BCE Maths approfondies HEC ECS 2008Sujet et corrigé

Epreuve de maths approfondies - ECS 2008

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Annale de maths approfondies BCE HEC pour la filiere ECS, session 2008.

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BANQUE COMMUNE D'EPREUVES

CODE EPREUVE :
280
HEC_M1_S

Concepteur : H.E.C.

OPTION SCIENTIFIQUE

MATHEMATIQUES I

Mercredi 30 avril 2008, de 8 h. à 12 h.

La présentation, la lisibilité, l'orthographe, la qualité de la rédaction, la clarté et la précision des raisonnements entreront pour une part importante dans l'appréciation des copies.
Les candidats sont invités à encadrer dans la mesure du possible les résultats de leurs calculs.
Ils ne doivent faire usage d'aucun document : l'utilisation de toute calculatrice et de tout matériel électronique est interdite.
Seule l'utilisation d'une règle graduée est autorisée.

Dans tout le problème,

n

p

désignent deux entiers vérifiant

1 ⩽ p ⩽ n

. On note

M_(n, p)(ℝ)

l'espace vectoriel des matrices à

n

lignes et

p

colonnes, à coefficients réels. La transposée d'une matrice

A

M_(n, p)(ℝ)

est notée

^t A

. Lorsqu'une matrice

A

est inversible, on note

A^(- 1)

son inverse.
Dans tout le problème, on identifie les deux espaces vectoriels

M_(n, 1)(ℝ)

(respectivement

M_(p, 1)(ℝ)

) et

ℝ^n

(resp.

ℝ^p

), c'est-à-dire qu'on identifie un vecteur (point) de

ℝ^n

(resp.

ℝ^p

) avec le vecteur-colonne de ses coordonnées dans la base canonique de

ℝ^n

(resp.

ℝ^p

).
On munit

ℝ^n

(resp.

ℝ^p

) de sa structure euclidienne canonique, et pour tous vecteurs

u

v

ℝ^n

(resp.

ℝ^p

), on note

⟨u, v⟩ = ^t uv

leur produit scalaire, et

‖u‖

la norme de

u

associée.

Pour tout

i

[ [1, n] ]

, on note

f_i

une fonction définie sur

ℝ^p

à valeurs réelles, et de classe

C^2

sur

ℝ^p

. Soit

F

la fonction définie sur

ℝ^p

, à valeurs réelles, par :

F(x_1, x_2, \dots, x_p) = 1/2\sum_(i = 1)^n[f_i(x_1, x_2, \dots, x_p)]^2

.
Autrement dit, si

X = (x_1, \dots, x_p)

est un point de

ℝ^p

, on a :

F(X) = 1/2\sum_(i = 1)^n f_i^2(X) = 1/2‖f(X)‖^2

, en notant

f(X)

le vecteur

(f_1(X), \dots, f_n(X))

Le problème a pour objet l'étude de quelques aspects mathématiques liés à la recherche du minimum de la fonction

F

Partie I. Gradient et hessienne

Pour tout point

X = (x_1, x_2, \dots, x_p)

ℝ^p

, on rappelle que:

le gradient de $F$ au point $X$ , noté $\nablaF(X)$ , est le vecteur de $ℝ^p$ suivant :

\nablaF(X) = ((\partialF)/(\partialx_1)(X), \dots, (\partialF)/(\partialx_p)(X))

la matrice hessienne de $F$ au point $X$ , notée $\nabla^2 F(X)$ , est la matrice symétrique de $M_p(ℝ)$ suivante :

\nabla^2 F(X) = ((\partial^2 F)/(\partialx_k\partialx_j)(X))_(1 ⩽ k, j ⩽ p)

Pour tout point

X = (x_1, \dots, x_p)

ℝ^p

, on note

J(X)

la matrice de

M_(n, p)(ℝ)

définie par :

J(X) = ((\partialf_i)/(\partialx_j)(X))_(1 ⩽ i ⩽ n; 1 ⩽ j ⩽ ν)

dans laquelle

i

désigne l'indice de ligne et

j

l'indice de colonne. On pose :

G(X) = ^t J(X)J(X)

.
Si

X

est un point de

ℝ^p

vérifiant

\nablaF(X) \neq 0

, on dit qu'un vecteur

h

ℝ^p

est une direction de décroissance de

F

X

, si on a :

⟨\nablaF(X), h⟩ < 0

.
Dans les trois exemples suivants, on suppose que

p

est égal à 2 .

Un premier exemple.

On considère les deux fonctions

f_1

f_2

définies sur

ℝ^2

par:

f_1(x_1, x_2) = x_1^2 + x_2 + 1

, et

f_2(x_1, x_2) = x_1 + x_2^2 + 1

.
a) Justifier que

F

est de classe

C^2

sur

ℝ^2

. Calculer, en tout point

(x_1, x_2)

ℝ^2

, le gradient

\nablaF(x_1, x_2)

.
b) Montrer que le système d'équations qui permet de déterminer les éventuels points critiques de

F

, peut se mettre sous la forme suivante:

{2x_1^3 + 2x_1 x_2 + 3x_1 + x_2^2 + 1 = 0; (x_1 − x_2)(2x_1^2 + 2x_1 x_2 + 2x_2^2 − x_1 − x_2 + 3) = 0

c) Établir, pour tout

(x_1, x_2)

ℝ^2

, l'inégalité :

2x_1^2 + 2x_1 x_2 + 2x_2^2 - x_1 - x_2 + 3 > 0

. En déduire que l'unique point critique de

F

est (

- 1/2, - 1/2

).
d) Déterminer, en tout point (

x_1, x_2

) de

ℝ^2

, la matrice hessienne

\nabla^2 F(x_1, x_2)

. En déduire que

F

admet un minimum local en

(- 1/2, - 1/2)

.
e) On note pour tout point

X

ℝ^2, \nabla^2 f_1(X)

\nabla^2 f_2(X)

respectivement, les matrices hessiennes de

f_1

f_2

au point

X

. Préciser la matrice

J(X)

. Exprimer

^t J(X)f(X)

G(X) + \sum_(i = 1)^2 f_i(X)\nabla^2 f_i(X)

en fonction de

\nablaF(X)

\nabla^2 F(X)

respectivement.
2. Un deuxième exemple.

Soit

a = (a_1, \dots, a_n), b = (b_1, \dots, b_n)

c = (c_1, \dots, c_n)

trois vecteurs non nuls donnés de

ℝ^n

, tels que la famille (

a, b

) soit libre.
Pour tout

i

[ [1, n] ]

, la fonction

f_i

est définie sur

ℝ^2

par:

f_i(x_1, x_2) = a_i x_1 + b_i x_2 - c_i

.
a) Exprimer, pour tout point (

x_1, x_2

) de

ℝ^2

, le gradient

\nablaF(x_1, x_2)

à l'aide de

x_1, x_2, ‖a‖, ‖b‖, ⟨a, b⟩, (a, c⟩

⟨b, c⟩

.
b) Justifier l'inégalité :

‖a‖^2 \times ‖b‖^2 - ⟨a, b⟩^2 > 0

. En déduire que la fonction

F

possède un unique point critique

(x_1 ˆ, x_2 ˆ)

.
Exprimer

x_1 ˆ

x_2 ˆ

en fonction de

‖a‖, ‖b‖, ⟨a, b⟩, ⟨a, c⟩

⟨b, c⟩

.
c) Calculer, en tout point

(x_1, x_2)

ℝ^2

, la matrice hessienne

\nabla^2 F(x_1, x_2)

; en déduire que

F

admet un minimum local en

(x_1 ˆ, x_2 ˆ)

.
d) En utilisant la structure euclidienne de

ℝ^n

, montrer que

F

admet un minimum global en (

x_1 ˆ, x_2 ˆ

).
3. Un troisième exemple.

On suppose que

c_1, c_2, \dots, c_n

sont

n

réels donnés non tous égaux. On note

c¯

s^2

respectivement, la moyenne arithmétique et la variance de la série statistique

(c_i)_(1 ⩽ i ⩽ n)

.
Pour tout

i

[ [1, n] ]

, la fonction

f_i

est définie sur

ℝ^2

par :

f_i(x_1, x_2) = x_1 + x_2 - c_i

.
a) Déterminer les points critiques de

F

.
b) Soit (

x_1 ˆ, x_2 ˆ

) un point critique de

F

. Exprimer

F(x_1 ˆ, x_2 ˆ)

en fonction de

s^2

. Montrer, pour tout (

x_1, x_2

) de

ℝ^2

, l'égalité :

F(x_1, x_2) - F(x_1 ˆ, x_2 ˆ) = n/2(x_1 + x_2 - c¯)^2

.
c) En déduire la nature des points critiques de

F

. Ce résultat était-il prévisible?
4. Retour au cas général.

Soit

X = (x_1, \dots, x_p)

un point de

ℝ^p

.
a) Exprimer

\nablaF(X)

en fonction de

^t J(X)

et de

f(X)

.
b) Pour tout

i

[ [1, n] ]

, on note

\nabla^2 f_i(X)

la matrice hessienne de

f_i

au point

X

Établir la formule :

\nabla^2 F(X) = G(X) + \sum_(i = 1)^n f_i(X)\nabla^2 f_i(X)

Partie II. Une approximation de $F$

Dans cette partie, on conserve les définitions et les notations de la partie I , et on suppose que

X

est un vecteur fixé de

ℝ^p

vérifiant :

\nablaF(X) \neq 0

.
Pour tout vecteur

h = (h_1, h_2, \dots, h_p)

ℝ^p

, on pose:

ℓ(h) = f(X) + J(X)h

L(h) = 1/2‖ℓ(h)‖^2

Établir, pour tout $h$ de $ℝ^p$ , l'égalité : $L(h) = F(X) + ^t h\nablaF(X) + 1/2thG(X)h$ .
Soit $P$ une matrice symétrique de $M_p(ℝ)$ .
a) Justifier que $P$ est diagonalisable.
b) On note $θ_1, \dots, θ_p$ les valeurs propres de $P$ , et on pose : $θ = max_(1 ⩽ j ⩽ p)|θ_j|$ . Montrer, pour tout vecteur $h$ de $ℝ^p$ , l'inégalité suivante : $|^t hPh| ⩽ θ‖h‖^2$ .
a) Écrire un développement limité à l'ordre 2 de la fonction $F$ au point $X$ .
b) En déduire, à l'aide de la question 2.b, que l'on a : $lim_(‖h‖ \to 0)(F(X + h) - L(h))/(‖h‖) = 0$ .

Pour

X

fixé de

ℝ^p

, on dit que

L(h)

est une approximation à l'ordre 2 de

F(X + h)

lorsque

‖h‖

tend vers 0 .
4. On note :

G(X) = (g_(i, j)(X))_(1 ⩽ i, j ⩽ p)

. Soit

φ_1

φ_2

deux fonctions définies sur

ℝ^p

par :

φ_1(h) = ^t h\nablaF(X)

φ_2(h) = ^t hG(X)h

.
a) Montrer que pour tout

j

[ [1, p] ]

, on a :

(\partialφ_1)/(\partialh_j)(h) = (\partialF)/(\partialx_j)(X)

(\partialφ_2)/(\partialh_j)(h) = 2\sum_(i = 1)^p g_(i, j)(X)h_i

.
b) En déduire que le gradient

\nablaL(h)

L

h

, est donné par :

\nablaL(h) = \nablaF(X) + G(X)h

.
c) Soit

\nabla^2 L(h)

la matrice hessienne de

L

h

. Établir la formule :

\nabla^2 L(h) = G(X)

.
5. Soit

J

une matrice de

M_(n, p)(ℝ)

.
a) Montrer que la matrice

^t JJ

est diagonalisable et que ses valeurs propres sont positives ou nulles.
b) Montrer que lorsque la matrice

^t JJ

est inversible, le rang de la matrice

J

est égal à

p

.
6. Montrer que si la fonction

L

admet des points critiques

hˆ

, alors ceux-ci vérifient l'inéquation :

⟨hˆ, \nablaF(X)⟩ ⩽ 0

.
7. On suppose que la matrice

G(X)

est inversible.
a) Montrer que

L

admet un unique point critique

hˆ

donné par :

hˆ = - (G(X))^(- 1) \times ^t J(X)f(X)

.
b) Établir que

hˆ

est une direction de décroissance de

F

X

. En déduire que

L

admet un minimum local en

hˆ

Partie III. Une décomposition d'une matrice rectangulaire

Afin de réduire les inconvénients liés à l'inversion de la matrice

G(X)

, on remplace celle-ci par la matrice

G(X) + μI

, où

μ

désigne un paramètre réel strictement positif, et

I

la matrice identité d'ordre

p

. Certains résultats d'algèbre linéaire permettent alors de substituer à l'inversion d'une matrice, le calcul plus simple d'une somme de matrices.

Soit

J

une matrice non nulle de

M_(n, p)(ℝ)

Montrer qu'il existe une matrice $V$ orthogonale de $M_p(ℝ)$ , un entier $q$ tel que $1 ⩽ q ⩽ p$ , et des réels $λ_1, λ_2, \dots, λ_q$ tels que $λ_1 ⩾ λ_2 ⩾ \dots ⩾ λ_q > 0$ , qui vérifient l'égalité : $^t V^t JJV = D$ , où $D = (d_(i, j))_(1 ⩽ i, j ⩽ p)$ est définie par : $d_(i, i) = λ_i$ si $1 ⩽ i ⩽ q$ , et $d_(i, j) = 0$ sinon. Si $q < p$ , on pose : $λ_(q + 1) = \dots = λ_p = 0$ .
Pour tout $i$ de $[ [1, p] ]$ , on note $V_i$ la $i$ -ième colonne de $V$ .
a) Montrer que le rang de $^t JJ$ est égal à $q$ .
b) Montrer que, pour tout $i$ de $[ [1, q] ], JV_i$ est un vecteur propre de la matrice $J^t J$ associé à la valeur propre $λ_i$ . En déduire que les matrices $^t JJ$ et $J^t J$ ont les mêmes valeurs propres non nulles.
c) Soit $(Y_1, \dots, Y_r)$ une base du sous-espace propre de $^t JJ$ associée à une valeur propre $λ$ non nulle. Montrer que la famille ( $JY_1, \dots, JY_r$ ) est une famille libre de $M_(n, 1)(ℝ)$ .
d) En déduire que les sous-espaces propres de $^t JJ$ et de $J^t J$ associés à la même valeur propre non nulle sont de même dimension, et que le rang de $J^t J$ est égal à $q$ .
On pose, pour tout $i$ de $[ [1, q] ] : U_i = 1/(\sqrt(λ_i))JV_i$ .
a) Montrer que la famille $(U_1, \dots, U_q)$ est une famille orthonormée de vecteurs propres de $J^t J$ .
b) En déduire qu'il existe une base orthonormée $(U_1, \dots, U_q, U_(q + 1), \dots, U_n)$ de $M_(n, 1)(ℝ)$ , formée de vecteurs propres de $J^t J$ .
On note $U$ la matrice de $M_n(ℝ)$ telle que, pour tout $i$ de $[ [1, n] ]$ , la $i$ -ième colonne de $U$ est la matrice-colonne $U_i$ de $M_(n, 1)(ℝ)$ .
Soit $S = (s_(i, j))_(1 ⩽ i ⩽ n; 1 ⩽ j ⩽ p)$ la matrice de $M_(n, p)(ℝ)$ définie par : $s_(i, i) = \sqrt(λ_i)$ si $1 ⩽ i ⩽ p$ et $s_(i, j) = 0$ sinon.
Établir l'égalité matricielle suivante : $S = ℧JV$ . En déduire l'égalité : $J = US^t V$ .
a) Montrer que la matrice $(^t JJ + μI)$ est inversible.
b) On note $R = (r_(i, j))_(1 ⩽ i ⩽ p; 1 ⩽ j ⩽ n)$ la matrice de $M_(p, n)(ℝ)$ définie par : $r_(i, i) = (\sqrt(λ_i))/(λ_i + μ)$ si $1 ⩽ i ⩽ p$ et $r_(i, j) = 0$ sinon.

Établir la formule suivante :

(^t JJ + μI)^(- 1) \times ^t J = VR^t U

.
c) En déduire l'égalité :

(^t JJ + μI)^(- 1) \times ^t J = \sum_(i = 1)^q(\sqrt(λ_i))/(λ_i + μ)V_i^t U_i

6. Soit

X

un vecteur fixé de

ℝ^p

vérifiant:

\nablaF(X) \neq 0

Pour tout vecteur

h

ℝ^p

, on pose :

M(h) = L(h) + μ/2‖h‖^2

.
a) Montrer que :

lim_(‖h‖ \to 0)(F(X + h) - M(h))/(‖h‖) = 0

.
b) Calculer, pour tout

h

ℝ^p

, le gradient

\nablaM(h)

et la matrice hessienne

\nabla^2 M(h)

M

h

.
c) En appliquant les résultats des questions précédentes à la matrice

J(X)

, montrer que

M

admet un unique point critique

h^⋆

. Donner une expression de

h^⋆

qui utilise les résultats de la question 5.c.
d) Montrer que

M

admet un minimum local en

h^⋆

À partir de ce minimum local

h^⋆

M

(ou du minimum local

hˆ

L

), on pourrait utiliser une méthode algorithmique permettant, sous certaines conditions, d'approcher avec une précision donnée un minimum local de la fonction

F

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