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BCE Maths approfondies HEC/ESCP ECS 2006

Epreuve de maths approfondies - ECS 2006

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Probabilités finies, discrètes et dénombrementProbabilités continuesPolynômes et fractionsSuites et séries de fonctionsIntégrales généraliséesStatistiques
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Banque
BCE
Année
2006
Filière
ECS
Matière
Mathématiques
Annales BCE ECS MathématiquesBCE ECS 2006ECS MathématiquesMathématiques 2006

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Description

Annale de maths approfondies BCE HEC/ESCP pour la filiere ECS, session 2006.

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568b6008-0c72-4272-8ac0-614e825989f1

BANQUE COMMUNE D'EPREUVES

Concepteurs : H.E.C. - E.S.C.P. - E.A.P.

OPTION : SCIENTIFIQUE
MATHEMATIQUES II
CODE EPREUVE :
283
CCIP_M2_S
Mercredi 10 Mai 2006, de 14 h. à 18 h.
La présentation, la lisibilité, l'orthographe, la qualité de la rédaction, la clarté et la précision des raisonnements entreront pour une part importante dans l'appréciation des copies.
Les candidats sont invités à encadrer dans la mesure du possible les résultats de leurs calculs.
Ils ne doivent faire usage d'aucun document : l'utilisation de toute calculatrice et de tout matériel électronique est interdite.
Seule l'utilisation d'une règle graduée est autorisée.
Le problème a pour objet l'étude de quelques propriétés concernant le nombre de racines réelles d'un polynôme de degré , à coefficients réels fixés ou aléatoires.
Dans les parties II et III, les polynômes considérés sont à coefficients réels et on pourra confondre polynôme et fonction polynomiale associée.
Pour toute fonction dérivable sur son domaine de définition, la dérivée de est notée .
Les quatre parties du problème sont, dans une large mesure, indépendantes.

Partie I. Nombre de racines réelles d'un polynôme du second degré à coefficients aléatoires

On considère dans cette partie, deux variables aléatoires réelles et définies sur le même espace probabilisé ( ), indépendantes et de même loi.
Pour tout de , on considère le polynôme d'indéterminée , défini par :
On désigne par le nombre de racines réelles de .
  1. Montrer que l'application qui, à tout de associe , est une variable aléatoire définie sur ( ).
  2. Soit une variable aléatoire définie sur ( ), qui suit une loi de Bernoulli de paramètre ). On suppose dans cette question que et suivent la même loi que .
    a) Déterminer la loi de .
    b) Déterminer la loi de et calculer son espérance .
Dans les questions suivantes, on suppose que et suivent une même loi exponentielle de paramètre . On pose : , et on note et , les fonctions de répartition de et , respectivement.
3. Montrer que l'on a, pour tout réel :
En déduire l'expression d'une densité de et d'une densité de .
4. Soit la fonction définie sur , où exp désigne la fonction exponentielle.
a) Établir la convergence de l'intégrale impropre .
b) En déduire qu'une densité de la variable aléatoire est donnée, pour tout réel, par :
  1. On désigne par la fonction de répartition d'une variable aléatoire qui suit la loi normale centrée, réduite.
    a) Justifier la validité du changement de variable dans l'intégrale impropre .
    b) En déduire que , et donner, pour tout réel négatif, l'expression de en fonction de .
    c) Montrer que, pour tout réel positif, on a : .
    d) Déterminer la loi de et son espérance (on fera intervenir le nombre ).

Partie II. Suites de Sturm

Soit un entier supérieur ou égal à 1 , et soit un polynôme normalisé donné, à coefficients réels. On suppose que toutes les racines réelles de sont simples.
L'objectif de cette partie est de décrire un algorithme permettant de déterminer le nombre de racines réelles de appartenant à un intervalle donné .
On associe au polynôme , la suite de polynômes définie de la manière suivante : , et pour tout entier tel que , le polynôme est l'opposé du reste de la division euclidienne de par . Si , on pose .
  1. Montrer qu'il existe un entier , tel que . On note , le dernier polynôme non nul de la suite .
    Dans toute cette partie, on pose :
  1. a) Montrer que s'il existe un entier de et un réel tels que , alors .
    b) En déduire que le polynôme n'admet pas de racine réelle.
    c) Soit un entier de . Montrer que si est une racine réelle de , alors .
  2. Soit une -liste de nombres réels non tous nuls. On ôte de tous les éléments nuls en préservant l'ordre, et on obtient ainsi une -liste . On appelle nombre de changements de signe de , le nombre d'éléments de l'ensemble défini par : .
    Si , on dit que le nombre de changements de signe est nul.
    Par exemple, si , on a : , et le nombre de changements de signe est égal à 2 .
    Pour tout réel , on note respectivement et , le nombre de changements de signe du couple , de la -liste , et de la -liste . On désigne par une racine réelle du polynôme .
    a) En étudiant les variations de au voisinage de , montrer qu'il existe un réel tel que, si , on a : .
    b) À l'aide de la question 2. c), montrer qu'il existe un réel tel que, si , on a :
    (on distinguera les deux éventualités : soit, n'est racine d'aucun des polynômes , soit, il existe un entier de tel que ).
    c) Déduire des deux questions précédentes que pour et , on a , et que si et sont deux réels qui ne sont pas racines de et qui vérifient , alors le nombre de racines réelles de dans est égal à .
  3. a) Soit une racine (réelle ou complexe) de . Montrer que si , alors . En déduire, pour toute racine de , l'inégalité : .
    b) Écrire en français, un algorithme permettant de déterminer le nombre de racines réelles de .
  4. On définit en Pascal
    const ;
    Type tab = array [ ] of real ;
    Var T : tab ;
    Écrire une fonction Pascal dont l'en-tête est Function nbchgs( : tab) : integer qui donne le nombre de changements de signe dans la suite de réels ( ).
    On tiendra compte du fait que le tableau T peut contenir des éléments nuls. La fonction nbchgs n'utilisera que le tableau T et aucun autre tableau auxiliaire. On expliquera en français la démarche utilisée.

Partie III. Un majorant du nombre de racines réelles de

Soit un polynôme de tel que , avec et . On note le polynôme réciproque du polynôme , défini par : . Soit un entier de . On considère l'application qui, à tout polynôme de degré , normalisé, à coefficients réels, , associe le polynôme défini par .
On désigne par le nombre de racines non nulles de dans l'intervalle [ ] comptées avec leurs ordres de multiplicité, par le nombre de racines de dans comptées avec leurs ordres de multiplicité, et par le nombre de racines réelles de comptées avec leurs ordres de multiplicité.
  1. a) Établir, à l'aide du théorème de Rolle, l'inégalité : .
    b) Pour tout de , on pose ( fois). Montrer que .
  2. a) Montrer que pour tout réel non nul, on a .
    b) Montrer que .
  3. Pour tout réel et pour tout entier naturel non nul, on pose :
    . Montrer que .
  4. a) Établir, pour tout réel de , l'inégalité : .
    b) On admet la propriété suivante : soit et deux réels tels que . On note . Soit un polynôme de tel que . Soit un réel strictement positif tel que pour tout de , . Alors, le nombre de racines réelles de comptées avec leurs ordres de multiplicité, dans l'intervalle , est majoré par le réel : .
    En appliquant cette propriété au polynôme avec et , déduire des questions précédentes que pour tout de , on a : , avec .
    c) Soit la fonction définie sur par : , où est un paramètre réel positif.
    i) Étudier les variations de .
    ii) Montrer que .
    iii) En déduire l'inégalité : .
    d) En supposant , on démontrerait de même (et on admettra dans la suite du problème) que :
Conclure en donnant un majorant de , fonction des coefficients .

Partie IV. Nombre de racines réelles d'un polynôme de degré à coefficients aléatoires

Pour entier supérieur ou égal à 2 , on considère dans cette partie, les variables aléatoires réelles définies sur le même espace probabilisé ( ), indépendantes et de même loi de Poisson de paramètre , strictement positif.
Pour tout de , on considère le polynôme d'indéterminée , défini par :
Soit le nombre de racines réelles de . On admet que l'application est une variable aléatoire définie sur ( ).
  1. On définit la variable aléatoire par : . Soit . Rappeler la loi de .
  2. À l'aide des résultats de la partie III, montrer que pour tout de , on a :
  1. Soit une fonction de classe , concave sur . Soit une variable aléatoire définie sur ( ), à valeurs dans . On suppose l'existence des espérances et .
    a) Montrer que, pour tout couple ( de réels positifs, on a : .
    b) En prenant , établir l'inégalité suivante : .
  2. a) Montrer que la fonction définie sur par est concave sur .
    b) Soit un réel positif. Montrer que la série de terme général est convergente.
  3. a) Prouver l'existence de l'espérance .
    b) Montrer que, pour tout réel strictement supérieur à , on a :

* FIN *

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