BCE Maths appliquées EDHEC ECE 2017Sujet, corrigé et rapport du jury

Conception : EDHEC

OPTION ÉCONOMIQUE

MATHÉMATIQUES

Exercice 1

1. Justifier que f est de classe C^2 sur ℝ^2.
2. a) Calculer les dérivées partielles d'ordre 1 de f.
   b) Montrer que le gradient de f est nul si, et seulement si, on a : {x^3 − x + y = 0; y^3 + x − y = 0.
   c) En déduire que f possède trois points critiques : (0, 0), (√2, − √2) et (− √2, √2).
3. a) Calculer les dérivées partielles d'ordre 2 de f.
   b) Écrire la matrice hessienne de f en chaque point critique.
   c) Déterminer les valeurs propres de chacune de ces trois matrices puis montrer que f admet un minimum local en deux de ses points critiques. Donner la valeur de ce minimum.
   d) Déterminer les signes de f(x, x) et f(x, − x) au voisinage de x = 0. Conclure quant à l'existence d'un extremum en le troisième point critique de f.
4. a) Pour tout (x, y) de ℝ^2, calculer f(x, y) − (x^2 − 2)^2 − (y^2 − 2) − 2(x + y)^2.
   b) Que peut-on déduire de ce calcul quant au minimum de f ?
5. a) Compléter la deuxième ligne du script suivant afin de définir la fonction f.

function z=f(x,y)
z = ------
endfunction
x=linspace(-2,2,101)
y=x
fplot3d(x,y,f)

Nappe 1

Nappe 2

Nappe 3

Exercice 2

1. a) Montrer que φ est linéaire.
   b) Déterminer (φ(e_0))(x), (φ(e_1))(x) et (φ(e_2))(x) en fonction de x, puis écrire φ(e_0), φ(e_1) et φ(e_2) comme combinaisons linéaires de e_0, e_1, e_2.
   c) Déduire des questions précédentes que φ est un endomorphisme de E.
2. a) Écrire la matrice A de φ dans la base ( e_0, e_1, e_2 ). On vérifiera que la première ligne de A est :

n=input('entrez une valeur pour n : ')
A= [------]
disp(------)

4. a) Montrer par récurrence que, pour tout entier naturel n, il existe un réel u_n tel que l'on ait :

Exercice 3

1. a) Montrer que : ∀x ∈ ℝ, F_W(x) = e^(− e^(− x)).
   b) En déduire que W est une variable à densité.

4. a) Montrer, grâce au changement de variable u = 1 − e^(− t), que l'on a :

function Y=f(n)
x = grand(1,n,'exp',1)
Z =------
endfunction

V=grand(1,10000,'exp',1)
W}=-\operatorname{log(V)
s=linspace(0,10,11)
histplot(s,W)
    Script (1)

n=input('entrez la valeur de n : ')
Z=[] // La matrice-ligne Z est vide
for k=1:10000
    Z=[Z,f(n)]
end
s=linspace(0,10,11)
histplot(s,Z)

Histogramme (1)

Histogramme (2) pour n = 1000

Problème

Partie 1 : étude d'une variable aléatoire.

• Au départ, c'est-à-dire à l'instant 0 , le mobile est sur le sommet 1 .
• Lorsque le mobile est à un instant donné sur un sommet, il se déplace à l'instant suivant sur l'un quelconque des trois autres sommets, et ceci de façon équiprobable.
  Pour tout n de ℕ, on note X_n la variable aléatoire égale au numéro du sommet sur lequel se situe le mobile à l'instant n. D'après le premier des deux points précédents, on a donc X_0 = 1.

1. Donner la loi de X_1, ainsi que l'espérance E(X_1) de la variable aléatoire X_1.

2. Pour tout entier naturel n supérieur ou égal à 2 , donner, en justifiant, l'ensemble des valeurs prises par X_n.
3. a) Utiliser la formule des probabilités totales pour établir que, pour tout entier naturel n supérieur ou égal à 2 , on a :

6. Déterminer, pour tout entier naturel n, l'espérance E(X_n) de la variable aléatoire X_n.

Partie 2 : calcul des puissances d'une matrice A.

7. a) Montrer (grâce à certains résultats de la partie 1) que, si l'on pose A = 1/3(0, 1, 1, 1; 1, 0, 1, 1; 1, 1, 0, 1; 1, 1, 1, 0), on a :

Partie 3 : une deuxième méthode de calcul des puissances de A.

Partie 4 : informatique.

11. a) Compléter le script Scilab suivant pour qu'il affiche les 100 premières positions, autres que celle d'origine, du mobile dont le voyage est étudié dans ce problème, ainsi que le nombre n de fois où il est revenu sur le sommet numéroté 1 au cours de ses 100 premiers déplacements (on pourra utiliser la commande sum).

A = [-----] /3
x=grand(100,'markov',A,1)
n=------
disp(x)
disp(n)