[ [1, n] ]$ telles que $P_σ MP_(σ^') = (X, 0; Z, Y)$ avec

X \in M_(p, n - q)(ℝ), Z \in M_(n - p, n - q)(ℝ) et Y \in M_(n - p, q)(ℝ)

b) En déduire que si

M

appartient à

E_n^+∖{0}

, on a

p + q ⩽ n

.
3) On désire établir la propriété

(P_n)

suivante : si

M

appartient à

M_n(ℝ)

et vérifie l'hypothèse

(H_n) : \forallσ \in 𝔖_n m_(1, σ(1))m_(2, σ(2))\dotsm_(n, σ(n)) = 0

, alors

M

contient au moins une sous- matrice nulle de type (

p, q

) avec

p + q = n + 1

.
a) Le vérifier pour

n = 2

.
b) n étant supérieur ou égal à 3 , on suppose que la propriété

(P_k)

est vérifiée pour tout

k \in [ [2, n - 1] ]

. On désigne par

M

une matrice appartenant à

M_n(ℝ)

et vérifiant (

H_n

Établir que $M$ contient une sous-matrice de type $(n - 1, n - 1)$ vérifiant $(H_(n - 1))$ .
En déduire que : $\existsτ, τ^' \in 𝔖_n, \existsp, q/p + q = n$ tels que $P_τ MP_(τ^') = (X, 0; Z, Y)$ avec

X \in M_p(ℝ), Z \in M_(q, p)(ℝ) et Y \in M_q(ℝ).

Montrer que $X$ vérifie $(H_p)$ ou $Y$ vérifie $(H_q)$ .
En déduire alors que $M$ contient une sous-matrice nulle de type ( $p^', q^'$ ) telle que $p^' + q^' = n + 1$ et conclure.

Montrer alors, à l'aide de 2) b) que : $∀M ∈ E_n^+∖{0} ∃σ ∈ 𝔖_n$ telle que $m_(1, σ(1))m_(2, σ(2))\dotsm_(n, σ(n)) > 0$ .

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MATHEMATIQUES I

PARTIE I : Etude de l'ensemble E_n

Les deux parties suivantes du problème sont indépendantes de la partie I

PARTIE II: Etude de l'ensemble E_n^+

Dans cette partie, on admettra que:

PARTIE III

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PARTIE I : Etude de l'ensemble $E_n$

PARTIE II: Etude de l'ensemble $E_n^+$