BCE Maths approfondies EDHEC ECG 2025Sujet, corrigé et rapport du jury

Conception : EDHEC BS

MATHÉMATIQUES APPROFONDIES

FILIÈRE ÉCONOMIQUE ET COMMERCIALE

• 1.(a) Dresser le tableau de variations de g, limites comprises.
  • (b)En déduire que la suite ((ln(k))/k)_(k ≥ 3) est décroissante puis que :
    ∀k ≥ 4, (ln(k))/k ≤ (ln(2))/2
• 2.(a) Justifier que f_n est dérivable sur ]n, + ∞[ et donner l'expression de f_n^′(x) pour tout réel x > n.
  • (b)Montrer que pour tout réel t > 0, ln(t) ≤ t − 1.
    En déduire que f_n est strictement décroissante sur ]n, + ∞[.
  • (c)Soit n un entier naturel supérieur ou égal à deux.
    Montrer que l'équation f_n(x) = 0, d'inconnue x ∈ [n + 1, n + 2], admet une unique solution, que l'on note x_n.
• 3.Montrer l'équivalent suivant : x_n ∼ _(+ ∞)n.

4. (a) Justifier que :

• (b)Déterminer lim_(n → + ∞)(ln(x_n))/(x_n) et en déduire que lim_(n → + ∞)(x_n − n) = 1.

5. On considère la suite (u_n)_(n ≥ 2) définie par : ∀n ≥ 2, u_n = x_n − n − 1.

• (a)Justifier que :
  ln(1 + u_n) ∼ _(+ ∞)u_n et ln(1 + n + u_n) ∼ _(+ ∞)ln(n)
• (b)Avec la question 4.(a), montrer alors que :
  u_n ∼ _(+ ∞)(ln(n))/n

6. Déterminer la nature des séries de termes généraux u_n et u_n^2.

Exercice 2.

1. Soit F un sous-espace vectoriel de E et p la projection orthogonale sur F.

• (a)Montrer l'inclusion suivante :
  F ⊂ {x ∈ E, ‖p(x)‖ = ‖x‖}
• (b)Montrer que pour tout x ∈ E, ‖x‖^2 = ‖x − p(x)‖^2 + ‖p(x)‖^2.
• (c)En déduire que :
  F = {x ∈ E, ‖p(x)‖ = ‖x‖}
  et que pour tout x ∈ E, ‖p(x)‖ ≤ ‖x‖.

• (a)Montrer que F_1 ∩ F_2 ⊂ F_3.
• (b)Soit x un vecteur de F_3. En utilisant la question 1.(c), montrer que :
  ‖x‖ ≤ ‖p_2(x)‖
  En déduire que x appartient à F_2 puis montrer que x appartient à F_1.
• (c)Qu'en déduit-on pour les sous-espaces vectoriels F_1 ∩ F_2 et F_3 ?
• (d)Justifier que pour tout (x, y) ∈ E^2,
  ⟨p_3(x), y⟩ = ⟨x, p_3(y)⟩
  et en déduire l'égalité suivante :
  ⟨p_1 ∘ p_2(x), y⟩ = ⟨p_2 ∘ p_1(x), y⟩
• (e)Montrer alors que p_1 ∘ p_2 = p_2 ∘ p_1.

3. On suppose dans cette question que p_1 ∘ p_2 = p_2 ∘ p_1 et on pose p = p_1 ∘ p_2.

• (a)Montrer que p est un projecteur de E.
• (b)Montrer que p est un endomorphisme symétrique de E.
• (c)En déduire que p_1 ∘ p_2 est une projection orthogonale sur un sous-espace vectoriel à préciser.

4. Énoncer précisément le résultat démontré dans les questions 2 et 3.

Exercice 3.

• 1.Montrer que f peut être considérée comme une densité.

• 2.Déterminer, pour tout réel x, l'expression de F(x).
• 3.Rappeler l'expression d'une densité d'une variable aléatoire suivant la loi normale N(0, 1/2).
• 4.En déduire que X admet une espérance et calculer celle-ci.

• 5.Pour tout réel positif x, exprimer G(x) en fonction de F et de x. En déduire que Z suit une loi exponentielle de paramètre 1.
• 6.En déduire que X admet une variance et donner sa valeur.
• 7.On souhaite dans cette question simuler la variable X à l'aide de Python. On considère importées les bibliothèques numpy et numpy.random de la manière suivante :

import numpy as np
import numpy.random as rd

def simulX(n):
    M=np.zeros(n) # Matrice ligne de taille n constituée de 0
    for i in range(n):
        ...
    return M

• 8.Montrer que h peut être considérée comme une densité.
  On considère dans la suite une variable aléatoire Y telle que Y(Ω) = [0, 1], de densité h, et on note H sa fonction de répartition.
• 9.Déterminer pour tout réel x, l'expression de H(x).
  On considère maintenant une suite (Y_n)_(n ≥ 1) de variables aléatoires, toutes définies sur (Ω, A, P), mutuellement indépendantes et qui suivent toutes la même loi que Y.
  On définit alors, pour n ∈ ℕ^∗, M_n = max{Y_1, …, Y_n} et on admet que M_n est elle aussi une variable aléatoire définie sur (Ω, A, P).
  On pose pour finir T_n = √n(M_n − 1).
• 10.On note, pour n ∈ ℕ^∗, F_n la fonction de répartition de T_n. Montrer que :
  ∀x ∈ ℝ, F_n(x) = [H(1 + x/(√n))]^n
• 11.Déterminer, pour tout réel y, lim_(n → + ∞)(1 + y/n)^n.
• 12.En déduire que la suite de variables aléatoires (T_n)_(n ≥ 1) converge en loi vers X.

Problème

Les parties 3 et 4 sont totalement indépendantes.

Partie 1.

• 1.
  Justifier que pour tout entier naturel n, B_n = ∏_(k = 1)^n(k + n)/(4k).
  Compléter alors le code de la fonction Python B, prenant en entrée un entier naturel n, et qui renvoie la valeur de B_n.

  def B(n):
      P=...
      for k in range(....):
          P=....
      return P
  

Partie 2.

• 2.Calculer W_0 et W_1.
• 3.Montrer que (W_n)_(n ≥ 0) est décroissante.
• 4.Montrer que pour tout entier naturel n, W_(n + 2) = (n + 1)/(n + 2)W_n.
• 5.En déduire que pour tout entier naturel n, on a :
  W_(2n) = π/2B_n et W_(2n + 1) = 1/((2n + 1)B_n)
• 6.Montrer que pour n ∈ ℕ^∗, on a W_(2n − 1) = 1/(2nB_n).
• 7.En déduire que pour n ∈ ℕ^∗, on a :
  1/((2n + 1)B_n) ≤ π/2B_n ≤ 1/(2nB_n)
  puis :
  1/(√π√(n + 1)) ≤ B_n ≤ 1/(√π√n)
• 8.En déduire un équivalent de B_n quand n tend vers + ∞.

Partie 3.

• 9.Soit n ∈ ℕ^∗.
  • (a)Déterminer, pour k ∈ ℕ^∗, la loi de la variable aléatoire Y_k définie par : Y_k = (X_k + 1)/2.
    On précisera son espérance et sa variance.
  • (b)En déduire la loi de la variable T_n définie par : T_n = n/2 + 1/2∑_(k = 1)^n X_k.
  • (c)Montrer que S_n(Ω) = {2j − n, j ∈ [ [0; n] ]} et déterminer la loi de S_n.
• 10.Soit n ∈ ℕ^∗.
  On définit la variable aléatoire R_n comme étant le cardinal de l'ensemble {k ∈ [ [1; 2n] ], S_k = 0}.
  Autrement dit, pour ω ∈ Ω, R_n(ω) est égal au nombre d'entiers k ∈ [ [1; 2n] ] tels que S_k(ω) = 0.
  • (a)Justifier que :
    R_n = Card({k ∈ [ [1; n] ], S_(2k) = 0})
  • (b)Soit k ∈ ℕ^∗. Montrer que P(S_(2k) = 0) = B_k.
  • (c)On rappelle que si A est un évènement, la fonction indicatrice de A, notée 1_A, définie de Ω dans ℝ, est définie par 1_A(ω) = 1 si ω ∈ A et 1_A(ω) = 0 sinon.
    On pose pour tout entier k ∈ [ [1; n] ], A_k = (S_(2k) = 0). Donner une expression de R_n à l'aide des fonctions indicatrices des évènements A_k.

• • (d)En déduire que l'espérance de R_n est donnée par la formule :
    E(R_n) = ∑_(k = 1)^n B_k
• 11.Soit k ∈ ℕ^∗. Montrer que :
  2(√(k + 1) − √k) ≤ 1/(√k) ≤ 2(√k − √(k − 1))
• 12.En déduire alors, à l'aide de la partie 2 , puis par sommation, un équivalent de l'espérance de R_n quand n tend vers + ∞.

Partie 4.

• 13.(a) Montrer que :
  1/(((2n)/n)) ∼ _(+ ∞)(√(nπ))/(4^n)
  • (b)En déduire que pour tout réel x ∈ [0, 4[, la série ∑_(n ≥ 1)(x^n)/(((2n)/n)) converge.

• 14.Justifier que f est croissante sur [ 0,4 [.
  On admet dans la suite que f est continue sur ]0, 4[.
• 15.(a) Montrer que pour tout x ∈ [0, 4[ et tout entier naturel n ≥ 1,
  √π(x/4)^n ≤ (x^n)/(((2n)/n)) ≤ √π(n + 1)(x/4)^n
  • (b)En déduire que :
    ∀x ∈ [0, 4[, √πx/(4 − x) ≤ f(x) ≤ √π(x/4 × 1/((1 − x/4)^2) + x/(4 − x))
    Déterminer alors les limites de f en 0^+et 4^−. Qu'en déduit-on pour f en 0 ?
• 16.Montrer que pour tout réel x ∈ [0, 4[, f(x) ≥ x/2.
• 17.On admet que :
  f(x) = x/2 + o(x)
  En utilisant tous les résultats précédents, tracer l'allure précise de la courbe de la fonction f.