BCE Maths approfondies ESSEC ECS 2008Sujet et corrigé

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ESSECM1_S

Mardi 13 mai 2008 de 8 h à 12 h

La présentation, la lisibilité, l'orthographe, la qualité de la rédaction, la clarté des raisonnements entreront pour une part importante dans l'appréciation des copies.
Les candidats sont invités à encadrer dans la mesure du possible les résultats de leurs calculs.
Ils ne doivent faire usage d'aucun document ; l'utilisation de toute calculatrice et de tout matériel électronique est interdite.
Seule l'utilisation d'une règle graduée est autorisée.
Si au cours de l'épreuve, un candidat repère ce qui lui semble être une erreur d'énoncé, il le signalera sur sa copie et poursuivra sa composition en expliquant les raisons des initiatives qu'il sera amené à prendre.

L'objet du problème est l'étude d'une famille de fonctions polynomiales appelées fonctions polynômes de Newton. La première partie les introduit de manière algébrique. La deuxième partie, tout en étant liée à la première, développe des thèmes relevant de l'analyse.

Dans toute cette partie, on notera 𝒫 l'ensemble des fonctions polynomiales allant de ℝ dans ℝ et lorsque r est un entier naturel, on désignera par 𝒫_r l'ensemble des fonctions polynomiales allant de ℝ dans ℝ de degré inférieur ou égal à r.

Etant donné Q appartenant à 𝒫, on se propose de déterminer toutes les fonctions polynomiales P vérifiant : ∀x ∈ ℝ, P(x + 1) − P(x) = Q(x).

A cet effet, on introduit l'application Δ de 𝒫 dans lui-même définie lorsque P ∈ 𝒫 par la relation ∀x ∈ ℝ, Δ(P)(x) = P(x + 1) − P(x).
1^∘ ) a) Montrer que Δ est un endomorphisme de 𝒫.
b) Pour P ∈ 𝒫 de degré r strictement positif, calculer le degré de la fonction polynomiale Δ(P).
c) Montrer alors que le noyau de Δ est l'ensemble des fonctions polynomiales constantes.
2^∘ ) On considère pour r ∈ ℕ^∗ l'application Δ_r : 𝒫_r → 𝒫_r; P ↦ Δ_r(P) = Δ(P).
a) Justifier la définition de Δ_r et montrer que Δ_r est linéaire.
b) Quel est le noyau de Δ_r ?
c) Montrer alors que ImΔ_r = 𝒫_(r − 1).
d) En déduire que l'application Δ est surjective.
3^∘ ) On désigne par E le sous-espace vectoriel de 𝒫 constitué par les fonctions polynomiales s'annulant en 0 . Montrer que la restriction de Δ à E est un isomorphisme de E sur 𝒫.
4^∘ ) a) Déduire de la question précédente qu'il existe une suite et une seule d'éléments de 𝒫 vérifiant: N_0 = 1 et ∀n ∈ ℕ^∗, Δ(N_n) = N_(n − 1) et N_n(0) = 0.
( N_n s'appelle fonction polynomiale de Newton d'indice n .)
b) Vérifier que pour tout entier naturel n non nul et tout x réel :

c) Montrer que, pour r ∈ ℕ, la famille (N_n)_(n ∈ [ [0, r] ]) forme une base de 𝒫_r. En déduire que la famille (N_n)_(n ∈ ℕ) forme une base de 𝒫.
d) On adopte la notation usuelle : Δ^0 = Id_𝒢 et ∀n ∈ ℕ^∗, Δ^n = Δ ∘ Δ^(n − 1).

Prouver que pour toute fonction polynomiale Q de degré r : Q = ∑_(n = 0)^r Δ^n(Q)(0)N_n. Justifier ensuite l'écriture Q = ∑_(n = 0)^(+ ∞)Δ^n(Q)(0)N_n.
e) La fonction polynomiale Q étant ainsi décomposée, déterminer les fonctions polynomiales P vérifiant la relation ∀x ∈ ℝ, P(x + 1) − P(x) = Q(x).
f) Application : en déduire, pour n ∈ ℕ, une expression simple de ∑_(k = 0)^n Q(k) faisant intervenir P. Calculer ∑_(k = 0)^n k^2.
5^∘ ) Etablir, pour toute fonction polynomiale Q , pour tout entier naturel n et tout réel x , la relation : Δ^n(Q)(x) = ∑_(i = 0)^n(− 1)^(n − i)(n/i)Q(x + i).
6^∘ ) Dans toute cette question, on suppose que r ∈ ℕ^∗.
a) On désigne par C(Δ_r) le commutant de Δ_r dans l'ensemble 𝔏(𝒫_r) des endomorphismes de 𝒫_r, c'est à dire C(Δ_r) = {g ∈ 𝔏(𝒫_r)|g ∘ Δ_r = Δ_r ∘ g}.
i. Pour g et h appartenant à C(Δ_r), montrer que, si g(N_r) = h(N_r), alors g = h.
ii. Soit g un endomorphisme de 𝒫_r. Justifier l'existence de a_0, a_1, …, a_r réels tels que:

iii. En déduire que C(Δ_r) est de dimension r + 1 et qu'il admet pour base :

iv. On introduit l'endomorphisme d de 𝒫 qui à une fonction polynomiale P associe sa fonction dérivée P^′. Montrer que d ∘ Δ = Δ ∘ d. En supposant qu'il existe a_0, a_1, …, a_r réels tels que d = a_0 I_𝒮 + a_1(Δ)^1 + … + a_r(Δ)^r, calculer d(N_(r + 1)). Conclure à une contradiction.
b) Préciser la matrice de Δ_r dans la base (N_n)_(n ∈ [ [0, r] ]). Montrer que (Δ_r)^(r + 1) = 0. L'endomorphisme Δ_r est-il diagonalisable ?
c) Existe-t-il des endomorphismes g de 𝒫_r tels que g ∘ g = Δ_r ?

On note toujours (N_n)_(n ∈ N) la suite de fonctions définie pour tout x réel par : N_0(x) = 1 et pour tout entier naturel n non nul N_n(x) = (x(x − 1)…(x − n + 1))/(n!).
1^∘ ) recherche d'un équivalent de |N_n(x)| lorsque n → + ∞ :
On fixe x un réel non égal à un entier naturel.
Pour t réel, on considère la suite (u_n)_(n ∈ ℕ) définie par u_n = n^t|N_n(x)|.
a) Préciser, selon le réel t, la nature de la série de terme général v_n = ln((u_(n + 1))/(u_n)).
b) Que conclure pour la suite (u_n)_(n ∈ N) ?

En déduire qu'il existe un réel strictement positif noté C(x) tel que |N_n(x)| ∼ _(n → + ∞)(C(x))/(n^(x + 1)).

On considère une application f de [0, + ∞[ à valeurs dans ℝ.
A cette application, on associe la suite (a_n)_(n ∈ N) définie par : a_n = ∑_(i = 0)^n(− 1)^(n − i)(n/i)f(i).
a) Soit b > 0, préciser la suite (a_n)_(n ∈ N) lorsque f est l'application x ↦ b^x.
b) Pour n entier naturel, on note Q la fonction polynomiale ∑_(k = 0)^n a_k N_k.

Justifier que ∀k ∈ [ [0, n] ], a_k = Δ^k(Q)(0).
Montrer alors que la fonction x ↦ f(x) − Q(x) = f(x) − ∑_(k = 0)^n a_k N_k(x) s'annule en 0, 1, …n.
c) On suppose de plus que f est indéfiniment dérivable sur [0, + ∞[. Montrer que, pour tout entier naturel n et pour tout x réel positif, il existe un réel θ tel que :

Indication : on pourra utiliser, lorsque x ∉ [ [0, n] ], la fonction auxiliaire
φ : t ↦ f(t) − ∑_(k = 0)^n a_k N_k(t) − N_(n + 1)(t)A, avec A un réel choisi tel que φ(x) = 0 et appliquer plusieurs fois le théorème de Rolle.
d) On note toujours f une fonction indéfiniment dérivable sur ℝ_+et vérifiant la propriété suivante :
il existe une constante M strictement positive telle que ∀x ∈ ℝ_+, ∀n ∈ ℕ^∗, (|f^((n))(x)|)/n ≤ M.
Montrer que : ∀x ≥ 0, f(x) = ∑_(k = 0)^(+ ∞)a_k N_k(x).
En déduire que si une telle fonction s'annule sur ℕ, c'est la fonction nulle.
3^∘ ) Etude de la série ∑_(n ∈ N)h^n N_n(x) avec h réel:
a) Lorsque |h| > 1, montrer que la série de terme général h^n N_n(x) est divergente pour tout x réel, non égal à un entier naturel.
b) On suppose que |h| < 1.
i. Montrer que la série de terme général h^n N_n(x) est absolument convergente pour tout x réel.
ii. En utilisant la formule de Taylor avec reste intégral, montrer que pour tout n entier naturel et tout x réel :
(1 + h)^x − ∑_(k = 0)^n h^k N_k(x) = (n + 1)N_(n + 1)(x)∫_0^h((h − u)/(1 + u))^n(1 + u)^(x − 1) du, puis établir que la suite (1/(|h|^n)∫_0^h((h − u)/(1 + u))^n(1 + u)^(x − 1)du)_(n ∈ ℕ) est bornée.
iii. En déduire ∑_(n = 0)^(+ ∞)h^n N_n(x).
c) On suppose que h = 1.
i. Montrer que la série de terme général N_n(x) est divergente pour x ≤ − 1.
ii. En reprenant la méthode préconisée au II.3.b), établir que la série ∑_(n ∈ N)N_n(x) est convergente pour x > − 1 et que : ∀x > − 1, ∑_(n = 0)^(+ ∞)N_n(x) = 2^x.
d) On suppose que h = − 1.
i. Préciser les réels x pour lesquels la série de terme général (− 1)^n N_n(x) est absolument convergente. Pour quelles valeurs de x est-elle convergente ?
ii. Justifier pour tout x réel et tout entier naturel n strictement positif la formule :

iii. En déduire ∑_(n = 0)^(+ ∞)(− 1)^n N_n(x) lorsque x ≥ 0.