BCE Maths approfondies HEC/ESCP ECS 2006, épreuve 2Sujet et corrigé

Epreuve de maths approfondies - ECS 2006

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BanqueBCE Année2006 FilièreECS MatièreMathématiques

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Annale de maths approfondies BCE HEC/ESCP pour la filiere ECS, session 2006.

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BANQUE COMMUNE D'EPREUVES

Concepteurs : H.E.C. - E.S.C.P. - E.A.P.

OPTION : SCIENTIFIQUE
MATHEMATIQUES II

CODE EPREUVE :
283
CCIP_M2_S

Mercredi 10 Mai 2006, de 14 h. à 18 h.

La présentation, la lisibilité, l'orthographe, la qualité de la rédaction, la clarté et la précision des raisonnements entreront pour une part importante dans l'appréciation des copies.
Les candidats sont invités à encadrer dans la mesure du possible les résultats de leurs calculs.
Ils ne doivent faire usage d'aucun document : l'utilisation de toute calculatrice et de tout matériel électronique est interdite.
Seule l'utilisation d'une règle graduée est autorisée.

Le problème a pour objet l'étude de quelques propriétés concernant le nombre de racines réelles d'un polynôme de degré

n, (n ⩾ 1)

, à coefficients réels fixés ou aléatoires.

Dans les parties II et III, les polynômes considérés sont à coefficients réels et on pourra confondre polynôme et fonction polynomiale associée.
Pour toute fonction

Ψ

dérivable sur son domaine de définition, la dérivée de

Ψ

est notée

Ψ^'

.
Les quatre parties du problème sont, dans une large mesure, indépendantes.

Partie I. Nombre de racines réelles d'un polynôme du second degré à coefficients aléatoires

On considère dans cette partie, deux variables aléatoires réelles

X_0

X_1

définies sur le même espace probabilisé (

Ω, A, P

), indépendantes et de même loi.
Pour tout

ω

Ω

, on considère le polynôme

Q_ω

d'indéterminée

y

, défini par :

Q_ω(y) = y^2 + X_1(ω)y + X_0(ω)

On désigne par

M(ω)

le nombre de racines réelles de

Q_ω

Montrer que l'application $M$ qui, à tout $ω$ de $Ω$ associe $M(ω)$ , est une variable aléatoire définie sur ( $Ω, A, P$ ).
Soit $Z$ une variable aléatoire définie sur ( $Ω, A, P$ ), qui suit une loi de Bernoulli de paramètre $p(p \in ]0, 1[$ ). On suppose dans cette question que $X_0$ et $X_1$ suivent la même loi que $2Z - 1$ .
a) Déterminer la loi de $X_0$ .
b) Déterminer la loi de $M$ et calculer son espérance $E(M)$ .

Dans les questions suivantes, on suppose que

X_0

X_1

suivent une même loi exponentielle de paramètre

1/2

. On pose :

Y_0 = - 4X_0, Y_1 = X_1^2, Y = Y_1 + Y_0

, et on note

F_(Y_0), F_(Y_1)

F_Y

, les fonctions de répartition de

Y_0, Y_1

Y

, respectivement.
3. Montrer que l'on a, pour tout

x

réel :

F_(Y_1)(x) = {1 − e^(− √x/2), si x > 0; 0, si x ⩽ 0 et F_(Y_0)(x) = {1, si x ⩾ 0; e^(x/8), si x < 0

En déduire l'expression d'une densité

f_(Y_0)

Y_0

et d'une densité

f_(Y_1)

Y_1

.
4. Soit

g

la fonction définie sur

ℝ^(+ *)parg(t) = 1/(\sqrtt) \times exp[ - 1/2(t/4 + \sqrtt)]

, où exp désigne la fonction exponentielle.
a) Établir la convergence de l'intégrale impropre

\int_0^(+ \infty)g(t)dt

.
b) En déduire qu'une densité

f_Y

de la variable aléatoire

Y

est donnée, pour tout

x

réel, par :

f_Y(x) = {1/(32)e^(x/8)∫_0^(+ ∞)g(t)dt, si x < 0; 1/(32)e^(x/8)∫_x^(+ ∞)g(t)dt, si x ⩾ 0

On désigne par $Φ$ la fonction de répartition d'une variable aléatoire qui suit la loi normale centrée, réduite.
a) Justifier la validité du changement de variable $u = \sqrtt$ dans l'intégrale impropre $\int_0^(+ \infty)g(t)dt$ .
b) En déduire que $\int_0^(+ \infty)g(t)dt = 4\sqrte\int_1^(+ \infty)e^(- v^2/2)dv$ , et donner, pour tout réel $x$ négatif, l'expression de $f_Y(x)$ en fonction de $Φ$ .
c) Montrer que, pour tout réel $x$ positif, on a : $f_Y(x) = (\sqrt(2πe))/8e^(x/8)[1 - Φ((\sqrtx)/2 + 1)]$ .
d) Déterminer la loi de $M$ et son espérance $E(M)$ (on fera intervenir le nombre $Φ(1)$ ).

Partie II. Suites de Sturm

Soit

n

un entier supérieur ou égal à 1 , et soit

P(X) = X^n + a_(n - 1)X^(n - 1) + \dots + a_1 X + a_0

un polynôme normalisé

(a_n = 1)

donné, à coefficients réels. On suppose que toutes les racines réelles de

P

sont simples.
L'objectif de cette partie est de décrire un algorithme permettant de déterminer le nombre de racines réelles de

P

appartenant à un intervalle donné

[a, b]

.
On associe au polynôme

P

, la suite

(R_i)_(i ⩾ 0)

de polynômes définie de la manière suivante :

R_0 = P, R_1 = - P^'

, et pour tout entier

j

tel que

R_(j + 1) \neq 0

, le polynôme

R_(j + 2)

est l'opposé du reste de la division euclidienne de

R_j

par

R_(j + 1)

. Si

R_(j + 1) = 0

, on pose

R_(j + 2) = 0

Montrer qu'il existe un entier $k(k ⩾ 2)$ , tel que $R_k = 0$ . On note $R_m, (m ⩾ 1)$ , le dernier polynôme non nul de la suite $(R_i)_(i ⩾ 0)$ .
Dans toute cette partie, on pose :

{R_0 = S_1 R_1 − R_2; R_1 = S_2 R_2 − R_3; ⋮; R_(m − 2) = S_(m − 1)R_(m − 1) − R_m; R_(m − 1) = S_m R_m

a) Montrer que s'il existe un entier $j$ de $[ [0, m - 1] ]$ et un réel $x_0$ tels que $R_j(x_0) = R_(j + 1)(x_0) = 0$ , alors $P(x_0) = P^'(x_0) = 0$ .
b) En déduire que le polynôme $R_m$ n'admet pas de racine réelle.
c) Soit $j$ un entier de $[ [1, m - 1] ]$ . Montrer que si $x_0$ est une racine réelle de $R_j$ , alors $R_(j - 1)(x_0) \times R_(j + 1)(x_0) < 0$ .
Soit $s = (s_1, s_2, \dots, s_t)$ une $t$ -liste $(t ⩾ 2)$ de nombres réels non tous nuls. On ôte de $s$ tous les éléments nuls en préservant l'ordre, et on obtient ainsi une $p$ -liste $(p ⩽ t)sˆ = (s_1 ˆ, s_2 ˆ, \dots, s_p ˆ)$ . On appelle nombre de changements de signe de $s$ , le nombre d'éléments de l'ensemble $E$ défini par : $E = {i ∈ [ [1, p − 1] ]|s_i ˆs_(i + 1)ˆ < 0}$ .
Si $p = 1$ , on dit que le nombre de changements de signe est nul.
Par exemple, si $s = (0, 3, 0, 5, - 3, 2)$ , on a : $sˆ = (3, 5, - 3, 2)$ , et le nombre de changements de signe est égal à 2 .
Pour tout réel $x$ , on note respectivement $C_1(x), C_2(x)$ et $C(x)$ , le nombre de changements de signe du couple $(R_0(x), R_1(x))$ , de la $m$ -liste $(R_1(x), R_2(x), \dots, R_m(x))$ , et de la $(m + 1)$ -liste $(R_0(x), R_1(x), R_2(x), \dots, R_m(x))$ . On désigne par $x_0$ une racine réelle du polynôme $P$ .
a) En étudiant les variations de $P$ au voisinage de $x_0$ , montrer qu'il existe un réel $δ_1 > 0$ tel que, si $h \in ]0, δ_1[$ , on a : $C_1(x_0 + h) - C_1(x_0 - h) = 1$ .
b) À l'aide de la question 2. c), montrer qu'il existe un réel $δ_2 > 0$ tel que, si $h \in ]0, δ_2[$ , on a :
$C_2(x_0 + h) = C_2(x_0 - h)$ (on distinguera les deux éventualités : soit, $x_0$ n'est racine d'aucun des polynômes $R_1, R_2, \dots, R_m$ , soit, il existe un entier $j$ de $[ [1, m - 1] ]$ tel que $R_j(x_0) = 0$ ).
c) Déduire des deux questions précédentes que pour $δ = min(δ_1, δ_2)$ et $h \in ]0, δ[$ , on a $C(x_0 + h) - C(x_0 - h) = 1$ , et que si $a$ et $b$ sont deux réels qui ne sont pas racines de $P$ et qui vérifient $a < b$ , alors le nombre de racines réelles de $P$ dans $[a, b]$ est égal à $C(b) - C(a)$ .
a) Soit $α$ une racine (réelle ou complexe) de $P$ . Montrer que si $|α| ⩾ 1$ , alors $|α|^n ⩽ |α|^(n - 1) \times \sum_(k = 0)^(n - 1)|a_k|$ . En déduire, pour toute racine $α$ de $P$ , l'inégalité : $|α| ⩽ 1 + \sum_(k = 0)^(n - 1)|a_k|$ .
b) Écrire en français, un algorithme permettant de déterminer le nombre de racines réelles de $P$ .
On définit en Pascal
const $n = \dots$ ;
Type tab = array [ $1.n$ ] of real ;
Var T : tab ;
Écrire une fonction Pascal dont l'en-tête est Function nbchgs( $T$ : tab) : integer qui donne le nombre de changements de signe dans la suite de réels ( $T[1], T[2], \dots, T[n]$ ).
On tiendra compte du fait que le tableau T peut contenir des éléments nuls. La fonction nbchgs n'utilisera que le tableau T et aucun autre tableau auxiliaire. On expliquera en français la démarche utilisée.

Partie III. Un majorant du nombre de racines réelles de $P$

Soit

V

un polynôme de

ℝ[X]

tel que

V(X) = v_m X^m + v_(m - 1)X^(m - 1) + \dots + v_1 X + v_0

, avec

v_m \neq 0

m \in ℕ^*

. On note

V^⋆

le polynôme réciproque du polynôme

V

, défini par :

V^⋆(X) = v_0 X^m + v_1 X^(m - 1) + \dots + v_(m - 1)X + v_m

. Soit

n

un entier de

ℕ^*

. On considère l'application

T

qui, à tout polynôme

P

de degré

n

, normalisé, à coefficients réels,

P(X) = X^n + a_(n - 1)X^(n - 1) + \dots + a_1 X + a_0

, associe le polynôme

T(P)

défini par

T(P)(X) = XP^'(X)

.
On désigne par

N_0(P)

le nombre de racines non nulles de

P

dans l'intervalle [

- 1, 1

] comptées avec leurs ordres de multiplicité, par

N_1(P)

le nombre de racines de

P

dans

] - \infty, - 1] \cup [1, + \infty[

comptées avec leurs ordres de multiplicité, et par

N(P)

le nombre de racines réelles de

P

comptées avec leurs ordres de multiplicité.

a) Établir, à l'aide du théorème de Rolle, l'inégalité : $N_1(P) ⩽ N_1(T(P)) + 2$ .
b) Pour tout $k$ de $ℕ^*$ , on pose $T^k = T \circ T \circ \dots \circ T$ ( $k$ fois). Montrer que $N_1(P) ⩽ N_1(T^k(P)) + 2k$ .
a) Montrer que pour tout réel $x$ non nul, on a $P^⋆(x) = x^n P(1/x)$ .
b) Montrer que $N_1(P) = N_0(P^⋆)$ .
Pour tout réel $x$ et pour tout entier naturel $k$ non nul, on pose :
$Q_k(x) = 1 + a_(n - 1)(1 - 1/n)^k x + a_(n - 2)(1 - 2/n)^k x^2 + \dots + a_1(1 - (n - 1)/n)^k x^(n - 1)$ . Montrer que $(T^k(P))^⋆ = n^k Q_k$ .
a) Établir, pour tout réel $y$ de $[0, 1]$ , l'inégalité : $(1 - y)e^y ⩽ 1$ .
b) On admet la propriété suivante : soit $r$ et $ρ$ deux réels tels que $0 < r < ρ$ . On note $D_ρ = {z ∈ ℂ/|z| ⩽ ρ}$ . Soit $U$ un polynôme de $ℝ[X]$ tel que $U(0) \neq 0$ . Soit $μ$ un réel strictement positif tel que pour tout $z$ de $D_ρ$ , $|U(z)| ⩽ μ$ . Alors, le nombre de racines réelles de $U$ comptées avec leurs ordres de multiplicité, dans l'intervalle $[ - r, r]$ , est majoré par le réel : $1/(ln(ρ/r)) \times ln(μ/(|U(0)|))$ .
En appliquant cette propriété au polynôme $Q_k$ avec $r = 1$ et $ρ = e^(k/n), (k \in ℕ^*)$ , déduire des questions précédentes que pour tout $k$ de $ℕ^*$ , on a : $N_1(P) ⩽ 2k + n/kln(L(P))$ , avec $L(P) = 1 + \sum_(i = 0)^(n - 1)|a_i|$ .
c) Soit $ψ$ la fonction définie sur $ℝ^(+ *)$ par : $ψ(x) = 2x + θ/x$ , où $θ$ est un paramètre réel positif.
i) Étudier les variations de $ψ$ .
ii) Montrer que $ψ(\sqrt(θ/2) + 1) ⩽ 2 + 2\sqrt(2θ)$ .
iii) En déduire l'inégalité : $N_1(P) ⩽ 2 + 2\sqrt(2nln(L(P)))$ .
d) En supposant $a_0 \neq 0$ , on démontrerait de même (et on admettra dans la suite du problème) que :

N_0(P) ⩽ 2 + 2\sqrt(2nln((L(P))/(|a_0|)))

Conclure en donnant un majorant de

N(P)

, fonction des coefficients

a_0, a_1, \dots, a_(n - 1)

Partie IV. Nombre de racines réelles d'un polynôme de degré $n$ à coefficients aléatoires

Pour

n

entier supérieur ou égal à 2 , on considère dans cette partie, les variables aléatoires réelles

X_1, X_2, \dots, X_(n - 1)

définies sur le même espace probabilisé (

Ω, A, P

), indépendantes et de même loi de Poisson de paramètre

λ

, strictement positif.
Pour tout

ω

Ω

, on considère le polynôme

Q_ω

d'indéterminée

y

, défini par :

Q_ω(y) = y^n + X_(n - 1)(ω)y^(n - 1) + \dots + X_1(ω)y + 1

Soit

M_n(ω)

le nombre de racines réelles de

Q_ω

. On admet que l'application

M_n : ω \mapsto M_n(ω)

est une variable aléatoire définie sur (

Ω, A, P

On définit la variable aléatoire $L_n$ par : $L_n = 2 + \sum_(i = 1)^(n - 1)X_i$ . Soit $Z_n = L_n - 2$ . Rappeler la loi de $Z_n$ .
À l'aide des résultats de la partie III, montrer que pour tout $ω$ de $Ω$ , on a :

M_n(ω) ⩽ 4 + 4\sqrt(2n) \times \sqrt(ln(Z_n(ω) + 2))

Soit $h$ une fonction de classe $C^2$ , concave sur $ℝ^+$ . Soit $W$ une variable aléatoire définie sur ( $Ω, A, P$ ), à valeurs dans $ℕ$ . On suppose l'existence des espérances $E(W)$ et $E(h(W))$ .
a) Montrer que, pour tout couple ( $x_0, x)$ de réels positifs, on a : $h(x) ⩽ h^'(x_0)(x - x_0) + h(x_0)$ .
b) En prenant $x_0 = E(W)$ , établir l'inégalité suivante : $E(h(W)) ⩽ h(E(W))$ .
a) Montrer que la fonction $φ$ définie sur $ℝ^+$ par $φ(x) = \sqrt(ln(x + 2))$ est concave sur $ℝ^+$ .
b) Soit $a$ un réel positif. Montrer que la série de terme général $\sqrt(ln(k + 2)) \times (a^k)/(k!)$ est convergente.
a) Prouver l'existence de l'espérance $E(M_n)$ .
b) Montrer que, pour tout réel $β$ strictement supérieur à $1/2$ , on a :

lim_(n \to + \infty)(E(M_n))/(n^β) = 0

* FIN *

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* FIN *

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