BCE Maths approfondies HEC/ESCP ECS 2007, épreuve 2Sujet et corrigé

Epreuve de maths approfondies - ECS 2007

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BanqueBCE Année2007 FilièreECS MatièreMathématiques

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Annale de maths approfondies BCE HEC/ESCP pour la filiere ECS, session 2007.

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BANQUE COMMUNE D'EPREUVES

CODE SUJET :
283
CCIP_M2_S

Conceptions : H.E.C. - E.S.C.P. - E.A.P.

OPTION : SCIENTIFIQUE

MATHEMATIQUES II

Mercredi 9 Mai 2007, de 14 h. à 18 h.

La présentation, la lisibilité, l'orthographe, la qualité de la rédaction, la clarté et la précision des raisonnements entreront pour une part importante dans l'appréciation des copies.
Les candidats sont invités à encadrer dans la mesure du possible les résultats de leurs calculs.
Ils ne doivent faire usage d'aucun document : l'utilisation de toute calculatrice et de tout matériel électronique est interdite.
Seule l'utilisation d'une règle graduée est autorisée.

Pour toute variable aléatoire réelle

Y

définie sur un espace probabilisé (

Ω, A, P

) et possédant une espérance mathématique, on note

E(Y)

cette espérance pour la probabilité

P

.
Pour tout événement

C

A

tel que

P(C) > 0

, on note, sous réserve d'existence,

E(Y/C)

l'espérance de

Y

pour la probabilité conditionnelle

P_C

(espérance conditionnelle de

Y

sachant

C

Partie I.

Cette partie constitue une application particulière des résultats généraux étudiés dans la suite du problème.
On possède

n

urnes (

n ⩾ 3

) numérotées de 1 à

n

, dans lesquelles on répartit au hasard et de façon indépendante,

m

boules indiscernables (

m ⩾ 4

), de sorte que, pour tout

i

[ [1, n] ]

, la probabilité pour chaque boule d'être placée dans l'urne numéro

i

soit égale à

1/n

.
On suppose que cette expérience est modélisée par un espace probabilisé (

Ω, A, P

).
À l'issue de cette expérience, on pose pour tout

i

[ [1, n] ]

X_i = {1, si l'urne n^∘i est vide; 0, sinon

On pose

W_n = \sum_(i = 1)^n X_i

a) Déterminer pour tout $i$ de $[ [1, n] ]$ , la loi de la variable aléatoire $X_i$ .
b) Pour tout couple $(i, j)$ d'entiers de $[ [1, n] ]$ distincts, calculer $P([X_i = 1] \cap [X_j = 1])$ , ainsi que la covariance de $X_i$ et $X_j$ . Les variables aléatoires $X_i$ et $X_j$ sont-elles indépendantes?
a) Exprimer l'espérance $E(W_n)$ de $W_n$ en fonction de $n$ et $m$ .
b) On note $V(W_n)$ la variance de $W_n$ . Calculer $V(W_n)$ en fonction de $n$ et $m$ .
c) Vérifier l'égalité : $E(W_n) - V(W_n) = n^2(1 - 1/n)^(2m) - n(n - 1)(1 - 2/n)^m$ .

En déduire que

E(W_n) - V(W_n) ⩾ 0

.
3. Dans cette question, l'entier

m

vérifie

m = ⌊nlnn + θn⌋

, où

θ

est une constante réelle positive et

⌊x⌋

désigne la partie entière de

x

.
a) Calculer

lim_(n \to + \infty)E(W_n)

.
b) Montrer que

lim_(n \to + \infty)(E(W_n) - V(W_n)) = 0

.
c) Soit

T_n

une variable aléatoire qui suit une loi de Poisson de paramètre

μ_n = E(W_n)

On admet que pour tout

k

ℕ

, on a :

|P([W_n = k]) - P([T_n = k])| ⩽ min(1, 1/(μ_n)) \times (μ_n - V(W_n))

Quelle est la limite en loi de la suite de variables aléatoires

(W_n)_(n ⩾ 3)

?
4. On pose

μ = e^(- θ)

, et on suppose que le paramètre

μ

est inconnu. Dans cette question, on veut estimer

μ

. Pour

p

entier de

ℕ^*

, on considère un

p

-échantillon indépendant, identiquement distribué (

T_1, T_2, \dots, T_p

) de la loi de Poisson de paramètre

μ

. On pose :

T_p^- = 1/p\sum_(i = 1)^p T_i et U_p = \sqrtp(T_p^- - μ)/(\sqrtμ)

a) Montrer que

T_p^-

est un estimateur sans biais et convergent du paramètre

μ

.
b) Quelle est la limite en loi de la suite de variables aléatoires

(U_p)_(p ⩾ 1)

?
c) On veut construire, pour

p

assez grand, un intervalle de confiance du paramètre

μ

au risque

α

donné. Soit

u

le réel strictement positif tel que

P([U ⩾ u]) = α/2

, où

U

est une variable aléatoire qui suit la loi normale centrée réduite.
Justifier que pour

p

assez grand, on peut écrire :

P([|U_p| ⩽ u]) = 1 - α

, et déterminer alors un intervalle de confiance

[I_p, J_p]

pour

μ

au risque

α

Partie II

Dans cette partie,

λ

désigne un réel strictement positif.
Soit

M

une variable aléatoire définie sur un espace probabilisé

(Ω, A, P)

qui suit une loi de Poisson de paramètre

λ

.
Soit

A

une partie quelconque de

ℕ

A¯

son complémentaire dans

ℕ

. On rappelle que si

A

est non vide, alors,

P([M \in A]) = \sum_(i \in A)e^(- λ)(λ^i)/(i!)

, et on pose par convention

[M \in \emptyset] = \emptyset

.
On considère la fonction

f_A

définie sur

ℕ

par

f_A(0) = 0

, et pour tout

k

ℕ

f_A(k + 1) = (k!)/(λ^(k + 1))e^λ(P([M \in A] \cap [M ⩽ k]) - P([M \in A]) \times P([M ⩽ k]))

a) Déterminer la fonction $f_A$ dans les cas particuliers $A = \emptyset$ et $A = ℕ$ .
b) Donner l'expression de $f_A(1)$ en fonction de $λ$ et de $P([M \in A])$ dans les deux cas suivants : $0 \in A$ et $0 \in A¯$ . Exprimer $f_A(2)$ en fonction de $λ$ et de $P([M \in A])$ dans le cas où 0 et 1 appartiennent à $A$ .
Soit $A$ et $B$ deux parties de $ℕ$ disjointes.
a) Montrer que $f_(A \cup B) = f_A + f_B$ .
b) En déduire que $f_(A¯) = - f_A$ .
a) Montrer que pour tout $k$ de $ℕ$ , la fonction $f_A$ vérifie la relation suivante :

λf_A(k + 1) − kf_A(k) = {P([M ∈ A¯]), si k ∈ A; − P([M ∈ A]), si k ∈ A¯

b) En déduire que si

A

est non vide et distincte de

ℕ

, la fonction

f_A

n'est pas identiquement nulle.
4. Dans cette question,

j

est un entier naturel non nul, et

A

est le singleton

{j}

. On pose

f_({j}) = f_j

.
a) Pour tout

k

ℕ^*

, montrer l'égalité suivante :

f_j(k + 1) = {(k!)/(j!λ^(k − j + 1))P([M ⩾ k + 1]), si k ⩾ j; − (k!)/(j!λ^(k − j + 1))P([M ⩽ k]), si k < j

b) Calculer

f_j(j + 1) - f_j(j)

, et déterminer son signe.
c) Calculer pour tout

k

ℕ^*

, différent de

j, f_j(k + 1) - f_j(k)

en distinguant les deux cas :

k > j

k < j

. En déduire que la différence

f_j(k + 1) - f_j(k)

est positive si et seulement si

k = j

.
d) Établir les inégalités suivantes :

f_j(j + 1) - f_j(j) ⩽ (1 - e^(- λ))/λ ⩽ min(1, 1/λ)

.
5. On considère le singleton

{0}

et on pose

f_({0}) = f_0

. Montrer, pour tout

k

ℕ^*

, l'inégalité suivante :

f_0(k + 1) - f_0(k) ⩽ 0

.
6. a) Établir pour tout

k

ℕ

, l'inégalité suivante :

f_A(k + 1) - f_A(k) ⩽ f_k(k + 1) - f_k(k)

. (on distinguera les deux cas :

k \in A

k \in A¯

)
b) En déduire, pour toute partie

A

ℕ

, l'inégalité suivante :

sup_(k ⩾ 0)|f_A(k + 1) - f_A(k)| ⩽ min(1, 1/λ)

Partie III.

Soit

n

un entier supérieur ou égal à 2 . On considère

n

variables aléatoires discrètes indépendantes

X_1, X_2, \dots, X_n

définies sur un même espace probabilisé (

Ω, A, P

), telles que pour tout

i

[ [1, n] ]

, la variable aléatoire

X_i

suit une loi de Bernoulli de paramètre

p_i

strictement positif.
On pose

λ_n = \sum_(i = 1)^n p_i, W_n = \sum_(i = 1)^n X_i

et, pour tout

i

[ [1, n] ], R_i = W_n - X_i

.
On note

M_n

une variable aléatoire qui suit une loi de Poisson de paramètre

λ_n

. Soit

A

une partie quelconque de

ℕ

, et

f_A

la fonction définie dans la partie II, dans l'expression de laquelle on remplace

M

par

M_n

λ

par

λ_n

. On pose

f = f_A

a) Établir pour tout $i$ de $[ [1, n] ]$ , l'égalité des deux variables aléatoires $X_i f(W_n)$ et $X_i f(1 + R_i)$ .
b) En déduire pour tout $i$ de $[ [1, n] ]$ , l'égalité : $E(X_i f(W_n)) = p_i E(f(1 + R_i))$ .
Pour tout $i$ de $[ [1, n] ]$ , on pose : $Y_i = f(1 + W_n) - f(1 + R_i)$ . Établir la relation suivante : $E(λ_n f(1 + W_n) - W_n f(W_n)) = \sum_(i = 1)^n p_i E(Y_i)$ .
a) Établir pour tout $i$ de $[ [1, n] ]$ , la formule suivante :

E(Y_i/[X_i = 1]) = E(f(2 + R_i) - f(1 + R_i))

b) Calculer pour tout

i

[ [1, n] ], E(Y_i/[X_i = 0])

.
c) Déduire des questions précédentes l'égalité suivante :

E(λ_n f(1 + W_n) - W_n f(W_n)) = \sum_(i = 1)^n p_i^2 E(f(2 + R_i) - f(1 + R_i))

Établir l'inégalité suivante :

|E(λ_n f(1 + W_n) - W_n f(W_n))| ⩽ min(1, 1/(λ_n)) \times \sum_(i = 1)^n p_i^2

À l'aide de la question II.3.a, montrer, pour toute partie $A$ de $ℕ$ , l'égalité suivante :

E(λ_n f(1 + W_n) - W_n f(W_n)) = P([W_n \in A]) - P([M_n \in A])

En déduire, pour toute partie

A

ℕ

, la majoration suivante :

|P([W_n \in A]) - P([M_n \in A])| ⩽ min(1, 1/(λ_n)) \times \sum_(i = 1)^n p_i^2

Dans cette question uniquement, on suppose que pour tout $i$ de $[ [1, n] ], X_i$ suit la loi de Bernoulli de paramètre $p_i = 1/(n + i)$ .
a) Déterminer $lim_(n \to + \infty)λ_n$ . Montrer que $lim_(n \to + \infty)\sum_(i = 1)^n p_i^2 = 0$ .
b) Déterminer la limite en loi de la suite $(W_n)_(n ⩾ 2)$ .

Partie IV.

Les notations sont identiques à celles de la partie III, mais les variables aléatoires

X_1, X_2, \dots, X_n

définies sur (

Ω, A, P

), ne sont pas nécessairement indépendantes.

a) Montrer que pour tout $i$ de $[ [1, n] ]$ , on a : $E(X_i f(W_n)) = p_i E(f(1 + R_i)/[X_i = 1])$ .
b) En déduire l'égalité suivante : $P([W_n \in A]) - P([M_n \in A]) = \sum_(i = 1)^n p_i[E(f(1 + W_n)) - E(f(1 + R_i)/[X_i = 1])]$ .
On suppose que pour tout $i$ de $[ [1, n] ]$ , il existe une variable aléatoire $Z_i$ définie sur ( $Ω, A, P$ ), à valeurs dans $ℕ$ , telle que la loi de $Z_i$ soit identique à la loi conditionnelle de $R_i$ sachant [ $X_i = 1$ ].
a) Justifier, pour tout couple $(ℓ, j)$ d'entiers naturels, l'inégalité : $|f(ℓ) - f(j)| ⩽ |ℓ - j| \times min(1, 1/(λ_n))$ , et en déduire la majoration suivante: $|P([W_n \in A]) - P([M_n \in A])| ⩽ min(1, 1/(λ_n)) \times \sum_(i = 1)^n p_i E(|W_n - Z_i|)$ .
b) On suppose de plus que pour tout $ω$ de $Ω$ , pour tout $i$ de $[ [1, n] ]$ , on a $W_n(ω) ⩾ Z_i(ω)$ . Établir l'égalité : $\sum_(i = 1)^n p_i E(|W_n - Z_i|) = λ_n - V(W_n)$ , où $V(W_n)$ désigne la variance de $W_n$ .
En déduire, pour toute partie $A$ de $ℕ$ , l'inégalité suivante :

|P([W_n \in A]) - P([M_n \in A])| ⩽ min(1, 1/(λ_n)) \times (λ_n - V(W_n))

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