BCE Maths approfondies EDHEC ECG 2026Sujet et corrigé

Conception : EDHEC BS
MATHÉMATIQUES APPROFONDIES
FILIÈRE ÉCONOMIQUE ET COMMERCIALE
VOIE GÉNÉRALE

• 1)Écrire en Python une fonction simulZ permettant de simuler Z.
• 2)Justifier l'existence de l'espérance et de la variance de Z puis les déterminer.
• 3)On note F la fonction de répartition commune à Y_1 et Y_2.
  • a)Déterminer F(x) pour tout réel x.
  • b)En déduire une densité f commune à Y_1 et Y_2.

4. a) Vérifier que la fonction h, définie par h(x) = {− xe^x, si x ≤ 0; 0, si x > 0, est une densité de Y_1 + Y_2.
   b) En déduire la fonction de répartition H de Y_1 + Y_2.
   c) Déterminer la fonction de répartition F_Z de Z puis vérifier qu'une densité f_Z de Z est donnée par :

5. a) Pour tout entier naturel n, montrer que l'intégrale ∫_0^1 x^n ln(x)dx converge et donner sa valeur.
   b) Retrouver alors les valeurs de E(Z) et V(Z) déterminées à la question 2).

Exercice 2

1. Montrer que l'on définit parfaitement deux suites (u_n)_(n ∈ ℕ^∗) et (v_n)_(n ∈ ℕ^∗) en posant u_1 = 0, v_1 = 2 et, pour tout entier naturel n non nul :

2. Compléter la fonction Python suivante afin qu'elle renvoie v_n.

def suite_v(n):
    u=0
    v=2
    for k in range(2,n+1):
        ⋮
        ⋮
    return v

3. a) Montrer qu'il existe une unique suite (α_n)_(n ∈ ℕ^∗) dont les éléments appartiennent à [0, π/2] et telle que :

5. Accélération de convergence par la méthode de Richardson.
   On pose, pour tout n de ℕ^∗, w_n = (4v_(n + 1) − v_n)/3.

• a)Écrire en Python une fonction suite_w utilisant la fonction suite_v et qui renvoie w_n.
• b)Donner la limite de w_n.
• c)Montrer que w_n = _(n → + ∞)π − (π^5)/(480 × 4^(2n)) + o(1/(4^(2n))), puis déterminer un équivalent de (w_n − π)/(v_n − π) lorsque n est au voisinage de + ∞.
• d)Dans le cadre de la recherche d'une valeur approchée de π, quel intérêt y a-t-il à utiliser la suite (w_n)_(n ∈ ℕ^∗) plutôt que la suite (v_n)_(n ∈ ℕ^∗) ?

6. Généralisation de la méthode de Richardson.
   Étant donnés deux réels q et r de ]0,1[ tels que q > r, on considère une suite (x_n)_(n ∈ ℕ^∗) vérifiant :

• a)Définir une suite (y_n)_(n ∈ ℕ^∗) dont le terme général est combinaison linéaire de x_n et x_(n + 1), qui vérifie y_n = _(n → + ∞)a + dr^n + o(r^n), où d est une constante à déterminer en fonction de c, q et r.
• b)Montrer que x_n = _(n → + ∞)a + bq^n + o(q^n).
• c)En déduire que la suite (y_n)_(n ∈ ℕ^∗) converge vers a plus rapidement que la suite (x_n)_(n ∈ ℕ^∗).

Exercice 3

1. a) Déterminer, pour tout entier naturel k non nul, la loi de X_k.
   b) Montrer que, pour tout entier naturel k non nul, X_k possède une espérance et une variance, puis calculer E(X_k) et V(X_k).
2. On note Y la variable aléatoire égale au rang du premier retour à l'origine du mobile (sans prendre en compte son positionnement au départ) et on pose Y = 0 s'il n'y a aucun retour à l'origine.
   a) Pour tout entier naturel n non nul, exprimer l'événement (Y = n) à l'aide des variables aléatoires X_1, X_2, …, X_n.
   b) En déduire que l'on a :

• c)Déterminer par le calcul la valeur de ∑_(n = 1)^(+ ∞)P(Y = n). En déduire P(Y = 0).
• d)La variable Y admet-elle une espérance ?

def var_Z(n):
    U=------
    Z=------
    return Z

4. a) Montrer que, pour tout i de ℕ^∗, on a l'égalité :

• b)En déduire la valeur de lim_(n → + ∞)P(Z_n = i).
• c)Conclure quant à la convergence en loi de la suite (Z_n)_(n ∈ ℕ^∗).

5. Espérance de Z_n.
   Justifier que l'on peut utiliser la formule de l'espérance totale puis établir que l'espérance de Z_n est donnée par :

6. Équivalent de E(Z_n) lorsque n est au voisinage de + ∞.

• a)Montrer que, pour tout k de ℕ^∗, on a :
  1/(k + 1) ≤ ln(k + 1) − ln(k) ≤ 1/k
• b)Établir, pour tout entier naturel n supérieur ou égal à 2 , l'encadrement :
  ln(n) + 1/n ≤ E(Z_n) ≤ ln(n) + 1
• c)En déduire un équivalent de E(Z_n).

1. On suppose que A est positive et on considère une valeur propre λ de A.

• a)Montrer qu'il existe un vecteur X non nul de M_(n, 1)(ℝ) tel que λ = (^t XAX)/(^t XX).
• b)En déduire que λ ≥ 0.

2. a) Justifier l'existence d'une matrice orthogonale P de M_n(ℝ) et d'une matrice diagonale D de M_n(ℝ) telles que A = PD^t P.
   On pose D = (λ_1, (0); λ_2, ⋱; (0), λ_n) et on suppose que les réels λ_1, …, λ_n sont tous positifs, non nécessairement distincts.

• b)Pour tout vecteur X de M_(n, 1)(ℝ), on pose Y = ^t PX. Montrer que ^t XAX = ^t YDY.
• c)En déduire que : ∀X ∈ M_(n, 1)(ℝ), ^t XAX ≥ 0.

3. Conclure quant à l'objectif annoncé.

6. On note S le polynôme défini par S = ∑_(i = 1)^p√(μ_i)L_i.

• a)Montrer que S(μ_k) = √(μ_k) pour tout k de [ [1, p] ] et en déduire S(λ_i), pour tout i de [ [1, n] ].
• b)Établir, pour tout entier naturel k, la relation A^k = PD^(kt)P.
• c)En déduire que S(A) = PS(D)^t P puis établir finalement que B = S(A).

9. En s'inspirant des questions 1) et 2), mais sans refaire les calculs déjà faits, montrer qu'une matrice A de S_n(ℝ) est définie positive si, et seulement si, ses valeurs propres sont strictement positives.
10. Soit M une matrice de S_n(ℝ). On note Sp(M) l'ensemble des valeurs propres de M.
    On pose N = M − I_n.
    a) Montrer que N est symétrique.
    On suppose dans la suite de cette question que N est positive.
    b) Montrer que Sp(M) ⊂ [1, + ∞[ et en déduire que M est inversible.
    Établir que I_n − M^(− 1) est positive.
11. Soit S_1 et S_2 deux matrices de S_n(ℝ), avec S_1 définie positive.
    On admet sans démonstration que S_2 − S_1 est symétrique et on suppose que S_2 − S_1 est positive.

• a)Montrer que S_2 est définie positive.
• b)Justifier que S_1^(1/2) est inversible puis développer et simplifier le produit S_1^(− 1/2)(S_2 − S_1)S_1^(− 1/2), où S_1^(− 1/2) désigne l'inverse de S_1^(1/2).
• c)On pose L = S_1^(− 1/2)S_2 S_1^(− 1/2).

• d)Justifier que L est inversible et que I_n − L^(− 1) est positive.
• e)Établir finalement que S_1^(1/2)(S_1^(− 1) − S_2^(− 1))S_1^(1/2) est positive et conclure que S_1^(− 1) − S_2^(− 1) est positive.