BCE Maths approfondies emlyon ECG 2025Sujet, corrigé et rapport du jury

Conception : emlyon Business School
MATHÉMATIQUES APPROFONDIES
FILIÈRE ÉCONOMIQUE ET COMMERCIALE VOIE GÉNÉRALE

Problème 1

• 1.Justifier que, pour tout n ∈ ℕ, les intégrales I_n et J_n sont bien définies et exprimer J_n en fonction de I_n.
• 2.Calculer I_0.
• 3.Montrer que la suite (I_n)_(n ⩾ 0) est décroissante.
• 4.Montrer, à l'aide d'une intégration par parties, que, pour tout n ⩾ 1,
  I_n = (2n)/(2n + 1)I_(n − 1).
• 5.En déduire, par récurrence, que, pour tout n ∈ ℕ,
  I_n = ((2^n n!)^2)/((2n + 1)!)
  puis donner la valeur de J_n.
• 6.
  Informatique. Compléter alors la fonction Python ci-dessous pour qu'elle calcule et renvoie la valeur de I_n, où n est en argument.

  def I(n) :
      i=1
      for k in ........... :
          i = ...............
      return i
  

• 7.On admet la formule de Stirling : n! ∼ _(n → + ∞)√(2πn)(n/e)^n. Montrer que J_n ∼ _(n → + ∞)√(π/n).

• 8.Montrer que l'application
  ℝ[x] × ℝ[x], ⟶ ℝ; (P, Q), ⟼ ∫_(− 1)^1 P(t)Q(t)dt
  définit un produit scalaire sur ℝ[x].

• 9.Les polynômes de B_n sont-ils deux à deux orthogonaux pour ce produit scalaire ?

• 10.Montrer que u est un endomorphisme de ℝ_n[x].
• 11.a. Montrer que u(e_0) = 0 puis que u(e_1) = − 2e_1.
  • b.Soit k ∈ [ [2, n] ]. Montrer que u(e_k) = − k(k + 1)e_k + k(k − 1)e_(k − 2).
  • c.Déduire des deux questions précédentes le spectre de u ainsi que la dimension de chaque sous-espace propre.
• 12.Montrer, à l'aide d'une intégration par parties, qu'il existe une base orthonormale de ℝ_n[x] formée de vecteurs propres de u. En déduire l'existence d'une base orthogonale de ℝ_n[x] formée de vecteurs propres de u pour lesquel le coefficient du terme de plus haut degré vaut 1. On notera L_n = (L_0, L_1, …, L_n) cette base.

• 13.Soit m > n un entier. Soit f ∈ ℝ_m[x] un polynôme.
  • a.Montrer qu'il existe un unique polynôme T_n ∈ ℝ_n[x] tel que
    ‖f − T_n‖ = min_(g ∈ ℝ_n[x])‖f − g‖.
    Montrer qu'il existe (c_0, …, c_n) ∈ ℝ^(n + 1) tel que T_n = ∑_(k = 0)^n c_k L_k.
    On précisera, pour tout k ∈ [ [0, n] ], l'expression de c_k en fonction de f et de L_k.
  • b.Montrer que ‖f − T_n‖^2 = ‖f‖^2 − ∑_(k = 0)^n c_k^2‖L_k‖^2.
• 14.On considère, pour tout k ∈ ℕ, les polynômes P_k : x ↦ (x^2 − 1)^k et Q_k = P_k^((k)) ( Q_k est ainsi obtenu en dérivant k fois P_k ). En particulier, Q_0 = P_0^((0)) = P_0.
  • a.Montrer que Q_k est un polynôme de degré k et que son coefficient de plus haut degré vaut ((2k)!)/(k!).
  • b.Expliciter les polynômes Q_0, Q_1 et Q_2.
  • c.i. Montrer que, pour tout k ∈ ℕ, pour tout x ∈ ℝ : P_1(x)P_k^′(x) = 2ke_1(x)P_k(x).
    • ii.Soit k ∈ [ [0, n] ] fixé. En dérivant, à l'aide de la formule de Leibniz, la relation précédente à l'ordre k + 1, montrer que :
      ∀x ∈ ℝ, (1 − x^2)Q_k^(′′)(x) − 2xQ_k^′(x) + k(k + 1)Q_k(x) = 0.
      En déduire que Q_k est un vecteur propre de u associé à la valeur propre − k(k + 1).
    • iii. Conclure que, pour tout k ∈ [ [0, n] ] : L_k = (k!)/((2k)!)Q_k.
  • d.Montrer par récurrence que, pour tout k ∈ ℕ, on a :
    ∀(f, g) ∈ ℝ[x] × ℝ[x], ∫_(− 1)^1 f^((k))(t)g(t)dt = ∑_(j = 0)^(k − 1)(− 1)^j[f^((k − 1 − j))(t)g^((j))(t)]_(− 1)^1 + (− 1)^k∫_(− 1)^1 f(t)g^((k))(t)dt.
  • e.Soit k ∈ [ [0, n] ] fixé.
    • i.Vérifier que : ∀x ∈ ℝ, P_k^((2k))(x) = (2k)!.
    • ii.Montrer par récurrence que, pour tout ℓ ∈ [ [0, k] ], il existe un polynôme R_(k, ℓ) de degré inférieur ou égal à ℓ tel que
      ∀x ∈ ℝ, P_k^((ℓ))(x) = (x^2 − 1)^(k − ℓ)R_(k, ℓ)(x).

• • iii.En déduire que, pour tout ℓ ∈ [ [0, k − 1] ], P_k^((ℓ))(− 1) = P_k^((ℓ))(1) = 0 puis, à l'aide des résultats de la Partie 1, que
    ‖Q_k‖^2 = (2^(2k + 1)(k!)^2)/(2k + 1), puis ‖L_k‖ = 2^k√(2/(2k + 1))((2k)/k)^(− 1).

Problème 2

• 1.Montrer que f peut être considérée comme une densité de probabilité.

• 2.Montrer que X n'admet ni espérance, ni variance.
• 3.Donner, pour tout x ∈ ℝ, l'expression de F(x). Montrer que F réalise une bijection de ℝ sur ]0, 1[ et préciser, pour tout y ∈ ]0, 1[, l'expression de F^(− 1)(y).
• 4.a. Soit U une variable aléatoire de loi uniforme sur ]0, 1[. Montrer que Y = F^(− 1)(U) suit la même loi que X.
  • b.Informatique. Déduire de la question précédente l'écriture d'une fonction Python d'en-tête def cauchy() : qui renvoie une simulation de X.

• 5.Montrer que Z est une variable aléatoire à densité et expliciter une densité f_Z de Z.
• 6.Justifier que Z admet une espérance, mais pas de variance.
• 7.Le but de cette question est de calculer explicitement E(Z).
  • a.Déterminer deux réels α et β tels que
    ∀x ⩾ 0, (x^2)/((x^2 − √2x + 1)(x^2 + √2x + 1)) = (αx)/(x^2 − √2x + 1) + (βx)/(x^2 + √2x + 1).
  • b.Justifier que intégrales ∫_0^(+ ∞)(dx)/(x^2 − √2x + 1) et ∫_0^(+ ∞)(dx)/(x^2 + √2x + 1) convergent.
    Obtenir, à l'aide d'un changement de variable affine que :
    ∫_0^(+ ∞)(dx)/(x^2 + √2x + 1) = π/(2√2).
    On admet qu'on peut obtenir de la même manière : ∫_0^(+ ∞)(dx)/(x^2 − √2x + 1) = (3π)/(2√2).

• • c.En observant que, pour tout x ⩾ 0, (αx)/(x^2 − √2x + 1) + (βx)/(x^2 + √2x + 1) = α/2((2x − √2)/(x^2 − √2x + 1) + (√2)/(x^2 − √2x + 1)) + β/2((2x + √2)/(x^2 + √2x + 1) − (√2)/(x^2 + √2x + 1)), en déduire que E(Z) = √2.
• 8.
  Informatique. On suppose écrite correctement la fonction de la Question 4.b. On dispose du programme ci-dessous dont l'exécution produit, après un temps certain, l'affichage ci-après.
  Comment interpréter cet affichage ? Quel résultat peut-on conjecturer ? À quel résultat du cours serait-on tenté de faire appel pour démontrer cette conjecture ? Pourquoi ne peut-on pas l'appliquer ? On détaillera le raisonnement.

  def mystere(eps, n):
      L=np.zeros(1000)
      for k in range(1000):
          ech=np.zeros(n)
          for i in range(n):
              ech[i]=np.sqrt(np.abs(cauchy()))
          if np.abs(np.sum(ech)/n-np.sqrt(2)) <= eps :
              L[k]=1
      return np.sum(L)/1000
  M=np.zeros([4,7])
  eps=np.array([1, 0.5, 0.1, 0.05])
  n=np.array([100, 500, 1000, 1500, 3000, 5000, 50000])
  for i in range(4):
      for j in range(7):
          M[i,j]=mystere(eps[i], n[j])
  print(M)
  

> > >
[[0.99 1. 0.999 1. 1. 1. 1. ]
[0.964 0.995 0.995 0.998 0.999 0.999 1. ]
[0.411 0.725 0.846 0.903 0.965 0.988 0.997]
[0.21 0.428 0.548 0.599 0.742 0.834 0.992]

9. Reconnaître la loi de 𝟙_A. Préciser son espérance et sa variance.

• 10.a. Justifier que :
  ∀ω ∈ Ω, 𝟙_([X > s])(ω) = χ_(]s; + ∞[)(X(ω)).
  • b.Soit φ_s la fonction définie par : ∀x ∈ ℝ, φ_s(x) = |x|χ_(]s, + ∞)[(|x|).
    Tracer la courbe représentative de φ_s.
    Donner sans justification les points de discontinuité de φ_s.

• 11.Soit k ∈ ℕ^∗. Quelle relation a-t-on entre X_k, Y_k et Z_k ?
• 12.Soit k ∈ ℕ^∗. Montrer que Y_k admet un moment d'ordre 2 et que E(Y_k^2) ⩽ M^2.
• 13.Soit k ∈ ℕ^∗.
  • a.À l'aide des Questions 10.a. et 10.b., montrer que : lim_(M → + ∞)E(|Z_k|) = 0.
  • b.En déduire que : lim_(M → + ∞)E(Z_k) = 0.
  • c.Obtenir alors que : lim_(M → + ∞)E(Y_k) = E(X_k) = 0.

• 14.Soient x, y ∈ ℝ. Montrer que
  |x + y| > t ⟹ ([|x| > t/2] ou [|y| > t/2])
• 15.On note alors, pour tout n ∈ ℕ^∗,
  X¯_n = (X_1 + … + X_n)/n, Y¯_n = (Y_1 + … + Y_n)/n et Z¯_n = (Z_1 + … + Z_n)/n.
  Déduire de la question précédente que :
  ∀n ∈ ℕ^∗, P(|X¯_n| > t) ⩽ P(|Y¯_n| > t/2) + P(|Z¯_n| > t/2).
• 16.a. Montrer que, pour tout n ∈ ℕ^∗ : P(|Z¯_n| > t/2) ⩽ 2/tE(|Z_1|).
  • b.Montrer ensuite qu'il existe un réel M_1 > 0, tel que, si M ⩾ M_1, alors :
    ∀n ∈ ℕ^∗, P(|Z¯_n| > t/2) ⩽ ε/3.
• 17.a. Montrer que :
  ∀n ∈ ℕ^∗, E(Y¯_n^2) = 1/(n^2)(∑_(k = 1)^n E(Y_k^2) + 2∑_(1 ⩽ i < j ⩽ n)E(Y_i Y_j)).

• b.Montrer que :
  ∀n ∈ ℕ^∗, 2∑_(1 ⩽ i < j ⩽ n)E(Y_i Y_j) ⩽ n(n − 1)E(Y_1)^2.
• c.Obtenir ensuite que :
  ∀n ∈ ℕ^∗, E(Y¯_n^2) ⩽ (M^2)/n + E(Y_1)^2.
• d.Justifier l'existence d'un réel M_2 > 0 tel que, si M ⩾ M_2, alors :
  E(Y_1)^2 ⩽ (t^2 ε)/(12).
• e.Obtenir alors que, si M ⩾ M_2, alors :
  ∀n ∈ ℕ^∗, P(|Y¯_n| > t/2) ⩽ (4M^2)/(t^2 n) + ε/3.

18. Montrer que, si M ⩾ max(M_1, M_2), alors :

19. Conclure qu'on a :

20. Interpréter ce résultat en le comparant à un résultat du cours que l'on citera explicitement. Commenter alors à nouveau le résultat affiché par l'exécution du programme de la Question 8.