Algèbre linéaire et fonction de production CES en microéconomie
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L'épreuve associe un exercice d'algèbre linéaire, portant sur l'étude d'un endomorphisme associé à une matrice A = X tX, à un problème d'analyse appliqué à l'économie. Ce problème étudie une fonction de production microéconomique à élasticité de substitution constante (CES), sa convergence vers une fonction de Cobb-Douglas, puis l'estimation statistique de ses paramètres par la méthode du maximum de vraisemblance, avec une visualisation des résultats sous Scilab.
1ExerciceÉtude d'un endomorphisme f associé à une matrice A = X tX : image, noyau, valeurs propres et sous-espaces propres.
2Partie I : fonction de production CESÉtude des principales propriétés de la fonction de production à élasticité de substitution constante.
3Partie II : caractérisation des fonctions à élasticité de substitution constanteCaractérisation de ces fonctions de production et étude de leur tendance vers une fonction de Cobb-Douglas.
4Partie III : estimation des paramètres d'une fonction de Cobb-DouglasEstimation des coefficients d'élasticité par la méthode du maximum de vraisemblance et visualisation des résultats avec Scilab sur un échantillon d'entreprises.
Difficile. Les correcteurs relèvent une très grande faiblesse des candidats en algèbre linéaire, et la partie III du problème n'est abordée que par deux tiers des candidats, dont la moitié n'y obtient aucun point.
Deux tiers des copies environ (moyenne ± écart-type)
Votre note sur 20 à ce sujet, en conditions de concours.
Source : rapport du jury. Notes publiées par le concours (après harmonisation le cas échéant). Courbe : estimation par une loi normale.
Ce qu'a observé le jury
5 erreurs relevées
Produit de matrices mal maîtrisé · Confusions classiques en algèbre linéaire · Classe C2 non justifiée en question 2.a
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Sur 2172 candidats ayant composé, la note moyenne est de 9,24 avec un écart-type de 4,25. L'exercice et le problème comptaient respectivement pour 25 % et 75 % des points du barème, les parties I, II et III du problème comptant pour 30 %, 18 % et 27 %. La présentation des copies laisse beaucoup à désirer : numérotation des questions omise, ratures fréquentes et absence de résultats encadrés.
Les erreurs les plus sanctionnées
1
Produit de matrices mal maîtrisé
De nombreux candidats ne savent pas calculer un produit de matrices, ce qui témoigne d'une faiblesse importante en algèbre linéaire.
« Il est assez symptomatique que nombre de candidats ne savent pas calculer un produit de matrices »
2
Confusions classiques en algèbre linéaire
Le jury relève des affirmations fausses comme « une matrice et sa transposée commutent » ou une formule erronée du théorème du rang.
« Les correcteurs sont unanimes pour relever une très grande faiblesse »
3
Classe C2 non justifiée en question 2.a2.a
Peu de candidats justifient que les fonctions étudiées sont de classe C2, en se contentant de considérer qu'elles sont polynomiales.
« peu de candidats justifient la classe C 2 et considèrent que les »
4
Dérivation et calcul fragiles
Beaucoup de candidats ne savent pas dériver correctement et multiplient les erreurs de calcul, parfois sur plusieurs pages pour un résultat élémentaire.
« Beaucoup de candidats ne savent pas dériver et font de nombreuses erreurs de calcul »
5
Partie III largement délaisséeIII
Cette partie n'est abordée que par deux tiers des candidats, et la moitié d'entre eux n'y obtient aucun point.
« La partie III n'est abordée que par deux-tiers des candidats et la moitié d'entre eux n'obtiennent aucun point à cette partie »
Ce qui a été bien réussi
La rédaction est moins désinvolte que par le passé, même si la présentation reste globalement insuffisante.
Conseils du jury
Revoir les bases du calcul matriciel (produit de matrices, diagonalisation, théorème du rang) avant l'épreuve.
Ne recopier que ce qui est utile à la résolution plutôt que d'écrire ce qu'il faudrait faire sans le faire.
Soigner la présentation : numéroter les questions, encadrer les résultats et éviter les ratures.
Ne pas négliger la dernière partie du problème, même si elle demande plus de temps.
Synthèse rédigée par WikiPrépa à partir du rapport officiel du jury (à télécharger en PDF). Les citations sont extraites du rapport.
Description
Annale de maths appliquées BCE HEC pour la filiere ECE, session 2016.
La présentation, la lisibilité, l'orthographe, la qualité de la rédaction, la clarté et la précision des raisonnements entreront pour une part importante dans l'appréciation des copies.
Les candidats sont invités à encadrer dans la mesure du possible les résultats de leurs calculs.
Ils ne doivent faire usage d'aucun document. L'utilisation de toute calculatrice et de tout matériel électronique est interdite. Seule l'utilisation d'une règle graduée est autorisée.
Si au cours de l'épreuve, un candidat repère ce qui lui semble être une erreur d'énoncé, il la signalera sur sa copie et poursuivra sa composition en expliquant les raisons des initiatives qu'il sera amené à prendre.
EXERCICE
Soit n et p deux entiers supérieurs ou égaux à 1 . Si M est une matrice de M_(n, p)(R), la matrice ^t M de M_(p, n)(R) désigne la transposée de M.
On identifie les ensembles M_(1, 1)(R) et R en assimilant une matrice de M_(1, 1)(R) à son unique cefficient.
On note B_n la base canonique de M_(n, 1)(R) et B_p la base canonique de M_(p, 1)(R).
Si M ∈ M_(n, p)(R) et N ∈ M_(p, q)(R)(q ∈ N^∗), on admet que ^t(MN) = ^t N^t M.
Soit X une matrice colonne non nulle donnée de M_(n, 1)(R) de composantes x_1, x_2, …, x_n dans la base B_n.
On pose : A = X^t X et α = ^t XX.
a) Exprimer A et α en fonction de x_1, x_2, …, x_n. Justifier que la matrice A est diagonalisable.
b) Soit f l'endomorphisme de M_(n, 1)(R) de matrice A dans la base B_n.
Déterminer Imf et Kerf; donner une base de Imf et préciser la dimension de Kerf.
c) Calculer la matrice AX. Déterminer les valeurs propres de A ainsi que les sous-espaces propres associés.
2. On suppose que n et p vérifient: 1 ⩽ p ⩽ n. Soit ( V_1, V_2, …, V_p ) une famille libre de p vecteurs de M_(n, 1)(R).
On note V la matrice de M_(n, p)(R) dont les colonnes sont, dans cet ordre, V_1, V_2, …, V_p.
Soit g l'application linéaire de M_(p, 1)(R) dans M_(n, 1)(R) de matrice V dans les bases B_p et B_n.
a) Justifier que le rang de V est égal à p. Déterminer Ker g.
b) Soit Y une matrice colonné de M_(p, 1)(R).
Montrer que l'on a VY = 0 si et seulement si l'on a ^t VVY = 0.
c) En déduire que la matrice ^t VV est inversible.
PROBLÈME
On s'intéresse dans ce problème à quelques aspects mathématiques de la fonction de production d'une entreprise qui produit un certain bien à une époque donnée, à partir des deux facteurs de production travail et capital.
Dans tout le problème :
On note respectivement x et y les quantités de travail et de capital requises pour produire une certaine quantité de ce bien.
On suppose que x > 0 et y > 0. On pose: D = (R_+^∗)^2 et pour tout (x, y) ∈ D, z = x/y.
La partie III est indépendante des parties I et II.
Partie I. Fonction de production CES (Constant Elasticity of Substitution).
Dans toute cette partie, on note c un réel vérifiant 0 < c < 1 et θ un réel vérifiant θ < 1 avec θ ≠ 0. Soit f la fonction définie sur D, à valeurs dans R_+^∗, telle que :
∀(x, y) ∈ D, f(x, y) = (cx^θ + (1 − c)y^θ)^(1/θ) (fonction de production CES)
Exemple. Dans cette question uniquement, on prend θ = − 1 et c = 1/2.
a) Montrer que pour tout (x, y) ∈ D, on a : f(x, y) = (2xy)/(x + y). Justifier que f est de classe C^2 sur D et calculer pour tout (x, y) ∈ D, les dérivées partielles ∂_1(f)(x, y) et ∂_2(f)(x, y).
b) Soit w et U les fonctions définies sur R_+^∗ par: ∀t > 0, w(t) = (2t)/(1 + t) et U(t) = w(t) − tw^′(t).
Dresser le tableau de variation de la fonction U sur R_+^∗ et étudier la convexité de U sur R_+^∗.
c) On rappelle que z = x/y. Montrer que pour tout (x, y) ∈ D, on a : f(x, y) = yw(z).
d) Vérifier pour tout (x, y) ∈ D, les relations : ∂_1(f)(x, y) = w^′(z) et ∂_2(f)(x, y) = U(z).
2.a) Montrer que pour tout (x, y) ∈ D et pour tout réel λ > 0, on a : f(λx, λy) = λf(x, y).
b) Justifier que f est de classe C^2 sur D et, pour tout (x, y) ∈ D, calculer ∂_1(f)(x, y) et ∂_2(f)(x, y).
c) Déterminer pour tout y > 0 fixé, le signe et la monotonie de la fonction x ⟼ ∂_1(f)(x, y).
De même, déterminer pour tout x > 0 fixé, le signe et la monotonie de la fonction y ⟼ ∂_2(f)(x, y).
3. Soit G la fonction définie sur D par G(x, y) = (∂_1(f)(x, y))/(∂_2(f)(x, y)) (taux marginal de substitution technique) et g la fonction définie sur R_+^∗ par: ∀t > 0, g(t) = c/(1 − c)t^(− 1 + θ).
a) Pour tout (x, y) ∈ D, exprimer G(x, y) en fonction de g(z).
b) Pour tout t > 0, on pose : s(t) = − (g(t))/(tg^′(t)). Calculer s(z) (élasticité de substitution). Conclusion.
4. Soit w et U les fonctions définies sur R_+^∗ par : ∀t > 0, w(t) = f(t, 1) et U(t) = w(t) − tw^′(t).
a) Montrer que pour tout (x, y) ∈ D, on a : f(x, y) = yw(z).
b) En distinguant les deux cas 0 < θ < 1 et θ < 0, dresser le tableau de variation de U sur R_+^∗. Préciser lim_(t → 0^+)U(t)_,lim_(t → + ∞)U(t) ainsi que la convexité de U sur R_+^∗.
Partie II. Caractérisation des fonctions de production à élasticité de substitution constante.
Dans toute cette partie, on note Ψ une fonction définie et de classe C^2 sur D, à valeurs dans R_+^∗, vérifiant la condition Ψ(1, 1) = 1 et pour tout réel λ > 0, la relation : Ψ(λx, λy) = λΨ(x, y).
De plus, on suppose que pour tout y > 0 fixé, la fonction x ⟼ ∂_1(Ψ)(x, y) est strictement positive et strictement décroissante et que pour tout x > 0 fixé, la fonction y ⟼ ∂_2(Ψ)(x, y) est également strictement positive et strictement décroissante.
5. Soit v la fonction définie sur R_+^∗ par : ∀t > 0, v(t) = Ψ(t, 1).
a) Justifier que la fonction v est de classe C^2, strictement croissante et concave sur R_+^∗.
b) Soit φ la fonction définie sur R_+^∗ par: ∀t > 0, φ(t) = v(t) − tv^′(t). On suppose l'existence de la limite de φ(t) lorsque t tend vers 0 par valeurs supérieures et que lim_(t → 0^+)φ(t) = μ, avec μ ⩾ 0. Déterminer pour tout t > 0, le signe de φ(t) et montrer que μ < 1.
c) Montrer que : ∀(x, y) ∈ D, Ψ(x, y) = yv(z).
6.a) Pour tout t > 0, on pose : h(t) = (v^′(t))/(φ(t)). Montrer que pour tout (x, y) ∈ D, on a : (∂_1(Ψ)(x, y))/(∂_2(Ψ)(x, y)) = h(z).
b) Pour tout t > 0, on pose : σ(t) = − (h(t))/(th^′(t)). Déterminer pour tout t > 0, le signe de σ(t).
7. Les fonctions σ et h sont celles qui ont été définies dans la question 6. On suppose que la fonction σ est constante sur R_+^∗; on note σ_0 cette constante et on suppose que σ_0 ≠ 1. On pose : r = 1 − 1/(σ_0).
a) Pour tout t > 0, on pose : ℓ(t) = t^(1 − r)h(t). Calculer ℓ^′(t) et en déduire que : ∀t > 0, h(t) = h(1)t^(r − 1).
b) Par une méthode analogue à celle de la question 7.a), établir la relation : ∀t > 0, v(t) = ((1 + h(1)t^r)/(1 + h(1)))^(1/r).
c) En déduire l'existence d'une constante a ∈ ]0, 1 [ telle que : ∀(x, y) ∈ D, Ψ(x, y) = (ax^r + (1 − a)y^r)^(1/r).
d) Quelle conclusion peut-on tirer des résultats des questions 3.b) et 7.c )?
8. Soit a ∈ ]0, 1[. Pour tout t > 0, soit S_t la fonction définie sur ] − ∞, 1[∖{0} par : S_t(r) = (at^r + (1 − a))^(1/r).
a) On pose : H_t(r) = lnS_t(r). Calculer la limite de S_t(r) lorsque r tend vers 0 .
b) Pour tout couple (x, y) ∈ D fixé, on pose : N_((x, y))(r) = yS_z(r) et F(x, y) = lim_(r → 0)N_((x, y))(r).
Montrer que pour tout (x, y) ∈ D, on a : F(x, y) = x^a y^(1 − a) (fonction de production de Cobb-Douglas).
Partie III. Estimation des paramètres d'une fonction de production de Cobb-Douglas.
Soît a un réel vérifiant 0 < a < 1 et B un réel strictement positif.
On suppose que la production totale Q présente une composante déterministe et une composante aléatoire.
La composante déterministe est une fonction de production f de type Cobb-Douglas, c'est-à-dire telle que :
∀(x, y) ∈ D, f(x, y) = Bx^a y^(1 − a)
La composante aléatoire est une variable aléatoire de la forme exp(R) où R est une variable aléatoire suivant la loî normale centrée, de variance σ^2 > 0.
La production totale Q est une variable aléatoire à valeurs strictement positives telle que :
Q = Bx^a y^(1 − a)exp(R).
On suppose que les variables aléatoires Q et R sont définies sur un même espace probabilisé (Ω, A, P).
On pose : b = lnB, u = lnx − lny et T = lnQ − lny. On a donc : T = au + b + R.
On sélectionne n entreprises (n ⩾ 1) qui produisent le bien considéré à l'époque donnée.
On mesure pour chaque entreprise i(i ∈ [ [1, n] ]) la quantité de travail x_i et la quantité de capital y_i utilisées ainsi que la quantité produite Q_i^∗. On suppose que pour tout i ∈ [ [1, n] ], on a x_i > 0, y_i > 0 et Q_i^∗ > 0.
Pour tout i ∈ [ [1, n] ], la production totale de l'entreprise i est alors une variable aléatoire Q_i telle que Q_i = Bx_i^a y_i^(1 − a)exp(R_i), où R_1, R_2, …, R_n sont des variables aléatoires supposées indépendantes et de même loi que R et le réel strictement positif Q_i^∗ est une réalisation de la variable aléatoire Q_i.
On pose pour tout i ∈ [ [1, n] ] : u_i = lnx_i − lny_i, T_i = lnQ_i − lny_i et t_i = lnQ_i^∗ − lny_i. Ainsi, pour chaque entreprise i ∈ [ [1, n] ], on a : T_2 = au_i + b + R_i et le réel t_i est une réalisation de la variable aléatoire T_i.
On rappelle les définitions et résultats suivants :
Si (v_i)_(1 ⩽ i ⩽ n) est une série statistique, la moyenne et la variance empiriques, notées respectivement v¯ et s_v^2, sont données par : v¯ = 1/n∑_(i = 1)^n v_i et s_v^2 = 1/n∑_(i = 1)^n(v_i − v¯)^2 = 1/n∑_(i = 1)^n v_i^2 − v¯^2.
Si (v_i)_(1 ⩽ i ⩽ n) et (w_i)_(1 ⩽ i ⩽ n) sont deux séries statistiques, la covariance empirique de la série double (v_i, w_i)_(1 ⩽ i ⩽ n), notée Cov(v, w), est donnée par : Cov(v, w) = 1/n∑_(i = 1)^n(v_i − v¯)(w_i − w¯) = 1/n∑_(i = 1)^n v_i w_i − v¯w¯ = 1/n∑_(i = 1)^n(v_i − v¯)w_i.
9.a) Montrer que pour tout i ∈ [ [1, n] ], la variable aléatoire T_i suit la loi normale N(au_i + b, σ^2).
b) Les variables aléatoires T_1, T_2, …, T_n sont-elles indépendantes?
Pour tout i ∈ [ [1, n] ], soit φ_i la densité continue sur R de T_i : ∀d ∈ R, φ_i(d) = 1/(σ√(2π))exp(− 1/(2σ^2)(d − (au_i + b))^2). Soit F l'ouvert défini par F = ]0, 1[ × R et M la fonction de F dans R définie par : M(a, b) = ln(∏_(i = 1)^n φ_i(t_i)).
On suppose que : 0 < Cov(u, t) < s_u^2.
10.a) Calculer le gradient ∇(M)(a, b) de M en tout point (a, b) ∈ F.
b) En déduire que M admet sur F un unique point critique, noté (a^, b^).
c) Exprimer a^ et b^ en fonction de Cov(u, t), s_u^2, t¯ et u¯.
(a et b^ sont les estimations de a et b par la méthode dite du maximum de vraisemblance)
11.a) Soit ∇^2(M)(a, b) la matrice hessienne de M en (a, b) ∈ F. Montrer que: ∇^2(M)(a, b) = − n/(σ^2)(s_u^2 + u¯^2, u¯; u¯, 1).
b) En déduire que M admet au point (a^, b^) un maximum local.
12. Soit ( h, k ) un couple de réels non nuls. Calculer M(a^ + h, b^ + k) − M(a^, b^).
En déduire que M admet en (a^, b^) un maximum global.
13. On rappelle qu'en Scilab, les commandes variance et corr permettent de calculer respectivement la variance d'une série statistique et la covariance d'une série statistique double.
Si v = (v_i)_(1 ⩽ i ⩽ n) et w = (w_i)_(1 ⩽ i ⩽ n) sont deux séries statistiques, alors la variance de (v_i)_(1 ⩽ i ⩽ n) est calculable par variance (v) et la covariance de (v_i, w_i)_(1 ⩽ i ⩽ n) est calculable par corr (v, w, 1).
On a relevé pour n = 16 entreprises qui produisent le bien considéré à l'époque donnée, les deux séries statistiques (u_i)_(1 ⩽ i ⩽ 16) et (t_i)_(1 ⩽ i ⩽ 16) reproduites dans les lignes (1) et (2) du code Scilab suivant dont la ligne (5) est incomplète :
(3) plot2d(u,t,-4) //-4 signifie que les points sont représentés par des losanges.
(4) plot2d(u,corr (u, t, 1)/ variance (u)∗u + mean (t) − corr(u, t, 1)/ variance (u)∗ mean (u))// équation de la droite de régression de t en u.
(5) plot2d(u,....................................................)//équation de la droite de régression de u en t.
Le code précédent complété par la ligne (5) donne alors la figure suivante :
a) Compléter la ligne (5) du code permettant d'obtenir la figure précédente (on reportera sur sa copie, uniquement la ligne (5) complétée).
b) Interpréter le point d'intersection des deux droites de régression.
c) Estimer graphiquement les moyennes empiriques u¯ et t¯.
d) Le coefficient de corrélation empirique de la série statistique double (u_i, t_i)_(1 ⩽ i ⩽ 16) est-il plus proche de -1 , de 1 ou de 0 ?
e) On reprend les lignes (1) et (2) du code précédent que l'on complète par les instructions (6) à (11) qui suivent et on obtient le graphique ci-dessous :
(6) a0 = corr(u, t, 1)/ variance (u)
(7) bo-mean ( t )-corr ( u, t, 1 )/variance ( u )*mean( u )
(8) t0 = a0∗u + b0
(9) e = t0 − t
(10) p = 1 : 16
(11) plot2d( p, e, − 1 ) //-1 signifie que les points sont représentés par des symboles d'addition.
Que représente ce graphique? Quelle valeur peut-on conjecturer pour la moyenne des ordonnées des 16 points obtenus sur le graphique? Déterminer mathématiquement la valeur de cette moyenne.
14. Pour tout entier n ⩾ 1, on pose : A_n = 1/(ns_u^2)∑_(i = 1)^n(u_i − u¯)T_i. On suppose que le paramètre σ^2 est connu.
a) Calculer l'espérance E(A_n) et la variance V(A_n) de la variable aléatoire A_n. Préciser la loi de A_n.
b) On suppose que a est un paramètre inconnu. Soît α un réel donné vérifiant 0 < α < 1.
On note Φ la fonction de répartition de la loì normale centrée réduite et d_α le réel tel que Φ(d_α) = 1 − α/2. Déterminer un intervalle de confiance du paramètre a au niveau de conflance 1 − α.
Questions fréquentes
4 questions
Sur quoi porte l'épreuve de mathématiques appliquées HEC ECE 2016 ?
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Sur quoi porte l'épreuve de mathématiques appliquées HEC ECE 2016 ?
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L'épreuve associe un exercice d'algèbre linéaire sur une matrice A = X tX à un problème de microéconomie sur la fonction de production CES et son estimation statistique.
Quelle est la moyenne de l'épreuve de mathématiques appliquées HEC ECE 2016 ?
+
Sur 2172 candidats, la moyenne est de 9,24/20 avec un écart-type de 4,25 ; la note médiane est de 9,5.
Cette épreuve de maths appliquées HEC ECE 2016 est-elle difficile ?
+
Le jury relève une très grande faiblesse des candidats en algèbre linéaire et note que la dernière partie du problème n'est abordée que par deux tiers des candidats.
Quelles sont les erreurs les plus fréquentes relevées par le jury sur cette épreuve HEC maths appliquées ECE 2016 ?
+
Le jury relève des erreurs de base en calcul matriciel, une classe C2 rarement justifiée, de nombreuses erreurs de dérivation et une présentation des copies souvent insuffisante.
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