BCE Maths approfondies HEC ECS 2010Sujet et corrigé

Epreuve de maths approfondies - ECS 2010

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Annale de maths approfondies BCE HEC pour la filiere ECS, session 2010.

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BANQUE COMMUNE D'EPREUVES
CONCOURS D'ADMISSION DE 2010

Conceptions : H.E.C. - E.S.C.P. / EUROPE

OPTION SCIENTIFIQUE

MATHEMATIQUES

Mardi 4 mai 2010, de 8 h. à 12 h.

La présentation, la lisibilité, l'orthographe, la qualité de la rédaction, la clarté et la précision des raisonnements entreront pour une part importante dans l'appréciation des copies.
Les candidats sont invités à encadrer dans la mesure du possible les résultats de leurs calculs.
Ils ne doivent faire usage d'aucun document : l'utilisation de toute calculatrice et de tout matériel électronique est interdite. Seule l'utilisation d'une règle graduée est autorisée.
Si au cours de l'épreuve, un candidat repère ce qui lui semble être une erreur d'énoncé, il la signalera sur sa copie et poursuivra sa composition en expliquant les raisons des initiatives qu'il sera amené à prendre

Dans tout le problème,

n

désigne un entier supérieur ou égal à 2 , et

ℝ^n

est muni de sa structure euclidienne canonique. Le produit scalaire et la norme associée sont notés respectivement <, > et

‖‖

. Pour tous vecteurs

x = (x_1, x_2, \dots, x_n)

y = (y_1, y_2, \dots, y_n)

ℝ^n

, on note

x ⩾ y

si pour tout

i

[ [1, n] ]

, on a :

x_i ⩾ y_i

.
Le vecteur nul de

ℝ^n

est noté

0\to

et le vecteur de

ℝ^n

dont toutes les composantes sont égales à 1 est noté

1\to

.
On rappelle ou on admet les deux résultats suivants :

une partie $K$ non vide de $ℝ^n$ est convexe si pour tout couple ( $u, v$ ) de vecteurs de $K^2$ et pour tout réel $t$ de $[0, 1]$ , le vecteur $tu + (1 - t)v$ appartient à $K$ ;
l'image réciproque par une fonction continue de $ℝ^n$ dans $ℝ$ d'un intervalle fermé de $ℝ$ , est un fermé de $ℝ^n$ .

On dit qu'un vecteur

h

ℝ^n

sépare deux convexes

K_1

K_2

, s'il existe un réel

c

qui vérifie, pour tous vecteurs

u

K_1

v

K_2

, l'encadrement :

⟨h, u⟩ < c < ⟨h, v⟩

.
Si

K

est une partie non vide et convexe de

ℝ^n

, et

x

un vecteur de

ℝ^n

, on appelle projection de

x

sur

K

et on note

p(x)

s'il existe, tout vecteur

y

K

qui vérifie, pour tout vecteur

z

K : ‖x - y‖ ⩽ ‖x - z‖

, c'est-à-dire tel que

‖x - y‖ = min_(z \in K)‖x - z‖

Partie I. Projection sur un convexe fermé

Exemple 1. Soit $K$ le sous-ensemble de $ℝ^2$ défini par : $K = {(z_1, z_2) ∈ ℝ^2/z_1 ⩽ 1$ et $z_2 ⩽ 1}$ , et $x = (x_1, x_2)$ un vecteur donné de $ℝ^2$ n'appartenant pas à $K$ tel que $x_1 > 0$ et $x_2 > 0$ .
a) Montrer que l'ensemble $K$ est convexe et fermé. $K$ est-il borné?
b) Établir l'existence et l'unicité de la projection $p(x)$ de $x$ sur $K$ . Déterminer cette projection.
c) Faire une figure représentant le convexe $K$ , un vecteur $x$ et la projection $p(x)$ .
d) Écrire une fonction Pascal d'en-tête distance(x1,x2 : real) : real qui à tout vecteur $x = (x_1, x_2)$ de $ℝ^2$ n'appartenant pas à $K$ et tel que $x_1 > 0, x_2 > 0$ , associe le réel $‖x - p(x)‖$ .
e) Vérifier que pour tout vecteur $z$ de $K$ , on a : $⟨z - p(x), x - p(x)⟩ ⩽ 0$ .
f) Montrer qu'il existe un réel $c$ qui vérifie, pour tout vecteur $z$ de $K : ⟨x - p(x), z⟩ < c < ⟨x - p(x), x⟩$ .
Exemple 2. Soit $E$ un sous-espace vectoriel de $ℝ^n$ , différent de ${0\to}$ et de $ℝ^n$ .
a) Montrer que $E$ est une partie convexe de $ℝ^n$ . On admet qu'elle est fermée.
b) Dans cette question, $E$ est l'ensemble des vecteurs $w = (w_1, w_2, w_3, w_4)$ de $ℝ^4$ qui vérifient l'équation : $w_1 + w_2 - w_3 - w_4 = 0$ . Soit $x = (x_1, x_2, x_3, x_4)$ un vecteur de $ℝ^4$ n'appartenant pas à $E$ . Déterminer $min_(w \in E)‖x - w‖$ et le vecteur $p(x)$ .

Cas général : soit $K$ une partie convexe, fermée et non vide de $ℝ^n$ , et $x$ un vecteur de $ℝ^n$ qui n'appartient pas à $K$ .

Soit $f$ la fonction à valeurs réelles définie sur $K$ par : pour tout $z$ de $K, f(z) = ‖x - z‖$ .
a) Justifier la continuité de la fonction $f$ .
b) Soit $z_0$ un vecteur quelconque de $K$ . On considère la boule fermée $B_0$ de centre $x$ et de rayon $‖x - z_0‖$ . On pose : $K^' = B_0 \cap K$ . Justifier que $K^'$ est une partie fermée et bornée de $ℝ^n$ .
c) En déduire que $f$ admet un minimum sur $K^'$ . Soit $z^$ tel que $f(z^) = min_(z \in K^')f(z)$ .
d) Montrer que l'inégalité $‖x - z‖ ⩾ ‖x - z^‖$ est satisfaite pour tout vecteur $z$ de $K$ . Conclure.
a) Vérifier pour tous vecteurs $a$ et $b$ de $ℝ^n$ , l'identité : $‖x - (a + b)/2‖^2 + 1/4‖a - b‖^2 = 1/2‖x - a‖^2 + 1/2‖x - b‖^2$ .
b) On pose : $d = min_(z \in K)‖x - z‖$ . Soit $u$ et $v$ deux vecteurs de $K$ vérifiant $d = ‖x - u‖ = ‖x - v‖$ .

À l'aide de la question précédente, montrer que

u = v

. Conclure.
5. On rappelle que

p(x)

désigne la projection du vecteur

x

sur

K

.
a) Établir pour tout vecteur

z

K

et pour tout réel

t

[0, 1]

, l'inégalité :

‖x - p(x)‖^2 ⩽ ‖x - (tz + (1 - t)p(x))‖^2

b) En déduire pour tout

z

K

, l'inégalité :

⟨z - p(x), x - p(x)⟩ ⩽ 0

.
c) Réciproquement, on suppose qu'il existe un vecteur

y

K

tel que pour tout vecteur

z

K

, on a :

⟨z - y, x - y⟩ ⩽ 0

. Montrer que

y = p(x)

. Conclure.
d) Établir l'inégalité :

⟨x - p(x), p(x)⟩⟨⟨x - p(x), x⟩

. Montrer que

x - p(x)

sépare les ensembles

K

{x}

Partie II. Un cas particulier

Soit

α_1, α_2, \dots, α_n

, des réels strictement positifs. On pose :

K = {z = (z_1, z_2, …, z_n) ∈ ℝ^n/∑_(i = 1)^n α_i z_i^2 ⩽ 1}

.
6. Montrer que

K

est un sous-ensemble convexe, fermé et borné de

ℝ^n

Soit

x = (x_1, x_2, \dots, x_n)

un vecteur donné de

ℝ^n

n'appartenant pas à

K

et vérifiant pour tout

i

[ [1, n] ]

x_i > 0

. On pose :

K_0 = {z ∈ K/∑_(i = 1)^n α_i z_i^2 = 1}

K_1 = {z ∈ K/∑_(i = 1)^n α_i z_i^2 < 1}

.
7. Soit

f

la fonction à valeurs réelles définie sur

K

par :

f(z) = ‖x - z‖^2

.
a) Montrer que

f

est de classe

C^1

sur l'ouvert

K_1

.
b) La restriction de

f

K_1

admet-elle des points critiques? En déduire que

p(x)

appartient à

K_0

.
c) Montrer que les coordonnées de

p(x)

sont positives ou nulles, non toutes nulles.
8. On définit l'ouvert

Ω

par :

Ω = {(z_1, z_2, …, z_(n − 1))/∀i ∈ [ [1, n − 1] ]

z_i > 0

(z_1, z_2, \dots, z_(n - 1), 0) \in K_1}

Soit

Ψ

H

les fonctions à valeurs réelles définies sur

Ω

par :

Ψ(z_1, z_2, \dots, z_(n - 1)) = \sqrt(1/(α_n)(1 - \sum_(i = 1)^(n - 1)α_i z_i^2))

H(z_1, z_2, \dots, z_(n - 1)) = \sum_(i = 1)^(n - 1)(x_i - z_i)^2 + (x_n - Ψ(z_1, z_2, \dots, z_(n - 1)))^2

.
On suppose que (

z_1^*, z_2^*, \dots, z_(n - 1)^*

) est un point critique de

H

.
On note

z_n^* = Ψ(z_1^*, z_2^*, \dots, z_(n - 1)^*)

z^* = (z_1^*, z_2^*, \dots, z_(n - 1)^*, z_n^*)

.
a) Montrer que

z_n^*

est strictement positif et que le vecteur

z^*

appartient à

K_0

.
b) On pose :

λ = 1/(α_n)((x_n)/(z_n^*) - 1)

. Montrer que pour tout

i

[ [1, n] ]

, on a :

z_i^* = (x_i)/(1 + λα_i)

.
c) On pose :

β = max_(1 ⩽ i ⩽ n)((- 1)/(α_i))

. Montrer que

λ > β

.
d) Étudier la fonction définie sur

]β, + \infty[pary \mapsto \sum_(i = 1)^n(α_i x_i^2)/((1 + α_i y)^2)

. En déduire l'existence d'un unique réel

λ_0

vérifiant

\sum_(i = 1)^n(α_i x_i^2)/((1 + λ_0 α_i)^2) = 1

. Montrer que

λ_0

est strictement positif.
Expliciter les coordonnées du vecteur

z^*

en fonction de

λ_0

et des réels

α_i

x_i(i \in [ [1, n] ])

.
9. a) Établir pour tout

z

K

, l'inégalité :

⟨z - z^*, x - z^*⟩ ⩽ 0

. En déduire que

z^* = p(x)

.
b) Montrer que le réel

c = (λ_0)/2(1 + \sum_(i = 1)^n(α_i x_i^2)/(1 + λ_0 α_i))

vérifie pour tout

z

K : ⟨x - p(x), z⟩ < c < ⟨x - p(x), x⟩

Partie III. Une séparation de deux convexes

On admet la proposition suivante : si

K_1

K_2

sont deux convexes fermés de

ℝ^n

tels que

K_1 ∩ K_2 = {x_0}

(

x_0 \in ℝ^n

), alors il existe un vecteur

h

non nul de

ℝ^n

et un réel

c

tels que, pour tout

x

K_1

, pour tout

y

K_2

, on a :

⟨h, x⟩ ⩽ c ⩽ ⟨h, y⟩

.
On note

B_n

l'ensemble des parties

K

ℝ^n

qui vérifient les trois conditions suivantes :
i)

K

est convexe, fermée, bornée et contenue dans

{x ∈ ℝ^n/x ⩾ 0→}

;
ii) il existe un vecteur

x

K

dont toutes les coordonnées sont strictement positives ;
iii) pour tout

x

K

et tout

y

ℝ^n

, on a :

[x ⩾ y ⩾ 0\to] \Rightarrow y \in K

.
10. Dessiner dans

ℝ^2

un exemple d'élément

K

B_2

Dans toute la suite de cette partie, on se donne un élément

K

B_n

.
11. On dit qu'une fonction

f : ℝ^(+ *) \to ℝ

est strictement concave si, pour tout couple (

a, b

) de

ℝ^(+ *) \times ℝ^(+ *)

vérifiant

a < b

, pour tout réel

t

]0, 1[

, on a :

f(ta + (1 - t)b) > tf(a) + (1 - t)f(b)

.
Montrer que la fonction ln est strictement concave sur

ℝ^(+ *)

.
12. Soit

g

la fonction à valeurs réelles définie sur

K

par :

g(x) = g(x_1, x_2, \dots, x_n) = \prod_(i = 1)^n x_i

.
a) Justifier que

g

admet un maximum sur

K

.
b) Soit

u

un vecteur de

K

tel que

g(u) = max_(x \in K)g(x)

. Montrer que pour tout

i

[ [1, n] ]

, on a :

u_i > 0

.
c) Établir l'unicité du vecteur

u

K

tel que

g(u) = max_(x \in K)g(x)

.
(on pourra raisonner par contraposée et utiliser la question 11)
13. On note

φ^⋆(K) = (φ_1^⋆(K), φ_2^⋆(K), \dots, φ_n^⋆(K))

l'unique vecteur de

K

en lequel la fonction

g

atteint son maximum.
On pose :

F = {((x_1)/(φ_1^⋆(K)), (x_2)/(φ_2^⋆(K)), …, (x_n)/(φ_n^⋆(K))) ∈ ℝ^n, (x_1, x_2, …, x_n) ∈ K}

.
a) Montrer que

F

est un élément de

B_n

.
b) Montrer que pour tout vecteur

y

F

, on a :

\prod_(i = 1)^n y_i ⩽ 1

.
14. On pose :

A = {x ∈ ℝ^n/x ⩾ 0→

\prod_(i = 1)^n x_i ⩾ 1}

.
a) Montrer que

A

est fermé.
b) En utilisant la question 11, montrer que

A

est convexe.
15. Établir l'égalité :

A \cap F = {1\to}

. En déduire l'existence d'un vecteur non nul

h

ℝ^n

vérifiant, pour tout

x

A

et tout

y

F : ⟨h, y⟩ ⩽ ⟨h, 1\to⟩ ⩽ ⟨h, x⟩

.
16. On veut montrer dans cette question que les coordonnées de

h

sont toutes strictement positives.
a) On fait l'hypothèse selon laquelle

0\to ⩾ h

. Pour tout

k

ℕ

, on pose :

v_k = ⟨h, k1\to⟩

Montrer que

lim_(k \to + \infty)v_k = - \infty

. En déduire que l'hypothèse faite est contredite et qu'il existe donc un entier

i_0

[ [1, n] ]

tel que

h_(i_0) > 0

.
b) On suppose qu'il existe un entier

i_1

[ [1, n] ]

tel que

h_(i_1) ⩽ 0

. Pour tout

k

ℕ^*

, on note

w^((k))

le vecteur de

ℝ^n

défini par :

w_(i_0)^((k)) = 1/k, w_(i_1)^((k)) = k

et, pour tout

i

[ [1, n] ]

avec

i \neq i_0

i \neq i_1, w_i^((k)) = 1

.
Soit

(z_k)_(k \in ℕ^*)

la suite réelle définie par : pour tout

k

ℕ^*, z_k = ⟨h, w^((k))⟩

.
Étudier la convergence de la suite

(z_k)_(k \in ℕ^*)

. En déduire que l'hypothèse faite est contredite et qu'en conséquence, pour tout

i

[ [1, n] ]

, on a :

h_i > 0

.
17. En utilisant un raisonnement semblable à celui des questions précédentes, montrer que toutes les coordonnées du vecteur

h

sont égales. En déduire que pour tout

x

A

et tout

y

F

, on a :

\sum_(i = 1)^n y_i ⩽ n ⩽ \sum_(i = 1)^n x_i

Partie IV. La solution de Nash

Un élément

K

B_n

est interprété comme un problème de négociation. Les éléments de

K

représentent différents accords auxquels sont susceptibles d'aboutir

n

personnes. Pour

x

dans

K

x_i

est une mesure du "gain" de la personne

i

. Le statu quo en cas de désaccord est le vecteur nul.
Pour

x \in ℝ^n

(i, j) \in [ [1, n] ]^2

avec

i \neq j

, on note

x[i, j]

le vecteur déduit de

x

en échangeant les coordonnées de rangs

i

j : x[i, j]_i = x_j, x[i, j]_j = x_i

x[i, j]_k = x_k

k \notin {i, j}

.
Pour

K \subset ℝ^n

(i, j) \in [ [1, n] ]^2

avec

i \neq j

, on note

K[i, j]

l'ensemble

{x ∈ ℝ^n/x[i, j] ∈ K}

.
Pour

(a, x) \in ℝ^n \times ℝ^n

, on note

a \otimes x \in ℝ^n

le vecteur

(a_1 x_1, \dots, a_n x_n)

. Pour

a \in ℝ^n, K \subset ℝ^n

, on note

a \otimes K

l'ensemble

{a \otimes x/x \in K}

.
Une règle de partage est une application

φ : B_n \to ℝ^n

qui associe à tout problème de négociation

K

B_n

, un vecteur

φ(K)

ℝ^n

. On s'intéresse aux règles

φ

qui vérifient les propriétés suivantes :
P1 : Pour tout

K \in B_n, φ(K) \in K

et il n'existe pas de point

x \in K

tel que

x \neq φ(K)

x ⩾ φ(K)

.
P2 : Pour tout

K \in B_n

a \in ℝ^n

tel que

a_i > 0

pour tout

i \in [ [1, n] ]

, on a :

φ(a \otimes K) = a \otimes φ(K)

.
P3 : Pour tous

K \in B_n

K^' \in B_n

tels que

K \subset K^'

φ(K^') \in K

, on a :

φ(K^') = φ(K)

.
P4 : Pour tout

K \in B_n

et pour tout couple (

i, j

) d'entiers distincts de

[ [1, n] ]^2

, on a :

φ(K[i, j]) = (φ(K))[i, j]

.
18. Les quatre propriétés

P1, P2, P3

et P 4 ont chacune une interprétation en terme de symétrie, ou d'optimalité, ou d'invariance par changement d'échelle ou d'invariance par élimination d'options non pertinentes (dans le désordre).
Quelle interprétation peut-on associer à chacune d'elles? Justifier très brièvement votre réponse.
19. Montrer que

φ^⋆

, définie dans la question 13, vérifie les propriétés P1, P2, P3 et P4.
20. Soit

φ

une règle satisfaisant à

P1, P2, P3

et P 4 .
a) On pose :

K_0 = {x ∈ ℝ^n/x ⩾ 0→

\sum_(i = 1)^n x_i ⩽ n}

. A l'aide de P1 et P4, montrer que

φ(K_0) = 1\to

.
b) Soit

K

un élément de

B_n

. On considère l'ensemble

F

défini dans la question 13 .

À l'aide de P3 et de la question 17, montrer que

φ(F) = 1\to

. En déduire que

φ(K) = φ^⋆(K)

. Conclure.

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OPTION SCIENTIFIQUE

Partie I. Projection sur un convexe fermé

Cas général : soit K une partie convexe, fermée et non vide de ℝ^n, et x un vecteur de ℝ^n qui n'appartient pas à K.

Partie II. Un cas particulier

Partie III. Une séparation de deux convexes

Partie IV. La solution de Nash

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BANQUE COMMUNE D'EPREUVES
CONCOURS D'ADMISSION DE 2010

Cas général : soit $K$ une partie convexe, fermée et non vide de $ℝ^n$ , et $x$ un vecteur de $ℝ^n$ qui n'appartient pas à $K$ .