BCE Maths appliquées ESSEC ECG 2026, épreuve 2Sujet, corrigé et rapport du jury

Conception : ESSEC BS

MATHÉMATIQUES 2 APPLIQUÉES FILIÈRE ÉCONOMIQUE ET COMMERCIALE VOIE GÉNÉRALE

import numpy as np,numpy.random as rd

Résultats généraux

• 1.Soit k ∈ ℕ^∗ et B_1, …, B_k des événements. Montrer que ℙ(⋃_(i = 1)^k B_i) ⩽ ∑_(i = 1)^k ℙ(B_i).
• -Soit θ ∈ [0, 1].
• 2.On définit pour tout t ∈ ℝ, f(t) = (t^2)/8 + θt − ln(1 − θ + θe^t).
  • a)Montrer que f est de classe C^2 sur ℝ et que pour tout t réel : f^(′′)(t) = ((1 − θ − θe^t)^2)/(4(1 − θ + θe^t)^2).
  • b)En déduire que pour tout t réel, f(t) ⩾ 0 puis que
    (1 − θ)e^(− θt) + θe^((1 − θ)t) ⩽ exp((t^2)/8)
• 3.a) Justifier brièvement que la fonction t ↦ e^t est convexe sur ℝ.
  • b)En déduire que pour tout x ∈ [ − θ, 1 − θ] et t ∈ ℝ, e^(tx) ⩽ (θ + x)e^((1 − θ)t) + (1 − θ − x)e^(− θt).
• 4.Soit X une variable aléatoire d'espérance nulle à valeurs dans le segment [ − θ, 1 − θ]. En utilisant les deux questions précédentes, montrer que pour tout t ∈ ℝ, 𝔼(e^(tX)) existe et
  𝔼(e^(tX)) ⩽ exp((t^2)/8)

• -Soit n ∈ ℕ^∗ et X_1, …, X_n des variables aléatoires indépendantes à valeurs dans [0, 1] et de même espérance μ. On définit X¯_n par X¯_n = 1/n∑_(k = 1)^n X_k.
• 5.Inégalité de Hoeffding - Soit ε ⩾ 0.
  • a)En utilisant l'inégalité de Markov, montrer que, pour tout t > 0 :
    ℙ(X¯_n − μ ⩾ ε) ⩽ (𝔼(e^(t(X¯_n − μ))))/(e^(tε)) puis que ℙ(X¯_n − μ ⩾ ε) ⩽ e^(− tε)∏_(k = 1)^n 𝔼(exp(t/n(X_k − μ)))
  • b)En déduire que, pour tout t ⩾ 0, ℙ(X¯_n − μ ⩾ ε) ⩽ exp(− tε + (t^2)/(8n)), puis en choisissant convenablement t que
    ℙ(X¯_n − μ ⩾ ε) ⩽ exp(− 2nε^2)
• 6.Soit ε ⩾ 0. En considérant les variables 1 − X_1, …, 1 − X_n, montrer que
  ℙ(X¯_n − μ ⩽ − ε) ⩽ exp(− 2nε^2)
• 7.Soit α ∈ ]0, 1[. Si le paramètre μ est inconnu et X_1, …, X_n suivent la même loi, montrer que [X¯_n − √((ln(2/α))/(2n)), X¯_n + √((ln(2/α))/(2n))] est un intervalle de confiance aléatoire pour l'estimation de μ au niveau de confiance 1 − α.

Description du modèle

• -Le choix des actions : (I_j)_(j ∈ [ [1, n] ]) à valeurs dans [ [1, r] ], I_j est égale à la j-ème action réalisée.
• -Les récompenses aléatoires proposées : (X_(i, j))_(i ∈ [1, r], j ∈ [ [1, n] ]) sont des variables de Bernoulli indépendantes telles que pour tout i ∈ [ [1, r] ], j ∈ [ [1, n] ], X_(i, j) est de paramètre p_i.
  X_(i, j) est la récompense aléatoire pour l'action i lorsque celle-ci est effectuée pour la j-ième fois.
  On suppose que les (X_(i, j))_(i ∈ [ [1, r] ], j ∈ [ [1, n] ]) sont indépendantes des (I_j)_(j ∈ [ [1, n] ]).
• - Y_j est la variable aléatoire égale à la récompense pour la j-ème action réalisée, j ∈ [ [1, n] ].
• -Par exemple, si pour un certain ω ∈ Ω, les quatre premières actions réalisées sont 2, 4, 3 et 2, alors on a :
  I_1(ω) = 2, I_2(ω) = 4, I_3(ω) = 3, I_4(ω) = 2, Y_1(ω) = X_(2, 1)(ω), Y_2(ω) = X_(4, 1)(ω),; Y_3(ω) = X_(3, 1)(ω), Y_4(ω) = X_(2, 2)(ω).

• -Pour tous i ∈ [ [1, r] ], j ∈ [ [1, n] ] et ω ∈ Ω, N_(i, j)(ω) est égal au nombre d'indices k ∈ [ [1, j] ] tels que I_k(ω) = i.
• -Pour i ∈ [ [1, r] ], j ∈ [ [1, n] ] et ω ∈ Ω, X¯_(i, j)(ω) = 1/j∑_(k = 1)^j X_(i, k)(ω) et
  X^_(i, j)(ω) = {1/(N_(i, j)(ω))∑_(k = 1)^(N_(i, j)(ω))X_(i, k)(ω), si N_(i, j)(ω) ≠ 0; 0, sinon .

Utilisation d'une table SQL

• 8.a) Quelle requête renvoie I_(100)(ω) lorsqu'on l'exécute ?
  • b)Quelle requête renvoie la colonne des numéros des actions où on a réalisé l'action 2 et obtenu une récompense non nulle?
  • c)Ecrire une requête qui renvoie N_(1, 100)(ω).
  • d)Ecrire une requête qui renvoie X^_(2, n)(ω). Si l'on a N_(2, n)(ω) ⩾ 100, de quel paramètre X^_(2, n)(ω) est-elle une bonne estimation?

La stratégie ETC ^1 et une majoration de son regret moyen

• 9.Soit j ∈ [ [1, n] ].
  • a)Montrer que, 𝔼(Y_j) = ∑_(i = 1)^r ℙ([Y_j = 1] ∩ [I_j = i]).
  • b)Etablir que ℙ([Y_j = 1] ∩ [I_j = i]) = ∑_(k = 1)^j ℙ([X_(i, k) = 1] ∩ [I_j = i] ∩ [N_(i, j) = k]).
  • c)En déduire que 𝔼(Y_j) = ∑_(i = 1)^r p_i ℙ(I_j = i) puis que 𝔼(Y_j) ⩽ p^∗.
• -On définit le regret Δ_n = np^∗ − R_n et on pose pour tout i ∈ [ [1, r] ], δ_i = p^∗ − p_i.
• 10.a) Soit i ∈ [ [1, r] ]. Montrer que 𝔼(N_(i, n)) = ∑_(j = 1)^n ℙ(I_j = i).

• 12.
  Dans cette question n = 10, r = 3, m = 2, on réalise les 10 actions en appliquant la stratégie ETC et on obtient le tableau suivant :

  j	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10
  I_j(ω)	1	1	2	2	3	3	...	...	...	...
  Y_j(ω)	0	1	1	1	0	0	1	0	1	1

  Préciser alors les valeurs de X^_(1, 6)(ω), X^_(2, 6)(ω), X^_(3, 6)(ω) et Z_2(ω). En déduire par quelle(s) valeur(s) il faut compléter la deuxième ligne du tableau.
• 13.Écrire une fonction Python Z(m, r, Rec ) qui renvoie la valeur de Z_m obtenue lorsque la variable Rec est le vecteur des récompenses obtenues pour les rm premières actions suivant la stratégie ETC.
• 14.Soit i ∈ [ [1, r] ].
  • a)Que vaut N_(i, mr) ? En déduire que, X^_(i, mr) = X¯_(i, m).
  • b)En déduire que pour tout ε ⩾ 0,
    ℙ(X^_(i, mr) − p_i ⩾ ε) ⩽ exp(− 2mε^2) et ℙ(X^_(i, mr) − p_i ⩽ − ε) ⩽ exp(− 2mε^2)
• 15.On note s un élément de [ [1, r] ] tel que p_s = p^∗. Soit i ∈ [ [1, r] ].
  • a)Montrer que 𝔼(N_(i, n)) = m + (n − mr)ℙ(Z_m = i).
    En déduire que : 𝔼(N_(i, n)) ⩽ m + (n − mr)ℙ(X^_(i, mr) ⩾ X^_(s, mr))
  • b)Montrer que ℙ(X^_(i, mr) ⩾ X^_(s, mr)) ⩽ ℙ(X^_(i, mr) − p_i ⩾ (δ_i)/2) + ℙ(p_s − X^_(s, mr) ⩾ (δ_i)/2).
  • c)En conclure que :
    𝔼(N_(i, n)) ⩽ m + 2(n − mr)exp(− m(δ_i^2)/2) ⩽ m + 2nexp(− m(δ_i^2)/2)
• 16.a) Établir que :
  𝔼(Δ_n) ⩽ m∑_(i = 1)^r δ_i + 2n∑_(i = 1)^r δ_i exp(− m(δ_i^2)/2)

• • ▷ On pose α = ∑_(i = 1)^r δ_i et β = ∑_(1 ⩽ i ⩽ r, δ_i ≠ 0)1/(δ_i).
  • b)Montrer que pout tout x > 0, e^(− x) ⩽ 1/(xe). En déduire que 𝔼(Δ_n) ⩽ mα + 2nβ/m.
  • c)En choisissant m = ⌊√((2nβ)/α)⌋ + 1, montrer que pour n assez grand, m ⩾ 2, mr < n et que
    𝔼(Δ_n) ⩽ √(8αβ)√n + α

La stratégie UCB ^2 et une majoration de son regret

• 17.Soit θ ∈ ]0, 1[, j ∈ [ [1, n] ] et i ∈ [ [1, r] ], on pose γ = √((− ln(θ))/(2j)). Montrer que ℙ(X¯_(i, j) + γ ⩽ p_i) ⩽ θ.
• -La stratégie UCB consiste à définir les I_j comme suit pour tout j ∈ [ [1, n] ] et pour tout ω ∈ Ω :
  • -si j ∈ [ [1, r] ] alors I_j(ω) = j;
  • -si j ∈ [ [r, n − 1] ], posons pour tout i ∈ [ [1, r] ], U_(i, j)(ω) = X^_(i, j)(ω) + √((ln(n))/(N_(i, j)(ω))). I_(j + 1)(ω) est égal au plus petit indice i ∈ [ [1, r] ] pour lequel on a U_(i, j)(ω) = max_(1 ⩽ k ⩽ r)U_(k, j)(ω).
  • -On note aussi pour i ∈ [ [1, r] ] et j ∈ [ [1, n − 1] ], V_(i, j)(ω) = X¯_(i, j)(ω) + √((ln(n))/j).

• 18.a) Justifier que pour i ∈ [ [1, r] ] on a N_(i, r) = 1 et X^_(i, r) = X_(i, 1).
  • b)Ecrire une fonction Python Bernoulli(p) qui renvoie la valeur d'une simulation d'une variable aléatoire suivant la loi de Bernoulli de paramètre p.
  • c)En supposant que hatX contient X^_(i, j), N contient N_(i, j) et le vecteur P contient les valeurs de p_1, …, p_r, écrire une fonction Python maj(hatX, N, i, P) qui simule la récompense de l'action i, celle-ci étant (j + 1)-ème action réalisée et renvoie la valeur de X^_(i, j + 1) dans ces conditions.
• 19.
  Compléter l'écriture de la fonction Python Actions(P,n) ci-dessous pour qu'elle renvoie la simulation d'un vecteur des n actions réalisées par l'algorithme UCB si le vecteur P contient les valeurs de p_1, …, p_r.

  def Actions(P,n):
      r=np.shape(P)[0]; I=np.zeros(n)
      I[0:r]=[k+1 for k in range(r)];N=np.ones(r)
      hatX=np.array([Bernoulli(P[i]) for i in range(r)])
      for j in range(...,...):
          Max=hatX[0]+np.sqrt(np.log(n)/N[0])
          I[j]=1
  

    for k in range(1,r):
        val=hatX[k]+np.sqrt(np.log(n)/N[k])
        if val>Max:
            Max=...
            I[j]=...
    hatX[I[j]-1]=maj(hatX[I[j]-1],N[I[j]-1],I[j],P)
    N[I[j]-1]=...
return I

• Dans la suite de l'énoncé, on considère s ∈ [ [1, r] ] tel que p^∗ = p_s, i ∈ [ [1, r] ] tel que p_i < p^∗ et u ∈ [ [1, n − 1] ]. On note A_(i, u) l'événement [min_(j ∈ [ [r, n − 1] ])U_(s, j) ⩽ p_s] ∪ [V_(i, u) ⩾ p_s].

20. Majoration de 𝔼(N_(i, n))

• a)Montrer que si [N_(i, n) > u] est réalisé alors il existe k ∈ [ [r, n − 1] ] tel que [N_(i, k) = u] ∩ [U_(i, k) ⩾ U_(s, k)] est réalisé, puis que [V_(i, u) ⩾ min_(j ∈ [ [r, n − 1] ])U_(s, j)] l'est.
• b)Montrer que si [N_(i, n) > u] est réalisé alors A_(i, u) l'est. En déduire que
  𝔼(N_(i, n)) ⩽ u + ℙ(A_(i, u))n

21. Majoration de ℙ(A_(i, u))

• a)Montrer en utilisant la question 17 que :
  ℙ(min_(j ∈ [ [r, n − 1] ])U_(s, j) ⩽ p_s) ⩽ ℙ(min_(k ∈ [ [1, n − 1] ])V_(s, k) ⩽ p_s) ⩽ 1/n
• b)Etablir que si δ_i − √((ln(n))/u) ⩾ 0, ℙ(V_(i, u) ⩾ p_s) ⩽ exp(− 2u(δ_i − √((ln(n))/u))^2).
• -On suppose dans la suite que n est assez grand pour que (4ln(n))/(δ_i^2) ∈ [1, n − 2]. On choisit ⌊(4ln(n))/(δ_i^2)⌋ + 1 comme valeur de u pour la suite de cette question.
• c)Montrer que la fonction φ : t ↦ exp(− 2(δ_i√t − √(ln(n)))^2) est décroissante sur [(ln(n))/(δ_i^2), + ∞[.
• d)En déduire que ℙ(V_(i, u) ⩾ p_s) ⩽ 1/(n^2) puis que ℙ(A_(i, u)) ⩽ 2/n.