BCE Maths appliquées HEC ECE 2017Sujet, corrigé et rapport du jury

Epreuve de maths appliquées - ECE 2017

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Annale de maths appliquées BCE HEC pour la filiere ECE, session 2017.

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Conception : HEC Paris

OPTION ÉCONOMIQUE

MATHÉMATIQUES

Mercredi 26 avril 2017, de 8 h. à 12 h.

La présentation, la lisibilité, l'orthographe, la qualité de la rédaction, la clarté et la précision des raisonnements entreront pour une part importante dans l'appréciation des copies.
Les candidats sont invités à encadrer dans la mesure du possible les résultats de leurs calculs.
Ils ne doivent faire usage d'aucun document. L'utilisation de toute calculatrice et de tout matériel électronique est interdite. Seule l'utilisation d'une règle graduée est autorisée.
Si au cours de l'épreuve, un candidat repère ce qui lui semble être une erreur d'énoncé, il la signalera sur sa copie et poursuivra sa composition en expliquant les raisons des initiatives qu'il sera amené à prendre.

EXERCICE

Pour tout

n \in N^*

, on note

M_n(R)

l'ensemble des matrices carrées à

n

lignes et

n

colonnes à ccefficients réels et

B_n(R)

l'ensemble des matrices de

M_n(R)

dont tous les cœfficients sont égaux à 0 ou à 1 .

Exemple 1. Soit $A$ la matrice de $B_2(R)$ définie par : $A = (0, 1; 1, 0)$ .
a) Calculer la matrice $A^2$ ,
b) Quelles sont les valeurs propres de $A$ ?
c) La matrice $A$ est-elle diagonalisable?
Exemple 2. Soit $B$ la matrice de $B_3(R)$ définie par : $B = (0, 1, 0; 1, 0, 0; 0, 0, 1)$ .

On considère les instructions et la sortie (

- \to

) Scilab suivantes :

B = [0, 1, 0; 1, 0, 0; 0, 0, 1]; P = [1, 1, 0; 1, - 1, 0; 0, 0, 1]; inv(P)*B*P

→
i.

0. 0

0. - 1. 0

.
0.

0. 1

.
a) Déduire les valeurs propres de

B

de la séquence Scilab précédente.
b) Déterminer une base de chacun des sous-espaces propres de

B

.
3.a) Combien existe-t-il de matrices appartenant à

B_n(R)

?
b) Combien existe-t-il de matrices de

B_n(R)

dont chaque ligne et chaque colonne comporte exactement un cœfficient égal à 1 ?
4. Dans cette question,

n

est un entier supérieur ou égal à 2 .

Soit

E

un espace vectoriel de dimension

n

u

un endomorphisme de

E

. On note :

id l'endomorphisme identité de $E$ ;
$F$ le noyau de l'endomorphisme ( $u + id)$ et $G$ le noyau de l'endomorphisme ( $u - id$ );
$p$ la dimension de $F$ et $q$ la dimension de $G$ .

On suppose que

u \circ u = id

.
a) Justifier que l'image de (

u - id

) est incluse dans

F

.
b) En déduire l'inégalité :

p + q ⩾ n

On suppose désormais que

1 ⩽ p < q

. Soit

(f_1, f_2, \dots, f_p)

une base de

F

(g_1, g_2, \dots, g_q)

une base de

G

.
c) Justifier que

(f_1, f_2, \dots, f_p, g_1, g_2, \dots, g_q)

est une base de

E

.
d) Calculer

u(g_1 - f_1)

u(g_1 + f_1)

.
e) Trouver une base de

E

dans laquelle la matrice de

u

appartient à

B_n(R)

PROBLÈME

Les tables de mortalité sont utilisées en démographie et en actuariat pour prévoir l'espérance de vie des individus d'une population. On s'intéresse dans ce problème à un modèle qui permet d'ajuster la durée de vie à des statistiques portant sur les décès observés au sein d'une génération.
Dans tout le problème, on note:

$a$ et $b$ deux réels strictement positifs ;
$(Ω, A, P)$ un espace probabilisé sur lequel sont définies toutes les variables aléatoires du problème;
$G_(a, b)$ la fonction définie sur $R_+$ par : $G_(a, b)(x) = exp(- ax - b/2x^2)$ .

Partie 1. Loi exponentielle linéaire

1,a) Montrer que la fonction

G_(a, b)

réalise une bijection de

R_+

sur l'intervalle ] 0,1].
b) Pour tout réel

y > 0

, résoudre l'équation d'inconnue

x \in R : ax + b/2x^2 = y

.
c) On note

G_(a, b)^(- 1)

la bijection réciproque de

G_(a, b)

. Quelle est, pour tout

u \in [0, 1]

, l'expression de

G_(a, b)^(- 1)(1 - u)

?
2.a) Justifier la convergence de l'intégrale

\int_0^(+ \infty)G_(a, b)(x)dx

.
b) Soit

f

la fonction définie sur

R

par:

f(x) = \sqrt(b/(2π)) \times exp(- 1/2b(x + a/b)^2)

Montrer que

f

est une densité d'une variable aléatoire suivant une loi normale dont on précisera les paramètres (espérance et variance).
c) Soit

Φ

la fonction de répartition de la loi normale centrée réduite. Déduire de la question 2.b), l'égalité :

\int_0^(+ \infty)G_(a, b)(x)dx = \sqrt((2π)/b) \times exp((a^2)/(2b)) \times Φ(- a/(\sqrtb)).

Pour tout $a > 0$ et pour tout $b > 0$ , on pose : $f_(a, b)(x) = {(a + bx)exp(− ax − b/2x^2), si x ⩾ 0; 0, si x < 0$ .
a) Justifier que la fonction $f_(a, b)$ est une densité de probabilité.

On dit qu'une variable aléatoire suit la loi exponentielle linéaire de paramètres a et b, notée

E_ℓ(a, b)

, si elle admet

f_(a, b)

pour densité.
b) Soit

X

une variable aléatoire suivant la loi

E_ℓ(a, b)

. À l'aide d'une intégration par parties, justifier que

X

admet une espérance

E(X)

telle que :

E(X) = \int_0^(+ \infty)G_(a, b)(x)dx

.
4. Soit

Y

une variable aléatoire suivant la loi exponentielle de paramètre 1 . On pose :

X = (- a + \sqrt(a^2 + 2bY))/b

.
a) Justifier que pour tout réel

x \in R_+

, on a :

P([X ⩾ x]) = G_(a, b)(x)

.
b) En déduire que

X

suit la loi

E_ℓ(a, b)

.
c) On note

U

une variable aléatoire suivant la loi uniforme sur [ 0,1 [. Déterminer la loi de la variable aléatoire

G_(a, b)^(- 1)(1 - U)

.
5. La fonction Scilab suivante génère des simulations de la loi exponentielle linéaire.
(1) function

x^(maxandlinexp)(a, b, n)

(2)

u = rand(n, 1)

(3)

y = \dots\dots\dots

(4)

x = (- a + sqrt(a^\land2 + 2*b*y))/b

(5) endfunction
a) Quelle est la signification de la ligne de code (2) ?
b) Compléter la ligne de code (3) pour que la fonction grandlinexp génère les simulations désirées.
6. De quel nombre réel peut-on penser que les six valeurs générées par la boucle Scilab suivante fourniront des valeurs approchées de plus en plus précises et pourquoi?

for k=1:6
    mean(grandlinexp(0,1,10^k))
end

Dans la suite du problème, on note

(X_n)_(n \in N^*)

une suite de variables aléatoires indépendantes suivant chacune la loi exponentielle linéaire

E_ℓ(a, b)

dont les paramètres

a > 0

b > 0

sont inconnus.
Soit

h

un entier supérieur ou égal à 2. On suit pendant une période de h années, une "cohorte" de n individus de même âge au début de l'étude et on modélise leurs durées de vie respectives à partir de cette date par les variables aléatoires

X_1, X_2, \dots, X_n

Partie II. Premier décès et intervalle de confiance de a

Pour tout

n \in N^*

, on définit les variables aléatoires

M_n, H_n

U_n

par :

M_n = min(X_1, X_2, \dots, X_n), H_n = min(h, X_1, X_2, \dots, X_n) et U_n = nH_n

Calculer pour tout $x \in R_+$ , la probabilité $P([M_n ⩾ x])$ . Reconnaître la loi de la variable aléatoire $M_n$ .
Pour tout $n \in N^*$ , on note $F_(U_n)$ la fonction de répartition de la variable aléatoire $U_n$ .
a) Montrer que pour tout $x \in R$ , on a : $F_(U_n)(x) = {0, si x < 0; 1 − exp(− ax − b/(2n)x^2), si 0 ⩽ x < nh; 1, si x ⩾ nh$ .
b) Étudier la continuité de la fonction $F_(U_n)$ ,
c) La variable aléatoire $U_n$ admet-elle une densité?
d) Montrer que la suite de variables aléatoires $(U_n)_(n \in ℕ)$ converge en loi vers une variable aléatoire dont on précisera la loi.
Soit $α \in ]0, 1$ [.
a) Soit $Y$ une variable aléatoire qui suit la loi exponentielle de paramètre 1 .

Trouver deux réels

c

d

strictement positifs tels que :

P([c ⩽ Y ⩽ d]) = 1 - α et P([Y ⩽ c]) = α/2.

b) Montrer que

[c/(U_n), d/(U_n)]

est un intervalle de confiance asymptotíque de

a

, de niveau de confiance

1 - α

Partie III. Nombre de survivants et estimateur convergent de $b$

Pour tout

i \in N^*

, soit

S_i

D_i

les variables aléatoires telles que :

S_i = {1, si X_i ⩾ h; 0, sinon

D_i = {1, si X_i ⩽ 1; 0, sinon

. Pour tout

n \in N^*

, on pose :

S¯_n = 1/n\sum_(i = 1)^n S_i

D¯_n = 1/n\sum_(i = 1)^n D_i

.
10.a) Justifier que pour tout

i \in [ [1, n] ]

, on a

E(S_i) = G_(a, b)(h)

et calculer

E(S_i D_i)

.
b) Pour quels couples

(i, j) \in [ [1, n] ]^2

, les variables aléatoires

S_i

D_j

sont-elles indépendantes?
c) Déduire des questions précédentes l'expression de la covariance

Cov(S¯_n, D¯_n)

S¯_n

D¯_n

en fonction de

n, G_(a, b)(h)

G_(a, b)(1)

. Le signe de cette covariance etait-il prévisible?
11.a) Montrer que

S¯_n

est un estimateur sans biais et convergent du paramètre

G_(a, b)(h)

.
b) De quel paramètre,

D¯_n

est il un estimateur sans biais et convergent?
12. On pose:

z(a, b) = ln(G_(a, b)(1))

r(a, b) = ln(G_(a, b)(h))

Pour tout

n \in N^*

, on pose :

Z_n = ln(1 - D¯_n + 1/n)

R_n = ln(S¯_n + 1/n)

.
On admet que

Z_n

R_n

sont des estimateurs convergents de

z(a, b)

r(a, b)

respectivement.
a) Soit

ε, λ

μ

des réels strictement positifs.
(i) Justifier linclusion suivante :

[|(λZ_n - μR_n) - (λz(a, b) - μr(a, b))| ⩾ ε] \subset [λ|Z_n - z(a, b)| + μ|R_n - r(a, b)| ⩾ ε].

(ii) En déduire l'inégalité suivante:

P(||(λZ_n - μR_n) - (λz(a, b) - μr(a, b))| ⩾ ε]) ⩽ P([|Z_n - z(a, b)| ⩾ ε/(2λ)]) + P([|R_n - r(a, b)| ⩾ ε/(2μ)])

.
b) Pour tout

n \in N^*

, on pose :

B_n = 2/(h - 1)Z_n - 2/(h(h - 1))R_n

Montrer que

B_n

est un estimateur convergent du paramètre

b

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Partie II. Premier décès et intervalle de confiance de a

Partie III. Nombre de survivants et estimateur convergent de b

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Partie III. Nombre de survivants et estimateur convergent de $b$