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BCE Maths appliquées EDHEC ECE 2000Sujet et corrigé

Epreuve de maths appliquées - ECE 2000

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Étude d'une fonction logarithme, matrices centrosymétriques, suite définie implicitement et nombre de changements dans une suite de lancers
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Le sujet comprend trois exercices indépendants puis un problème de probabilités. L'exercice 1 étudie la fonction f(x) = ln(e^x - e^{-x}) et construit une densité de probabilité à partir de son comportement asymptotique. L'exercice 2 étudie l'espace des matrices 3x3 commutant avec une matrice de permutation. L'exercice 3 étudie une suite (u_n) définie comme unique racine positive de x^n + 9x^2 - 4. Le problème étudie la variable aléatoire comptant les changements de résultat lors de lancers répétés d'une pièce.

  1. 1Exercice 1 : étude d'une fonction et construction d'une densitéÉtude des variations de f(x) = ln(e^x - e^{-x}), de son asymptote, puis détermination d'une densité de probabilité liée à son comportement asymptotique.
  2. 2Exercice 2 : matrices commutant avec une matrice de permutationDétermination de la structure, d'une base et de la diagonalisabilité de l'espace vectoriel des matrices 3x3 vérifiant MK = KM = M pour une matrice de permutation K donnée.
  3. 3Exercice 3 : suite définie par une équation impliciteÉtude de la suite (u_n) définie comme l'unique solution positive de x^n + 9x^2 - 4 = 0, de sa monotonie, de sa convergence et de la convergence de la série associée.
  4. 4Problème : nombre de changements dans une suite de lancersÉtude de la variable aléatoire X_n comptant les changements de résultat lors de n lancers d'une pièce, dans le cas p différent de q puis dans le cas p = q où X_n suit une loi binomiale.

Description

Annale de maths appliquées BCE EDHEC pour la filiere ECE, session 2000.

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MATHEMATIQUES
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Mercredi 3 mai 2000, de 8h à 12h

La présentation, la lisibilité, l'orthographe, la qualité de la rédaction, la clarté et la précision des raisonnements entreront pour une part importante dans l'appréciation des copies.
Les candidats sont invités à encadrer, dans la mesure du possible, les résultats de leurs calculs.
Ils ne doivent faire usage d'aucun document ; seule l'utilisation d'une règle graduée est autorisée.

L'utilisation de toute calculatrice et de tout matériel électronique est interdite.

Exercice 1

  1. Déterminer l'ensemble D des réels x tels que e^x − e^(− x) > 0.
On définit la fonction f par : ∀x ∈ D, f(x) = ln(e^x − e^(− x)).
On note ( C ) sa courbe représentative dans un repère orthonormé ( O, i¯, j¯ ).
2) a. Étudier les variations de f et donner les limites de f aux bornes de D.
b. En déduire l'existence d'un unique réel α vérifiant f(α) = 0, puis donner la valeur exacte de α.
c. Montrer que le coefficient directeur de la tangente ( T ) à la courbe ( C ) au point d'abscisse α vaut √5.
3) a. Calculer lim_(x → + ∞)(f(x) − x).
b. En déduire l'équation de l'asymptote ( Δ ) à la courbe ( C ) au voisinage de + ∞.
c. Donner la position relative de ( Δ ) et ( C ).
4) Donner l'allure de la courbe ( C ) en faisant figurer les droites ( Δ ) et ( T ).
On admettra que α ≃ 0, 5 et que √5 ≃ 2, 2.
5) Soit λ un réel, on note g_λ la fonction définie par : {g_λ(x) = 0 si x < α; g_λ(x) = λ/(e^(2x) − 1) si x ≥ α
a. On pose h(x) = f(x) − x. Après avoir calculé h^′(x), déterminer λ en fonction de α pour que g_λ soit une densité de probabilité d'une certaine variable aléatoire X.
b. Donner la fonction de répartition G_λ deX.

Exercice 2

Soit la matrice K = (0, 0, 1; 0, 1, 0; 1, 0, 0).
On note E l'ensemble des matrices M de M_3(ℝ) vérifiant : MK = KM = M.
  1. a. Montrer que E est un espace vectoriel.
    b. Montrer par l'absurde qu'aucune matrice de E n'est inversible.
  2. Soit M = (a, b, c; d, e, f; g, h, k) une matrice deE.
    a. Montrer que : k = g = c = a, h = b et f = d, puis en déduire la forme des matrices de E.
    b. Retrouver le fait que les matrices de E ne sont pas inversibles.
    c. Déterminer une base de E et vérifier que dimE = 4.
  3. On considère l'ensemble F des matrices de la forme (x, y, x; y, z, y; x, y, x) où x, y et z sont des réels.
    a. Vérifier que F est un sous-espace vectoriel de E et donner une base de F.
    b. Les matrices de F sont-elles diagonalisables ?
    c. Dans cette question, on appelle U la matrice de F telle que : x = 3, y = 2 et z = 4.
Trouver les valeurs propres de U et exhiber un vecteur colonne propre pour chacune d'entre elles.
4) On note φ l'application de F dans ℝ qui à toute matrice A de F associe le nombre ∑_(i = 1)^3∑_(j = 1)^3(− 1)^(i + j)a_(i, j), où a_(i, j) désigne l'élément de la matrice A situé à l'intersection de la i^(ème) ligne et de la j^(ème) colonne.
a. Montrer que φ est une application linéaire de F dans ℝ.
b. Déterminer Imφ. En déduire que Kerφ est de dimension 2 .
c. Soit M = (x, y, x; y, z, y; x, y, x) une matrice deKerφ.
Exprimer φ(M) en fonction de x, y et z et en déduire une base de Kerφ.

Exercice 3

Pour tout entier n supérieur ou égal à 1 , on définit la fonction f_n par : ∀x ∈ ℝ_+, f_n(x) = x^n + 9x^2 − 4.
  1. a. Montrer que l'équation f_n(x) = 0 n'a qu'une seule solution strictement positive, notée u_n.
    b. Calculer u_1 et u_2.
    c. Vérifier que : ∀n ∈ ℕ^∗, u_n ∈ ]0, 2/3[.
  2. a. Montrer que, pour tout x élément de ]0, 1[, on a : f_(n + 1)(x) < f_n(x).
    b. En déduire le signe de f_n(u_(n + 1)), puis les variations de la suite (u_n).
    c. Montrer que la suite ( u_n ) est convergente. On note ℓ sa limite.
  3. a. Déterminer la limite de (u_n)^n lorsque n tend vers + ∞.
    b. Donner enfin la valeur de ℓ.
  4. Montrer que la série de terme général 2/3 − u_n est convergente.

Problème

On lance indéfiniment une pièce donnant "Pile" avec la probabilité p et "Face" avec la probabilité q = 1 − p. On suppose que p ∈ ]0, 1[ et on admet que les lancers sont mutuellement indépendants.
Pour tout entier naturel k, supérieur ou égal à 2 , on dit que le k^(ème) lancer est un changement s'il amène un résultat différent de celui du (k − 1)^(ème) lancer.
On note P_k( resp F_k) l'événement : «on obtient "Pile" (resp "Face") au k ème lancer ». Pour ne pas surcharger l'écriture on écrira, par exemple, P_1 F_2 à la place de P_1 ∩ F_2. Pour tout entier naturel n supérieur ou égal à 2 , on note X_n la variable aléatoire égale au nombre de changements survenus durant les n premiers lancers.

Partie 1 : étude de quelques exemples.

  1. Donner la loi de X_2.
  2. a. Donner la loi de X_3.
    b. Vérifier que E(X_3) = 4pq et que V(X_3) = 2pq(3 − 8pq).
  3. a. Trouver la loi de X_4.
    b. Calculer E(X_4).

Partie 2 : étude du cas p ≠ q.

Dans cette partie, n désigne un entier naturel supérieur ou égal à 2 .
  1. Exprimer P(X_n = 0) en fonction de p, q et n.
  2. En décomposant l'événement ( X_n = 1 ) en une réunion d'événements incompatibles, montrer que P(X_n = 1) = (2pq)/(q − p)(q^(n − 1) − p^(n − 1)).
  3. En distinguant les cas n pair et n impair, exprimer P(X_n = n − 1) en fonction de p et q.
  4. Retrouver, grâce aux trois questions précédentes, les lois de X_3 et X_4.
  5. Pour tout entier naturel k, supérieur ou égal à 2 , on note Z_k la variable aléatoire qui vaut 1 si le k^(ème) lancer est un changement et 0 sinon ( Z_k est donc une variable de Bernoulli). Écrire X_n à l'aide de certaines des variables Z_k et en déduire E(X_n).

Partie 3 : étude du cas p = q.

  1. Vérifier, en utilisant les résultats de la partie 1 , que X_3 et X_4 suivent chacune une loi binomiale.
  2. Montrer que, pour tout entier naturel n supérieur ou égal à 2 , X_n suit une loi binomiale dont on donnera les paramètres.

Questions fréquentes

3 questions
Sur quels chapitres porte l'épreuve de mathématiques appliquées EDHEC ECE 2000 ?
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Sur quels chapitres porte l'épreuve de mathématiques appliquées EDHEC ECE 2000 ?

L'épreuve porte sur l'étude de fonctions et la construction de densités de probabilité, l'algèbre linéaire des matrices, les suites définies implicitement et les variables aléatoires discrètes.

Les trois exercices sont-ils indépendants du problème ?

Oui, les exercices 1, 2 et 3 sont indépendants entre eux et du problème final consacré au nombre de changements dans une suite de lancers de pièce.

Le problème nécessite-t-il de distinguer plusieurs cas ?

Oui, le problème distingue le cas où les probabilités p et q sont différentes de celui où p = q, cas dans lequel la variable aléatoire étudiée suit une loi binomiale.

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