BCE Maths appliquées ESSEC ECG 2025, épreuve 2Sujet, corrigé et rapport du jury

Conception : ESSEC BS
MATHÉMATIQUES 2 APPLIQUÉES
FILIÈRE ÉCONOMIQUE ET COMMERCIALE VOIE GÉNÉRALE

import numpy as np,numpy.random as rd,matplotlib.pyplot as plt

Partie I - Des résultats généraux

• 1.Montrer que pour tout t réel, e^t ⩾ 1 + t et que, pour tout t > − 1, ln(1 + t) ⩽ t.
• 2.On définit la fonction f sur [0, 1] par f(t) = (1 + t)e^(− t) − t.
  • a)Étudier les variations de f et montrer qu'il existe un unique α ∈ ]0, 1[ tel que f(α) = 0 et que pour tout t ∈ [0, 1], f(t) > 0 ⟺ t < α.
  • b)Écrire un programme Python qui renvoie une valeur approchée de α à 10^(− 3) près.
  • c)Montrer que pour tout t ∈ [0, 1], e^t ⩽ 1 + 2t.
    En déduire que α ⩾ 1/(√2).
• 3.Soit U une variable aléatoire à densité, à valeurs dans [0,1[, qui suit la loi uniforme et p ∈ ]0, α[. On pose β = f(p).
  On définit les variables aléatoires X et Y par :
  X = 1_([β < U ⩽ β + p]) et pour tout ω ∈ Ω, Y(ω) = min{k ∈ ℕ/U(ω) ⩽ ∑_(i = 0)^k(p^i)/(i!)e^(− p)}
  • a)Écrire une fonction Python, minimum(x,p) qui renvoie le minimum de l'ensemble {k ∈ ℕ/x ⩽ ∑_(i = 0)^k(p^i)/(i!)e^(− p)} lorsque x ∈ [0, 1[ et p ∈ ]0, 1[.
    En déduire une fonction simuly (p) qui réalise une simulation de Y.
  • b)Montrer que Y suit la loi de Poisson de paramètre p.
  • c)Soit k un entier, k ⩾ 2. Montrer que si [Y = k] est réalisé alors [X = 0] l'est. En déduire que ℙ([X = 0] ∩ [Y = k]) = (p^k)/(k!)e^(− p).
  • d)Montrer que [X = 0] ∩ [Y = 1] = ∅. En déduire que
    ℙ([X = 1] ∩ [Y = 1]) = pe^(− p), ℙ([X = 0] ∩ [Y = 0]) = β, ℙ([X = 1] ∩ [Y = 0]) = p(1 − e^(− p))
  • e)Montrer que ℙ(X ≠ Y) = 1 + p − (1 + 2p)e^(− p), puis que ℙ(X ≠ Y) ⩽ 2p^2.
• 4.Inégalité de Boole - Soit k ∈ ℕ^∗, B_1, …, B_k des événements. On pose T = ∑_(i = 1)^k 1_(B_i).

• • a)Montrer que ℙ(T ⩾ 1) = ℙ(⋃_(i = 1)^k B_i).
  • b)En utilisant une inégalité du cours, que l'on énoncera précisément, en déduire que :
    ℙ(⋃_(i = 1)^k B_i) ⩽ ∑_(i = 1)^k ℙ(B_i)
• 5.Soit X et Y deux variables aléatoires à valeurs dans ℕ. On pose
  δ(X, Y) = ∑_(k = 0)^(+ ∞)|ℙ(X = k) − ℙ(Y = k)| et d(X, Y) = ℙ(X ≠ Y)
  • a)Justifier que la série définissant δ(X, Y) est bien convergente.
  • b)Soit k ∈ ℕ tel que ℙ(X = k) ⩾ ℙ(Y = k).
    Montrer que |ℙ(X = k) − ℙ(Y = k)| ⩽ P([X = k] ∩ [Y ≠ k]).
  • c)En déduire que pour tout k ∈ ℕ,
    |ℙ(X = k) − ℙ(Y = k)| ⩽ P([X = k] ∩ [Y ≠ k]) + P([X ≠ k] ∩ [Y = k])
  • d)En conclure que δ(X, Y) ⩽ 2d(X, Y) ⩽ 2.

Partie 2 - Une inégalité d'après Hodge et Le Cam

• 6.Montrer que si l'un au moins des p_k est supérieur ou égal à α alors (LC) est vérifiée.
• -On suppose dans la suite de cette partie que pour tout k ∈ [ [1, n] ], p_k < α.
• 7.Justifier brièvement que X_1, …, X_n (respectivement Y_1, …, Y_n ) sont indépendantes.
• 8.Quelle est la loi de T_n ? Si les p_k sont tous égaux à λ/n, quelle est la loi de S_n ? Quelle est alors la limite en loi de la suite (S_n)_(n ∈ ℕ^∗) ?
• 9.a) Montrer que [S_n ≠ T_n] ⊂ ⋃_(k = 1)^n[X_k ≠ Y_k].
  • b)En déduire que pour tout n ∈ ℕ^∗, δ(S_n, T_n) ⩽ 4∑_(k = 1)^n p_k^2.

• 10.Un cas particulier - On suppose dans cette question que tous les p_k sont égaux à λ/n. Montrer que pour tout n ∈ ℕ^∗, ∑_(k = 0)^n|(n/k)(λ/n)^k(1 − λ/n)^(n − k) − (λ^k)/(k!)e^(− λ)| ⩽ (4λ^2)/n.
• 11.Une application - Soit n un entier, n ⩾ 2, on réalise n expériences de Bernoulli indépendantes avec les probabilités de succès respectives 1/(n + 1), 1/(n + 2), …, 1/(2n). On note S_n le nombre de succès de l'expérience totale et s_n = ∑_(k = 1)^n 1/(n + k).
  • a)Montrer que pour tout k ∈ ℕ, |ℙ(S_n = k) − (s_n^k)/(k!)e^(− s_n)| ⩽ 4/n.
  • b)Établir que pour tout k ∈ [ [1, n] ],
    ∫_k^(k + 1)1/(n + t)dt ⩽ 1/(n + k) ⩽ ∫_(k − 1)^k 1/(n + t)dt
  • c)En déduire un encadrement de s_n puis que lim_(n → + ∞)s_n = ln(2).
  • d)En conclure que (S_n)_(n ⩾ 2) converge en loi vers une variable aléatoire S qui suit la loi de Poisson de paramètre ln(2).

Partie 3 - Étude du maximum d'une fonction

• 12.Montrer que h est de classe C^1 sur ℝ^+et préciser la valeur de h^′(0).
• -On définit alors la fonction g sur ℝ^+par g(x) = e^(− x)∫_0^x h(t)dt.
• 13.a) Montrer que pour tout x ⩾ 0, g^′(x) = e^(− x)(1 − ∫_0^x(h(t) − h^′(t))dt).
  • b)Montrer que pour tout t > 0, h(t) − h^′(t) = (e^t − 1 − t)/(t^2).
  • c)En déduire que pour tout t ⩾ 0, h(t) − h^′(t) > 0 et lim_(x → + ∞)∫_0^x(h(t) − h^′(t))dt = + ∞.
  • d)Dans un même tableau, représenter le signe de g^′ et les variations de g en justifiant que g possède un maximum qui est atteint en un unique réel noté γ > 0 que l'on fera apparaitre dans ce tableau.
• 14.a) Montrer que pour tout t > 0, 1/2 ⩽ (e^t − 1 − t)/(t^2) ⩽ 1/2e^t.
  • b)En déduire que pour tout x ⩾ 0, e^(− x)(3 − e^x)/2 ⩽ g^′(x) ⩽ e^(− x)(1 − x/2).
  • c)En conclure que γ ∈ [ln(3), 2].
• 15.a) Soit n ∈ ℕ^∗ et x ∈ [0, n], montrer que :
  ∑_(k = 0)^n(x^k)/(k!) ⩽ e^x ⩽ ∑_(k = 0)^n(x^k)/(k!) + (x^n)/(n!)∑_(k = n + 1)^(+ ∞)(x/(n + 1))^(k − n) ⩽ ∑_(k = 0)^n(x^k)/(k!) + (x^(n + 1))/(n!)
  et en déduire que ∑_(k = 1)^n(x^(k − 1))/(k!) ⩽ h(x) ⩽ ∑_(k = 1)^n(x^(k − 1))/(k!) + (x^n)/(n!).

• • b)En conclure que pour tout n ∈ ℕ^∗ et x ∈ [0, n],
    e^(− x)(∑_(k = 1)^n(x^k)/(k!k)) ⩽ g(x) ⩽ e^(− x)(∑_(k = 1)^n(x^k)/(k!k)) + e^(− x)(x^(n + 1))/((n + 1)!)
    puis que pour tout x ⩾ 0, g(x) = e^(− x)∑_(k = 1)^(+ ∞)(x^k)/(k!k).
• 16.
  Compléter le programme suivant pour qu'il trace la partie de la courbe de g comprise entre les abscisses ln(3) et 2 , les valeurs de g étant calculées à 10^(− 4) près :

  X = np.linspace(np.log(3),2,100)
  Y = []
  for x in X:
      n = 2;s = x + x**2/4;d = x**3/6
      while d * np.exp(-x) > 0.0001:
          n = n + 1
          s = s + ...
          d = d*x/...
      Y.append(s*...)
  plt.plot(X,Y)
  plt.grid()
  plt.show()
  

  On obtient le graphique suivant :
  

  

Partie 4 - Le problème du meilleur choix

• 17.Une minoration dans le cas général
  • a)Montrer que ℙ(Y_(n, s) = Z_n) ⩾ ℙ(K_(n, s) = 1).
  • b)On pose θ = ℙ(Z_n ⩽ s). Montrer que ℙ(K_(n, s) = 1) = θ∑_(k = 1)^n(p_k)/(1 − p_k).
  • c)En déduire que ℙ(Y_(n, s) = Z_n) ⩾ − θln(θ).
  • d)En déduire l'existence d'au moins une valeur de s, que l'on définira à l'aide de la fonction de répartition F_n de Z_n, pour laquelle ℙ(Y_(n, s) = Z_n) ⩾ 1/e.
• -On suppose désormais que les X_k suivent la même loi donc que les p_k sont tous égaux, non nuls.
  On note p cette valeur commune, F la fonction de répartition et f une densité communes aux X_k.
  On admet que si X et Y sont deux variables à densité indépendantes, de fonction de répartition F_X pour X et de densité f_Y pour Y, on a alors ℙ(X ⩽ Y) = ∫_(− ∞)^(+ ∞)F_X(t)f_Y(t)dt.
  On rappelle que si A est un événement de probabilité non nulle, (Ω, A, ℙ_A) est un espace probabilisé admettant les mêmes variables aléatoires et ayant les mêmes propriétés que (Ω, A, ℙ).
• 18.Une estimation - On suppose dans cette question les X_k suivent la loi uniforme sur [0, 1[.
  • a)Montrer que s = 1 − p.
  • b)Écrire une fonction Python simulCouple (n,p) qui renvoie une simulation du couple (Z_n, Y_(n, s)).
  • c)Écrire un programme Python qui réalise et affiche une estimation de r_(10) dans ces conditions lorsque n = 10 et p = 0.15.
• 19.Une expression explicite de r_n - Soit k ∈ [ [1, n] ], on note I_1, …, I_((n/k)) les parties à k éléments de [ [1, n] ].
  Pour tout j ∈ [ [1, (n/k)] ], on définit A_j l'événement (⋂_(i ∈ I_j)[X_i > s])⋂(⋂_(i ∉ I_j)[X_i ⩽ s]).
  • a)Montrer que pour tout x réel et i ∈ I_j,
    ℙ_(A_j)(X_i ⩽ x) = {(F(x) − F(s))/p, si x > s; 0, sinon
    et que les X_i pour i ∈ I_j sont indépendantes pour la probabilité ℙ_(A_j).
  • b)En déduire que pour tout r ∈ I_j :
    ℙ_(A_j)(X_r = max_(i ∈ I_j)(X_i)) = 1/(p^k)∫_s^(+ ∞)(F(t) − F(s))^(k − 1)f(t)dt = 1/k

• • c)Montrer que :
    ℙ([Y_(n, s) = Z_n] ∩ [K_(n, s) = k]) = ∑_(j = 1)^((n/k))ℙ([Y_(n, s) = Z_n] ∩ A_j) et que ℙ_(A_j)(Y_(n, s) = Z_n) = 1/k
  • d)Montrer de même que ℙ([Y_(n, s) = Z_n] ∩ [K_(n, s) = 0]) = 1/n(1 − p)^n.
  • e)En conclure que r_n = 1/n(1 − p)^n + ∑_(k = 1)^n 1/k(n/k)p^k(1 − p)^(n − k).
• 20.Comportement asymptotique - On suppose que p = λ/n, λ étant un réel strictement positif ne dépendant pas de n.
  • a)En utilisant un résultat de la partie 2, montrer que pour tout n ∈ ℕ^∗,
    ∑_(k = 1)^n 1/k|(n/k)(λ/n)^k(1 − λ/n)^(n − k) − (λ^k)/(k!)e^(− λ)| ⩽ (4λ^2)/n
  • b)En déduire que lim_(n → + ∞)r_n = (∑_(k = 1)^(+ ∞)(λ^k)/(k!k))e^(− λ).
• 21.On suppose que n est assez grand pour pouvoir considérer que r_n vaut (∑_(k = 1)^(+ ∞)(λ^k)/(k!k))e^(− λ). Comment choisir s pour que cette probabilité soit maximale ?

Aide-mémoire Python

import numpy as np
np.linspace(a,b,n) Crée un vecteur de n valeurs uniformément réparties entre a et b (inclus)
    np.zeros(n) Crée le vecteur nul de taille n
    np.ones(n) Crée le vecteur de taille (n dont tous les coefficients valent 1
    np.max(M) Renvoie le plus grand élément de M, matrice ou vecteur
    np.min(M) Renvoie le plus petit élément de M, matrice ou vecteur
np.arange(a,b,eps) Renvoie le vecteur des flottants de a à b de pas constant eps, b étant exclu
    np.sqrt(x) Renvoie 5x, 5i x 
    np.log(x) Renvoie ln(x) si x > 0
    np.exp(x) Renvoie ex
        np.e Renvoie e

import numpy.random as rd
        rd.random([r,s]) Simule une réalisation d'une matrice (r,s) dont les coefficients sont des variables
            aléatoires indépendantes qui suivent la loi uniforme U([0,1])
    rd.binomial(n,p,[r,s]) Simule une réalisation d'une matrice (r,s) dont les coefficients sont des variables
            aléatoires indépendantes qui suivent la loi binomiale B(n, p)
        rd.poisson(a,[r,s]) Simule une réalisation d'une matrice (r,s) dont les coefficients sont des variables
            aléatoires indépendantes qui suivent la loi de Poisson P(a)

import matplotlib.pyplot as plt
    plt.plot(X,Y,options) Crée la courbe des points définis par les listes X, abscisses, et Y, ordonnées
            suivant les options graphiques définies par la chaîne de caractères
            facultative options
    plt.xlim(xmin,xmax) Fixe les bornes de l'axe des abscisses
    plt.ylim(ymin,ymax) Fixe les bornes de l'axe des ordonnées
        plt.show() Affiche le graphique
        plt.grid() Affiche un quadrillage