BCE Maths appliquées ESSEC ECE 2016, épreuve 2Sujet, corrigé et rapport du jury

Mercredi 4 mai 2016, de 8 h. à 12 h.

La présentation, la lisibilité, l'orthographe, la qualité de la rédaction, la clarté et la précision des raisonnements entreront pour une part importante dans l'appréciation des copies.
Les candidats sont invités à encadrer dans la mesure du possible les résultats de leurs calculs.
Ils ne doivent faire usage d'aucun document. L'utilisation de toute calculatrice et de tout matériel électronique est interdite. Seule l'utilisation d'une règle graduée est autorisée.
Si au cours de l'épreuve, un candidat repère ce qui lui semble être une erreur d'énoncé, il la signalera sur sa copie et poursuivra sa composition en expliquant les raisons des initiatives qu'il sera amené à prendre.

Le but du problème est d'étudier le renouvellement d'un des composants d'un sytème complexe (une machine, un réseau de distribution d'énergie etc...) formé d'un assemblage de différentes pièces susceptibles de tomber en panne. On s'intéresse donc à une de ces pièces susceptibles de se casser ou de tomber en panne et on se place dans la situation idéale où dès que la pièce est défectueuse, elle est immédiatement remplacée. Dans une première partie, on étudie quelques propriétés fondamentales des variables aléatoires discrètes. Puis, dans une deuxième partie, on étudie la probabilité de devoir changer la pièce un certain jour donné. Enfin, dans une troisième partie on cherche à estimer le temps de fonctionnement du système avec un certain nombre de pièces de rechange à disposition.
Dans tout le problème, on considère un espace probabilisé ( Ω, A, P ). Pour toute variable aléatoire réelle X définie sur ( Ω, A, P ), on note, sous réserve d'existence, E(X) l'espérance de X et V(X) sa variance.
Les deuxième et troisième parties sont indépendantes, et peuvent en outre être traitées en admettant si besoin les résultats de la première partie.
Première partie: Dans cette première partie, on étudie les propriétés asymptotiques d'une variable aléatoire X à valeurs dans 𝕀ℕ^∗.
1)
(a) Montrer que pour tout entier naturel j non nul,

(b) Soit p un entier naturel non nul. Montrer que

(a) On suppose que X admet une espérance E(X) = μ.
i) Justifier la convergence de la série de terme général kP(X = k).
ii) Montrer que

iii) En déduire que

iv) Montrer que la série de terme général P(X > j) converge.
v) Montrer que

(b) On suppose que ∑_(j = 0)^(+ ∞)P(X > j) converge.
i) Déterminer le sens de variation de la suite (v_p)_(p ≥ 1) définie par

ii) Comparer ∑_(j = 1)^p jP(X = j) et ∑_(j = 0)^(+ ∞)P(X > j).
iii) En déduire que X admet une espérance.
(c) Conclure des questions précédentes que X admet une espérance si et seulement si la série de terme général P(X > j) converge.
3) On suppose dans cette question qu'il existe un réel α strictement positif tel que pour tout entier naturel j on ait

(a) Légitimer que (*) définit bien une loi de probabilité d'une variable aléatoire à valeurs dans ℕ^∗.
(b) Montrer que X admet une espérance si et seulement si α est strictement supérieur à 1 .
(c) Montrer que pour tout entier naturel j non nul

(d)
i) Etudier les variations de f : x ↦ 1 − (1 + x)^(− α) − αx sur [0, 1].
ii) Montrer que pour tout entier naturel j non nul,

(e) Montrer, en utilisant le résultat de (c), que

(f) Montrer que X admet une variance si et seulement si α > 2.

Dans cette deuxième partie, on suppose donnée une suite de variables aléatoires (X_i)_(i ≥ 1) mutuellement indépendantes et de même loi à valeurs dans IN^∗.
Pour tout entier i non nul, X_i représente la durée de vie en jours du i-ème composant en fonctionnement.
Soit k un entier naturel non nul. On note T_k = X_1 + ⋯ + X_k.T_k représente donc le jour où le k-ième composant tombe en panne. On fixe un entier naturel n non nul représentant un jour donné et on considère l'événement A_n = "le composant en place le jour n tombe en panne" c'est-à-dire A_n = " il existe k entier naturel non nul tel que T_k = n^(′′), et on se propose d'étudier P(A_n).
4) Pour tout entier naturel non nul j, on note p_j = P(X_1 = j) et u_j = P(A_j). On suppose que pour tout entier naturel non nul j, on a p_j ≠ 0. On pose de plus par convention u_0 = 1.
(a) Montrer que u_1 = p_1.
(b)
i) Montrer que A_2 = [X_1 = 2] ∪ ([X_1 = 1] ∩ [X_2 = 1]).
ii) En déduire u_2 en fonction de p_1 et p_2.
(c) Pour tout entier naturel i, on pose X~_i = X_(i + 1).
i) Montrer que les variables X~_i sont mutuellement indépendantes, indépendantes de X_1 et de même loi que X_1.
ii) Soit k un entier naturel non nul strictement inférieur à n. Montrer que

iii) En déduire que pour tout entier naturel k non nul strictement inférieur à n,

(d) Montrer que

(e) En Scilab, soit P = [p_1, p_2, …, p_n] le vecteur ligne tel que P(j) = p_j pour j dans [ [1, n] ]. Ecrire un programme en Scilab qui calcule u_n à partir de P.
5) Soit λ un réel appartenant à ]0, 1[. Dans cette question, on suppose que X_1 suit la loi géométrique de paramètre λ. Pour tout entier naturel j non nul, on a donc P(X_1 = j) = λ(1 − λ)^(j − 1).
(a) Calculer P(X_1 > k) pour tout entier naturel k non nul.
(b) Calculer P_([X_1 > k])(X_1 = k + 1).
(c) Montrer que pour tout entier naturel n non nul,

Montrer que pour tout entier naturel n supérieur ou égal à 2 ,

(c)
i) Diagonaliser la matrice M.
ii) Montrer que

(d)
i) Exprimer u_n en fonction de p et de n.
ii) Déterminer lim_(n → + ∞)u_n.

Comme dans la partie précédente, on suppose donnée une suite de variables aléatoires (X_i)_(i ≥ 1) indépendantes et de même loi, telle que pour tout entier i non nul, X_i représente la durée de vie en jours du i-ème composant en fonctionnement.
Soit k un entier naturel non nul. On étudie dans cette partie la durée de fonctionnement prévisible du système si on a k composants à disposition (y compris celui installé au départ). On notera toujours T_k = X_1 + ⋯ + X_k.
On suppose dans cette partie qu'il existe un réel α > 1 tel que pour tout entier naturel j on ait

En particulier, dans toute cette partie, X_1 admet une espérance, que l' on note μ = E(X_1).
7) Que vaut E(T_k) ?
8) On suppose, dans cette question, que α est strictement supérieur à 2.X_1 admet donc une variance σ^2.
(a) Calculer V(T_k).
(b) Montrer que pour tout réel ε strictement positif,

(c) Déduire que, pour tout réel strictement positif ε, on a

On fixe un entier naturel m strictement positif. Pour tout entier naturel non nul i, on définit deux variables aléatoires Y_i^((m)) et Z_i^((m)) de la façon suivante

(a) Montrer que X_i = Y_i^((m)) + Z_i^((m)).
(b)
i) En utilisant la question 3(d)ii, montrer que

ii) Montrer que

iii) Calculer

iv) En déduire que

v) Montrer que

(c)
i) Montrer que

ii) En déduire que

(d) Soit ε un réel strictement positif. Montrer qu'il existe un entier naturel m_0 non nul tel que pour tout entier naturel m supérieur ou égal à m_0,

Jusqu'à la fin du problème, m désignera un entier supérieur ou égal à m_0.
(e) On note, pour tout entier naturel k non nul

Vérifier que

(f)
i) Montrer que

ii) En déduire que

(g)
i) Montrer que

ii) En déduire que

iii) Montrer que

iv) Montrer que

v) En déduire que

(h)
i) Montrer que pour tout couple d'événements A et B dans A, on a

ii) En appliquant l'inégalité précédente aux événements

montrer que

iii) Déduire des questions précédentes que pour tout réel ε strictement positif, et pour tout entier m supérieur ou égal à m_0, on a pour tout entier naturel k non nul,

iv) Pour k assez grand, appliquer l'inégalité précédente à un entier m_k ∈ [√k, 2√k] et conclure que