BCE Maths approfondies HEC/ESCP ECS 2005, épreuve 2Sujet et corrigé

Epreuve de maths approfondies - ECS 2005

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Annale de maths approfondies BCE HEC/ESCP pour la filiere ECS, session 2005.

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OPTION : SCIENTIFIQUE

MATHEMATIQUES II

Mardi 10 Mai 2005, de 8 h. à 12 h.

La présentation, la lisibilité, l'orthographe, la qualité de la rédaction, la clarté et la précision des raisonnements entreront pour une part importante dans l'appréciation des copies.
Les candidats sont invités à encadrer dans la mesure du possible les résultats de leurs calculs.
Ils ne doivent faire usage d'aucun document : l'utilisation de toute calculatrice et de tout matériel électronique est interdite.
Seule l'utilisation d'une règle graduée est autorisée.

Dans tout le problème,

n

r

désignent des entiers strictement positifs. On note

M_(n, r)(ℝ)

, l'ensemble des matrices rectangulaires à

n

lignes et

r

colonnes à coefficients réels. Pour

n = r

, on pose

M_n(ℝ) = M_(n, n)(ℝ)

. Pour tout entier

n

ℕ^*

, on identifie

ℝ^n

M_(n, 1)(ℝ)

.
La transposée d'une matrice

A

appartenant à

M_(n, r)(ℝ)

est notée

^t A

. On pourra également la noter

A^T

.
On étudie dans ce problème, quelques propriétés du modèle linéaire, qui constitue l'instrument de base de l'économétrie.

Partie I. Trace et matrices aléatoires

Pour toute matrice

M

appartenant à

M_n(ℝ)

, on appelle trace de

M

, notée

tr(M)

, la somme de ses coefficients diagonaux ; ainsi, si

M = (m_(i, j))_(1 ⩽ i, j ⩽ n), tr(M) = \sum_(i = 1)^n m_(i, i)

.
On rappelle les trois résultats suivants (que les candidats n'ont pas à démontrer) :

l'application tr qui, à toute matrice $M$ de $M_n(ℝ)$ , associe sa trace, est une application linéaire de $M_n(ℝ)$ dans $ℝ$ ;
si $A$ est une matrice de $M_(n, r)(ℝ)$ et $B$ une matrice de $M_(r, n)(ℝ)$ , alors $tr(AB) = tr(BA)$ ;
si $M$ et $N$ sont deux matrices semblables de $M_n(ℝ)$ , alors $tr(M) = tr(N)$ .

Soit $M$ une matrice de $M_n(ℝ)$ possédant $q$ valeurs propres ( $1 ⩽ q ⩽ n$ ) notées $λ_1, λ_2, \dots, λ_q$ . Pour tout entier $i$ de $[ [1, q] ]$ , on désigne par $n_i$ la dimension du sous-espace propre associé à la valeur propre $λ_i$ .
a) On suppose que la matrice $M$ est diagonalisable sur $ℝ$ . Montrer que $tr(M) = \sum_(i = 1)^q n_i λ_i$ .
b) On suppose que la matrice $M = (m_(i, j))_(1 ⩽ i, j ⩽ n)$ de $M_n(ℝ)$ est symétrique. Montrer les égalités suivantes :

tr(^t MM) = tr(M^2) = \sum_(i = 1)^q n_i λ_i^2 = \sum_(i = 1)^n\sum_(j = 1)^n m_(i, j)^2

Pour tout entier $i$ de $[ [1, n] ]$ et pour tout entier $j$ de $[ [1, r] ]$ , on considère des variables aléatoires réelles $Z_(i, j)$ définies sur un espace probabilisé ( $Ω, A, μ$ ). On définit la matrice aléatoire $Z$ , à $n$ lignes et $r$ colonnes, en associant à tout $ω$ de $Ω$ , la matrice :

Z(ω) = (Z_(1, 1)(ω), \dots, Z_(1, r)(ω); ⋮, ⋱, ⋮; Z_(n, 1)(ω), \dots, Z_(n, r)(ω)) = (Z_(i, j)(ω))_(1 ⩽ i ⩽ n; 1 ⩽ j ⩽ r)

On suppose que les

nr

variables aléatoires

Z_(i, j)

admettent une espérance

E(Z_(i, j))

, et on définit l'espérance de la matrice

Z

, notée

E(Z)

, comme la matrice de

M_(n, r)(ℝ)

dont les éléments sont les espérances

E(Z_(i, j))

, soit

E(Z) = (E(Z_(i, j)))_(1 ⩽ i ⩽ n; 1 ⩽ j ⩽ r)

.
Si

Z

W

sont deux matrices aléatoires à

n

lignes et

r

colonnes admettant chacune une espérance, et si

λ

est réel, on remarquera que

E(λZ + W) = λE(Z) + E(W)

.
Dans le cas où

n = r

, on appelle trace de

Z

, notée

tr(Z)

, la variable aléatoire définie par

tr(Z) = \sum_(i = 1)^n Z_(i, i)

et si

n = r = 1

, la matrice aléatoire

Z

coïncide avec la variable aléatoire

Z

et on a

tr(Z) = Z

.
Dans le cas où

r = 1

n

est quelconque, si

T = ^t(T_1\dotsT_n)

W = ^t(W_1\dotsW_n)

sont deux vecteurs aléatoires de

ℝ^n

, et si

λ

est un réel quelconque, on définit le vecteur aléatoire

λT + W

ℝ^n

par

λT + W = ^t(λT_1 + W_1\dotsλT_n + W_n)

a) Soit

Z

une matrice aléatoire à

n

lignes et

r

colonnes admettant une espérance

E(Z)

. On considère une matrice

A

M_(r, n)(ℝ)

. Montrer que

E(AZ) = AE(Z)

. Soit

B

un élément de

M_(r, q)(ℝ)

, avec

q \in ℕ^*

. Montrer que

E(ZB) = E(Z)B

.
b) Soit

Z

une matrice aléatoire à

n

lignes et

n

colonnes admettant une espérance

E(Z)

. Établir les deux égalités :

E(^t Z) = ^t(E(Z))

E(tr(Z)) = tr(E(Z))

.
3. Dans cette question,

Y

désigne un vecteur aléatoire de

ℝ^n

, noté

Y = (Y_1; ⋮; Y_n)

, admettant une espérance

E(Y)

et une matrice de variance-covariance notée

V(Y)

.
On rappelle que

V(Y) = E[(Y - E(Y)) \times ^t(Y - E(Y))]

.
On admet que la définition et les propriétés de la matrice de variance-covariance

V(Y)

d'un vecteur aléatoire discret restent valables pour un vecteur aléatoire dont les composantes sont des variables aléatoires quelconques (discrètes ou à densité).
Ainsi, en supposant que pour tout

i

[ [1, n] ]

et pour tout

j

[ [1, n] ]

, la variable aléatoire

Y_i Y_j

possède un moment d'ordre 1 au moins, on définit la covariance de

Y_i

Y_j parcov(Y_i, Y_j) = E(Y_i Y_j) - E(Y_i)E(Y_j)

, et si

Y_i

Y_j

sont indépendantes, alors

cov(Y_i, Y_j) = 0

.
a) Montrer que, pour tout vecteur aléatoire

Y

ℝ^n, V(Y) = E(Y^t Y) - E(Y)E(^t Y)

.
b) Soit

B

une matrice de

M_(r, n)(ℝ)

. Justifier l'égalité

V(BY) = BV(Y)^t B

.
c) Soit

A

une matrice de

M_n(ℝ)

. On pose

m = E(Y)

J = V(Y)

. Établir les égalités :

E(^t YAY) = tr(A \cdot E(Y^t Y))

E(^t YAY) = tr(AJ) + ^t mAm

Partie II. Le modèle linéaire

Dans les parties II.A et II.B,

n

k

sont deux entiers donnés qui vérifient

1 ⩽ k < n

. L'espace vectoriel

ℝ^n

est muni de sa structure euclidienne canonique. Toutes les variables aléatoires considérées sont définies sur un espace probabilisé (

Ω, A, μ

) et admettent des moments d'ordre au moins 2 .
On considère un échantillon de

n

individus extrait d'une population donnée. Ces individus sont décrits à l'aide de

k

variables statistiques réelles (caractères)

C_1, C_2, \dots, C_k

.
Pour tout entier

j

[ [1, k] ]

, chaque caractère

C_j

fait l'objet de

n

observations notées

x_(1, j), \dots, x_(n, j)

. On définit ainsi une application linéaire

f

ℝ^k

dans

ℝ^n

, dont la matrice dans les bases canoniques de

ℝ^k

ℝ^n

est la matrice

X = (x_(i, j))_(1 ⩽ i ⩽ n; 1 ⩽ j ⩽ k)

M_(n, k)(ℝ)

. On suppose que le rang de

X

est égal à

k

.
Soit

U = (U_1; ⋮; U_n)

un vecteur aléatoire de

ℝ^n

, dont les composantes

U_1, \dots, U_n

sont des variables aléatoires réelles définies sur (

Ω, A, μ

), mutuellement indépendantes et de même loi. On suppose que

E(U) = 0_n

V(U) = σ^2 I_n

, où

0_n

désigne le vecteur nul de

ℝ^n, I_n

la matrice identité de

M_n(ℝ)

σ

un réel strictement positif inconnu.
Soit

α = (α_1; ⋮; α_k)

un vecteur non nul de

ℝ^k

dont les composantes

α_1, \dots, α_k

sont inconnues (

α

est un paramètre vectoriel)

On considère un vecteur aléatoire non nul,

Y = (Y_1; ⋮; Y_n)

ℝ^n

tel que, pour tout

i

[ [1, n] ]

, la variable aléatoire

Y_i

définie sur

(Ω, A, μ)

s'écrit

Y_i = \sum_(j = 1)^k x_(i, j)α_j + U_i

.
Sous forme matricielle, le modèle linéaire s'écrit

Y = Xα + U

. On s'intéresse dans cette partie II, à l'étude de quelques propriétés de ce modèle, liées à l'estimation des paramètres inconnus

α_1, α_2, \dots, α_k

σ^2

.
Pour cela, on désigne par

y

et on note

y = (y_1; ⋮; y_n)

, le vecteur non nul de

ℝ^n

qui représente la réalisation sur l'échantillon considéré du vecteur aléatoire

Y

; ainsi, pour tout

i

[ [1, n] ], y_i

est la réalisation de la variable aléatoire

Y_i

.
Soit

u = (u_1; ⋮; u_n)

le vecteur de

ℝ^n

, dit vecteur d'écart, défini par

u = y - Xα

A. Quelques résultats algébriques

On considère l'endomorphisme $h$ de $ℝ^k$ dont la matrice $H$ , dans la base canonique de $ℝ^k$ , est définie par $H = ^t XX$ .
a) Montrer que $H$ est une matrice symétrique réelle de $M_k(ℝ)$ .
b) En étudiant le noyau de $h$ , montrer que le rang de $h$ est égal à $k$ . En déduire que la matrice $H$ est inversible. On notera $H^(- 1)$ son inverse.
Dans cette question, on veut trouver, en fonction de $y$ et $X$ , les vecteurs $α$ de $ℝ^k$ qui minimisent $‖u‖$ . Montrer que ce problème admet une unique solution $αˆ$ définie par $αˆ = (α_1 ˆ; ⋮; α_n ˆ) = H^(- 1)^t Xy$ .
Soit $p$ le projecteur orthogonal de $ℝ^n$ sur le sous-espace vectoriel engendré par les colonnes de la matrice $X$ . On note $P$ la matrice de $p$ dans la base canonique de $ℝ^n$ .
a) Montrer que $p(y) = Xα^$ . En déduire que $P = XH^(- 1)^t X$ . Vérifier que $P = P^2 = ^t P$ .
b) Établir que le rang de $P$ et la trace de $P$ sont égaux. Quelle est leur valeur commune?
c) Montrer que les colonnes de $X$ constituent une base de vecteurs propres de la matrice $P$ , associés à la valeur propre 1.
d) Montrer qu'il existe une matrice $S$ de $M_n(ℝ)$ , orthogonale, telle que $P = SD^t S$ , où $D = (d_(i, j))_(1 ⩽ i, j ⩽ n)$ est la matrice diagonale définie par :

{d_(i, i) = 1, si 1 ⩽ i ⩽ k; d_(i, j) = 0, sinon

Préciser les

k

premières colonnes de

S

.
4. Soit

uˆ

le vecteur de

ℝ^n

défini par

uˆ = y - Xαˆ

.
a) On pose

Q = I_n - P

. Montrer que

uˆ = Qu

. Vérifier que

Q = Q^2 = ^t Q

. Calculer la trace de

Q

.
b) Exprimer

^t uˆuˆ

^t yQy

en fonction de

Q

u

.
5. Par définition, on dit qu'une matrice

A

symétrique réelle d'ordre

n

est positive, si pour tout vecteur

z

ℝ^n

, on a

t_z Az ⩾ 0

.
a) Montrer que

A

, symétrique réelle, est positive si et seulement si ses valeurs propres sont positives ou nulles.
b) Soit

L

une matrice appartenant à

M_(n, k)(ℝ)

. Établir que

^t LL

est symétrique réelle positive.

B. Estimation des paramètres $α_1, α_2, \dots, α_k$ et $σ^2$

Soit $Gˆ$ le vecteur aléatoire de $ℝ^k$ défini par: $Gˆ = H^(- 1)^t XY$ .
a) Établir que $E(Y) = Xα$ , et que $V(Y) = σ^2 I_n$ . En déduire que $E(Gˆ) = α$ ( $Gˆ$ est un estimateur sans biais de $α$ , tandis que $αˆ$ est une estimation sans biais de $α$ ).
b) Montrer que $V(Gˆ) = σ^2 H^(- 1)$ .
On veut montrer dans cette question, que dans l'ensemble des estimateurs sans biais du paramètre $α$ , de la forme $^t BY$ , où $B$ est une matrice quelconque, non nulle de $M_(n, k)(ℝ)$ , l'estimateur $Gˆ$ est optimal dans le sens suivant : tout autre estimateur $G^*$ sans biais du paramètre $α$ , de la forme $^t BY$ est tel que la matrice $V(G^*) - V(Gˆ)$ est positive.
Soit $B$ une matrice non nulle de $M_(n, k)(ℝ)$ . On considère le vecteur aléatoire $Cˆ = ^t BY$
a) Quelle condition doit satisfaire la matrice $B$ pour que, pour tout vecteur $α$ de $ℝ^k, Cˆ$ soit un estimateur sans biais de $α$ ?
b) En supposant cette condition vérifiée, on pose $^t F = ^t B - H^(- 1)^t X$ . Calculer $^t FX$ , et montrer que la matrice $V(Cˆ) - V(Gˆ)$ est positive.
On désigne par $Uˆ$ le vecteur aléatoire de $ℝ^n$ défini par $Uˆ = (U_1 ˆ; ⋮; U_n ˆ) = Y - XGˆ$ .
a) Montrer que $Uˆ = QU$ .
b) Déterminer $E(Uˆ)$ et $V(Uˆ)$ . Les variables aléatoires $U_1 ˆ, \dots, U_n ˆ$ sont-elles indépendantes?
c) Montrer que $^t UˆUˆ = \sum_(i = 1)^n Uˆ_i^2 = ^t UQU = ^t YQY$ .
d) Calculer $E(^t UˆUˆ)$ . En déduire que la variable aléatoire $s_n$ définie par $s_n = (^t UˆUˆ)/(n - k) = (^t YQY)/(n - k)$ est un estimateur sans biais de $σ^2$ .

C. Étude d'une suite d'estimateurs

Dans cette partie,

k

est fixé dans

ℕ^*

. On veut montrer que la suite d'estimateurs

(s_n)_(n ⩾ k + 1)

σ^2

, est convergente.
On suppose que, pour tout

i

[ [1, n] ]

, la variable aléatoire

U_i

possède des moments d'ordre 3 et 4 avec

E(U_i^3) = 0

E(U_i^4) = 3σ^4

. On pose

Q = (q_(i, j))_(1 ⩽ i, j ⩽ n)

Établir que $^t UQU = \sum_(i = 1)^n\sum_(j = 1)^n q_(i, j)U_i U_j$ .
Montrer que $E[(^t UQU)^2] = σ^4[(tr(Q))^2 + 2tr(Q^2)]$ . En déduire que $E[(^t UQU)^2] = σ^4(n - k)(n - k + 2)$ .
Calculer la variance $V(s_n)$ de la variable aléatoire $s_n$ . Conclure.

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Partie I. Trace et matrices aléatoires

Partie II. Le modèle linéaire

A. Quelques résultats algébriques

B. Estimation des paramètres α_1, α_2, …, α_k et σ^2

C. Étude d'une suite d'estimateurs

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B. Estimation des paramètres $α_1, α_2, \dots, α_k$ et $σ^2$