WikiPrépaLivrets

Ecricome Maths approfondies ECS 2008Sujet et corrigé

Epreuve de maths approfondies - ECS 2008

Pas encore noté
Logo concours Ecricome

Explorer les annales

BanqueEcricomeAnnée2008FilièreECSMatièreMathématiques
Annales Ecricome ECS MathématiquesEcricome ECS 2008ECS MathématiquesMathématiques 2008

Téléchargements

Télécharger le sujet (PDF)
Corrigé
Lire en ligneLaTeXWord
  • Rapport du jury : non disponible
Source du document : annales-prepa.fr

Description

Annale de maths approfondies Ecricome pour la filiere ECS, session 2008.

Ces sujets peuvent vous intéresser

Lecture du sujet en ligne

L'énoncé complet, avec les formules et les figures, sans ouvrir le PDF.
Afficher ou masquer la section
Sujet en PDF

1. EXERCICE.

Soit u⃗ un vecteur unitaire de ℝ^3 de coordonnées ( a, b, c ) dans la base canonique B = (i⃗, j⃗, k⃗) de ℝ^3. On a donc a^2 + b^2 + c^2 = 1.
On note p le projecteur orthogonal sur la droite D de vecteur directeur u⃗ et q le projecteur orthogonal sur D^⊥.
Id désigne l'application identité de ℝ^3 et ⟨.,. ⟩leproduitscalairecanoniquedeℝ^3.
  1. Que vaut p + q ?
  2. Exprimer, pour v⃗ ∈ ℝ^3, p(v⃗) à l'aide de ⟨v⃗, u⃗⟩ et de u⃗.
Calculer alors p(i⃗), p(j⃗) et p(k⃗).
En déduire les matrices P et Q de p et q dans la base B.
3. Soit f l'endomorphisme de ℝ^3 de matrice M = (0, − c, b; c, 0, − a; − b, a, 0) dans la base B.
a. Montrer que :
M^2 = − Q.
b. Calculer f(u⃗).
En déduire que rg(f) ⩽ 2.
Déterminer l'image et le noyau de f et les exprimer en fonction de D.
c. Déduire de la question précédente la valeur de f ∘ p.
Montrer alors que X + X^3 est un polynôme annulateur de f.
d. Quelles sont les valeurs propres de f ?
f est-il diagonalisable ?
4. Pour tout réel θ, on définit l'endomorphisme g_θ par :
g_θ = Id + (sinθ)f + (1 − cosθ)f^2
où f^2 = f ∘ f.
a. Pour θ et θ^′ réels, calculer g_θ ∘ g_(θ^′) et montrer qu'il se met sous la forme g_(θ^(′′)) avec θ^(′′) réel.
b. En déduire que, pour tout réel θ, g_θ est inversible et déterminer son inverse.

2. EXERCICE.

On considère, pour n ∈ ℕ^∗, la fonction f_n définie sur ℝ^+par :
pour tout x ∈ ℝ^+, f_n(x) = 1/n − 1/(n + x).
  1. a. Montrer que, pour tout réel positif x, la série de terme général f_n(x) est convergente. On note F(x) sa somme.
    b. Calculer F(0) et F(1).
  2. Montrer que, pour tout réel positif x, la série de terme général f_n^′(x) est convergente. On note G(x) sa somme.
  3. Etude de la dérivabilité de F.
    a. Soit φ la fonction définie sur ℝ^(+ ∗) par :
pour t ∈ ℝ^(+ ∗), φ(t) = 1/t
Soit n ∈ ℕ^∗. A l'aide de l'inégalité de Taylor-Lagrange, montrer que :
pour tout (x, x_0) ∈ [n, + ∞]^2, |φ(x) − φ(x_0) − (x − x_0)φ^′(x_0)| ⩽ ((x − x_0)^2)/(n^3).
b. En déduire, pour x ∈ ℝ^+et h ≠ 0 vérifiant x + h ∈ ℝ^+, la nature de la série de terme général |f_n(x + h) − f_n(x) − hf_n^′(x)|.
c. Montrer qu'il existe un réel K tel que, pour x ∈ ℝ^+et h ≠ 0 vérifiant x + h ∈ ℝ^+,
|(F(x + h) − F(x))/h − G(x)| ⩽ K|h|.
d. En déduire que F est dérivable sur ℝ^+et que F^′ = G.
4. Recherche d'un équivalent en + ∞.
Soit x ∈ ℝ^+.
a. Justifier que, pour k ∈ ℕ^∗,
f_(k + 1)(x) ⩽ ∫_k^(k + 1)(1/t − 1/(t + x))dt ⩽ f_k(x)
b. En déduire que, pour n ⩾ 2,
∫_1^(n + 1)(1/t − 1/(t + x))dt ⩽ ∑_(k = 1)^n f_k(x) ⩽ x/(x + 1) + ∫_1^n(1/t − 1/(t + x))dt
c. En déduire que :
ln(1 + x) ⩽ F(x) ⩽ x/(x + 1) + ln(1 + x)
d. Déterminer un équivalent de F(x) quand x tend vers + ∞.

3. PROBLEME.

L'objet du problème est la présentation d'une méthode probabiliste de calcul d'une intégrale (méthode de Monte-Carlo) et de deux façons de l'améliorer.
Dans tout le problème, U désigne une variable aléatoire de loi uniforme sur [0, 1], g une fonction continue sur [0, 1] et on pose J = ∫_0^1 g(t)dt.
L'espérance d'une variable aléatoire X sera notée E(X) et sa variance V(X) (si elles existent).
On admet que, pour tout entier naturel non nul n, si X_1, X_2, …, X_n sont des variables aléatoires à densités, mutuellement indépendantes, alors des variables aléatoires de la forme f_1(X_1), f_2(X_2), …, f_n(X_n) où les f_i sont des fonctions de ℝ dans ℝ, distinctes ou non, sont également mutuellement indépendantes.

3.1. Méthode de Monte-Carlo.

  1. a. Rappeler une densité de U.
    b. Justifier que la variable aléatoire g(U) admet une espérance égale à J.
  2. Soit (U_n)_(n ∈ ℕ^∗) une suite de variables aléatoires indépendantes de même loi que U.
On suppose que σ^2 = V(g(U)) ≠ 0 et on note pour tout n de ℕ^∗, S_n = ∑_(i = 1)^n g(U_i).
a. Justifier que la suite de variables aléatoires ((S_n)/n)_(n ∈ ℕ^∗) converge en probabilité vers J.
b. Recherche d'un intervalle de confiance pour J.
i. Justifier que la suite de variables aléatoires (((S_n)/n − J)/(σ/(√n)))_(n ∈ ℕ^∗) converge en loi vers une variable aléatoire de loi normale centrée réduite.
ii. On considère pour " n suffisamment grand " que ((S_n)/n − J)/(σ/(√n)) suit une loi normale N(0, 1). On donne Φ(1, 96) = 0, 975 où Φ désigne la fonction de répartition de la loi normale centrée réduite. Déterminer un intervalle de confiance pour J, au niveau de confiance 95%, faisant intervenir S_n.

3. Application :

a. A l'aide du changement de variable t = sinu, montrer que ∫_0^1 4√(1 − t^2)dt = π.
b. i. Ecrire, en langage Pascal, une fonction G, de paramètre t, qui pour une valeur t du paramètre renvoie la valeur 4√(1 − t^2).
ii. On rappelle qu'en langage Pascal, la fonction random permet de simuler une variable aléatoire de loi uniforme sur [0, 1].
En utilisant le résultat de la question 3.1.2. et la fonction G, les variables informatiques J de type real et i, n de type integer étant supposées définies, compléter le corps du programme principal suivant, de manière à ce qu'il calcule une valeur approchée de π.
begin
    randomize ;
    readln(n);
    J := 0 ;
    for i := 1 to n do ....
    ............
    writeln (' une valeur approchée de pi est ', J );
end.

3.2. Réduction de la variance par variables antithétiques.

  1. Reconnaître la loi de 1 − U.
On définit la variable aléatoire Y par Y = 1/2[g(U) + g(1 − U)]. Que vaut E(Y) ?
2. On suppose g strictement croissante et on admet l'existence des espérances intervenant dans cette question.
a. Justifier que, pour tout (u, w) ∈ [0, 1]^2,
(g(u) − g(w))(g(1 − u) − g(1 − w)) ⩽ 0.
b. Soit W une variable aléatoire de loi uniforme sur [0, 1], indépendante de U.
Quel est le signe de E[(g(U) − g(W))(g(1 − U) − g(1 − W))] ?
En remarquant que g(U)g(1 − U) et g(W)g(1 − W) ont même espérance, en déduire que :
E[g(U)g(1 − U)] ⩽ (E[g(U)])^2
On admet que l'on obtiendrait le même résultat pour g strictement décroissante.
c. Montrer alors que, lorsque g est strictement monotone, V(Y) ⩽ 1/2V(g(U)).
3. Donner un nouvel intervalle de confiance pour J au niveau de confiance 95%, basé sur cette méthode.
On note ℓ_n la longueur de l'intervalle de confiance obtenu dans la partie 3.1 pour une valeur fixée de n.
Avec cette nouvelle méthode, combien de tirages N de la variable aléatoire uniforme suffit-il de faire pour obtenir la même longueur ℓ_n d'intervalle de confiance?

3.3. Réduction de la variance par stratification.

3.3.1. Etude d'une fonction de plusieurs variables.

On considère la fonction f définie sur ]0, + ∞[^3 par :
pour tout (x_1, x_2, x_3) ∈ ]0, + ∞[^3, f(x_1, x_2, x_3) = 1/(4x_1) + 1/(x_2) + 1/(9x_3)
  1. Justifier que f est de classe C^2 sur ]0, + ∞[^3. Calculer ses dérivées partielles d'ordre 1 et 2 .
  2. On note :
∇^2 f(A) = [(∂^2 f)/(∂x_i∂x_j)(A)]_(1 ⩽ i, j ⩽ 3)
la matrice hessienne de f en A = (a_1, a_2, a_3).
Justifier que, pour tout A ∈ ]0, + ∞[^3, pour toute matrice colonne H à trois lignes, non nulle, on a :
^t H∇^2 f(A)H > 0.
  1. f admet-elle des extremums sur ]0, + ∞[^3 ?
  2. On cherche désormais les extremums de f sous la contrainte x_1 + x_2 + x_3 = 110.
Montrer que f admet un unique point critique sous cette contrainte, que l'on déterminera.
En écrivant l'égalité de Taylor-Lagrange à l'ordre 1, montrer qu'il s'agit d'un minimum global sous contrainte.

3.3.2. Méthode de stratification.

Soit a et b deux réels tels que 0 < a < b < 1. On définit les trois intervalles I_1, I_2 et I_3 par
I_1 = [0, a[, I_2 = [a, b[, I_3 = [b, 1]
et on considère quatre variables aléatoires indépendantes U_1, U_2, U_3 et T, de lois uniformes respectivement sur I_1, I_2, I_3 et [0, 1].
On définit la variable aléatoire U~ par U~ = U_1 1_([T ∈ I_1]) + U_2 1_([T ∈ I_2]) + U_3 1_([T ∈ I_3]) où 1_A désigne la fonction indicatrice d'un événement A.U~ est donc la variable aléatoire définie, pour tout élément ω de l'univers Ω par :
U~(ω) = {U_1(ω) si T(ω) ∈ I_1; U_2(ω) si T(ω) ∈ I_2; U_3(ω) si T(ω) ∈ I_3
  1. A l'aide de la formule des probabilités totales, montrer que pour tout réel x,
P(g(U~) ⩽ x) = aP(g(U_1) ⩽ x) + (b − a)P(g(U_2) ⩽ x) + (1 − b)P(g(U_3) ⩽ x).
En admettant que g(U_1), g(U_2), g(U_3) sont des variables aléatoires à densité, montrer que g(U~) est elle-même une variable aléatoire à densité et en déterminer une densité f_(g(U˜)) en fonction de densités de g(U_1), g(U_2), g(U_3), que l'on pourra noter
f_(g(U_1)), f_(g(U_2)) et f_(g(U_3)).
Vérifier, en prenant la fonction identité pour g, que U˜ suit une loi uniforme sur [0, 1].
2. Déduire de ce qui précède que:
E(g(U˜)) = aE(g(U_1)) + (b − a)E(g(U_2)) + (1 − b)E(g(U_3)).
  1. On tire de façon indépendante, uniforme sur chacun des intervalles, n_1 points dans I_1, n_2 points dans I_2, n_3 points dans I_3. On considère donc la famille de variables aléatoires indépendantes (U_(1, 1), …, U_(1, n_1), U_(2, 1), …, U_(2, n_2), U_(3, 1), …, U_(3, n_3)) telles que :
  • U_(1, 1), …, U_(1, n_1) ont même loi que U_1,
  • U_(2, 1), …, U_(2, n_2) ont même loi que U_2,
  • U_(3, 1), …, U_(3, n_3) ont même loi que U_3,
    et on note Z la variable aléatoire définie par:
Z = a1/(n_1)∑_(i = 1)^(n_1)g(U_(1, i)) + (b − a)1/(n_2)∑_(j = 1)^(n_2)g(U_(2, j)) + (1 − b)1/(n_3)∑_(k = 1)^(n_3)g(U_(3, k)).
Montrer que :
V(Z) = a^2 1/(n_1)V(g(U_1)) + (b − a)^2 1/(n_2)V(g(U_2)) + (1 − b)^2 1/(n_3)V(g(U_3))
  1. Application numérique :
On suppose que, pour un certain choix de la fonction g et des réels a et b, on a
a^2 V(g(U_1)) = 1/4, (b − a)^2 V(g(U_2)) = 1, (1 − b)^2 V(g(U_3)) = 1/9
On suppose que l'on tire 110 points, de façon indépendante, uniforme sur chacun des intervalles ( n_1 points dans I_1, n_2 points dans I_2, n_3 points dans I_3 ). Quelles valeurs faut-il donner à n_1, n_2, n_3 pour que E(Z) fournisse une estimation de J avec le plus petit risque d'erreur possible suivant cette méthode?

Pas de description pour le moment