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BCE Maths appliquées emlyon ECE 2001Sujet et corrigé

Epreuve de maths appliquées - ECE 2001

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Annale de maths appliquées BCE emlyon pour la filiere ECE, session 2001.

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Programme ESC d'E.M.LYON

CONCOURS D'ENTREE 2001

MATHEMATIQUES 1ère épreuve (option économique)

Les candidats ne doivent pas faire usage d'aucun document; l'utilisation de toute calculatrice et de tout matériel électronique est interdite.
Seule l'utilisation d'une règle graduée est autorisée.

Exercice 1

On considère la matrice carrée réelle d'ordre quatre :
A = (1, 0, 0, − 1; 1, 0, 0, − 1; 0, 1, 0, − 1; 0, 0, 1, − 1)
et l'endomorphisme f de ℝ^4 dont la matrice dans la base canonique B = (e_1, e_2, e_3, e_4) de ℝ^4 est A.
  1. Montrer que A n'est pas inversible. En déduire que 0 est valeur propre de A.
  2. (a) Calculer A^2, A^3, A^4.
    (b) Etablir que 0 est la seule valeur propre de f.
    (c) Déterminer la dimension du noyau de f.
    (d) Est-ce que f est diagonalisable ?
  3. On note ε_1 = e_1, ε_2 = f(ε_1), ε_3 = f(ε_2), ε_4 = f(ε_3), et C = (ε_1, ε_2, ε_3, ε_4).
    (a) Montrer que C est une base de ℝ^4.
    (b) Déterminer la matrice N de f relativement à la base C de ℝ^4.
  4. Existe-t-il un automorphisme g de l'espace vectoriel ℝ^4 tel que g ∘ f ∘ g^(− 1) = f^2 ?

Exercice 2

On considère l'application f : [0; + ∞[ ⟶ ℝ, définie, pour tout x de [0; + ∞[, par :
f(x) = {x/(e^x − 1), si x > 0; 1, si x = 0
  1. (a) Montrer que f est continue sur [0; + ∞[.
    (b) Montrer que f est de classe C^1 sur ]0; + ∞[. Pour tout x ∈ ]0, + ∞[, calculer f^′(x).
    (c) Montrer que f^′(x) tend vers − 1/2 lorsque x tend vers 0 .
    (d) En déduire que f est C^1 sur [0; + ∞[.
  2. (a) Montrer que f est de classe C^2 sur ]0; + ∞[ et que: ∀x ∈ ]0; + ∞[ f^(′′)(x) = (e^x)/((e^x − 1)^3)(xe^x − 2e^x + x + 2)
    (b) Etudier les variations de la fonction g : [0; + ∞[ ⟶ ℝ, définie, pour tout x de [0; + ∞[, par:
g(x) = xe^x − 2e^x + x + 2
En déduire : ∀x ∈ ]0; + ∞[, f^(′′)(x) > 0.
(c) En déduire le sens de variation de f. On précisera la limite de f en + ∞. Dresser le tableau de variation de f.
(d) Tracer l'allure de la courbe représentative de f.
3. On considère la suite (u_n)_(n ⩾ 0) définie par u_0 = 0 et : ∀n ∈ ℕ, u_(n + 1) = f(u_n).
(a) Montrer :
∀x ∈ [0; + ∞[, |f^′(x)| ⩽ 1/2 et 0 ⩽ f(x) ⩽ 1
(b) Résoudre l'équation f(x) = x, d'inconnue x ∈ ]0; + ∞[.
(c) Montrer :
∀n ∈ ℕ |u_(n + 1) − ln2| ⩽ 1/2|u_n − ln2|
(d) Etablir que la suite (u_n)_(n ⩾ 0) converge et déterminer sa limite.

Exercice 3

  1. Pour tout entier naturel n, on considère la fonction f_n : ℝ ⟶ ℝ définie par :
∀t ∈ ℝ, f_n(t) = {(e^(− t)t^n)/(n!), si t > 0; 0, si t ⩽ 0
(a) Soit n ∈ ℕ. Montrer que lim_(t → + ∞)t^2 f_n(t) = 0.
En déduire que l'intégrale ∫_0^(+ ∞)f_n(t)dt est convergente.
(b) Montrer : ∀n ∈ ℕ^∗, ∀x ∈ [0; + ∞[, ∫_0^x f_n(t)dt = − (e^(− x)x^n)/(n!) + ∫_0^x f_(n − 1)(t)dt.
(c) En déduire: ∀n ∈ ℕ, ∫_0^x f_n(t)dt = 1
(d) Montrer que, pour tout entier naturel n, la fonction f_n est la densité de probabilité d'une variable aléatoire.
  1. Pour tout entier naturel n, on définit la variable aléatoire X_n admettant f_n pour densité de probabilité.
    (a) Montrer que, pour tout entier naturel n, l'espérance E(X_n) et la variance V(X_n) vérifient:
E(X_n) = n + 1 V(X_n) = n + 1
(b) Dans cette question, on suppose que n = 4. On donne les valeurs approchées à 10^(− 2) suivantes:
∫_0^4 f_4(t)dt ≃ 0, 37 ∫_0^6 f_4(t)dt ≃ 0, 71 ∫_0^8 f_4(t)dt ≃ 0, 90
Tracer l'allure de la courbe représentative de la fonction de répartition de X_4. Déterminer une valeur décimale approchée de la probabilité P(X_4 > 4) et une valeur décimale approchée de la probabilité P(4 < X_4 ⩽ 8).
3. Pour tout réel t > 0, on définit la variable aléatoire Y_t égale au nombre de voitures arrivant à un péage d'autoroute de l'instant 0 à l'instant t.
On suppose que la variable aléatoire Y_t suit une loi de Poisson de paramètre t.
(a) Rappeler, pour tout réel t > 0, les valeurs de l'espérance et de la variance de Y_t.
Pour tout entier naturel n non nul, on définit la variable aléatoire réelle Z_n, prenant ses valeurs dans ℝ^+, égale à l'instant d'arrivée de la n^(ième) voiture au péage à partir de l'instant 0 .
(b) Soient t ∈ ]0; + ∞[ et n ∈ ℕ^∗.
Justifier l'égalité de l'événement ( Z_n ⩽ t ) et de l'événement ( Y_t ⩾ n )
(c) En déduire, pour tout entier naturel n non nul, la fonction de répartition de la variable aléatoire réelle Z_n.
(d) Montrer que, pour tout entier naturel n non nul, la variable aléatoire Z_n admet f_(n − 1) comme densité de probabilité.
  • FIN -

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