Ecricome Maths approfondies ECG 2026Sujet, corrigé et rapport du jury

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(2) •

Mathématiques Approfondies

Série ECG

INSTRUCTIONS

Exercice 1

• 1.(a) Montrer que ∫_0^1(1 − e^(− t))/t dt converge.
  • (b)Montrer que ∫_1^(+ ∞)(e^(− t))/t dt converge.
• 2.(a) Soit a un réel strictement positif, montrer que ∫_0^(+ ∞)(e^(− t) − e^(− at))/t dt converge.
  • (b)Que dire de la nature de ∫_0^(+ ∞)(e^(− t) − e^(− at))/t dt pour a un réel négatif ou nul? Justifier votre réponse.

• 3.Soit x un réel strictement positif.
  • (a)Prouver que ∫_0^x(e^(− t) − e^(− at))/t dt = ln(a) − ∫_x^(ax)(e^(− t))/t dt.
    Indication: On pourra remarquer que, pour tout réel t de ]0, x], e^(− t) − e^(− at) = (1 − e^(− at)) − (1 − e^(− t)).
  • (b)En déduire la valeur de G(a).
• 4.En effectuant le changement de variable u = e^(− t) dont on justifiera la validité, prouver l'existence et déterminer la valeur de ∫_0^1(u − 1)/(ln(u))du.
• 5.Soit f : u ⟼ {(u − 1)/(ln(u)), si u ∈ ]0, 1[; u, si u ∈ {0, 1}.
  On admet que f est continue sur [0, 1].
  • (a)Soit φ une fonction continue sur [0,1]. Que vaut lim_(n → + ∞)1/n∑_(k = 0)^(n − 1)φ(k/n) ?
  • (b)Écrire une fonction, nommée Rect, en langage Python, qui prend en argument un entier n non nul et renvoie la valeur de 1/n∑_(k = 0)^(n − 1)f(k/n).
  • (c)
    Les bibliothèques suivantes sont importées comme suit :

    import numpy as np
    import numpy.random as rd
    

    Expliquer ce que renvoie la fonction suivante :

def prog(n):
    s=0
    U=rd.random(n)
    for k in range(n):
        if U[k]==0 or U[k]==1:
            s=s+U[k]
        else:
            s=s+(U[k]-1)/np.log(U[k])
    res=1/n*s
    return res

• (d)On a tracé ci-dessous en pointillés la suite obtenue par la méthode de la question 5b et en trait plein celle obtenue par la méthode de la question 5c.
  Laquelle des deux suites donne une meilleure approximation de ∫_0^1(u − 1)/(ln(u))du ?
  

  

Exercice 2

• 1.Soit A = (0, 0, − 2; 0, 5, 0; 0, 0, 12).
  • (a)Déterminer le spectre de A.
  • (b)Justifier que A est diagonalisable.
  • (c)Déterminer une matrice V de ℳ_3(ℝ) inversible et une matrice D de ℳ_3(ℝ) diagonale telles que A = VDV^(− 1). On ordonnera les coefficients diagonaux de D dans l'ordre croissant. On ne demande pas le calcul de V^(− 1).

• 2.(a) Calculer φ(P_0), φ(P_1), φ(P_k) pour tout entier naturel k de [ [2, n] ].
  • (b)Déterminer le degré et le coefficient dominant de φ(P) pour tout polynôme unitaire P de degré d où d est inférieur ou égal à n.
• 3.(a) Montrer que φ est un endomorphisme de ℝ_n[x].
  • (b)Écrire la matrice de φ dans la base canonique de ℝ_n[x].
  • (c)Montrer que, pour tout entier k de [ [0, n] ], R_k[x] est stable par φ.
  • (d)On considère l'endomorphisme Ψ : ℝ_2[x] → ℝ_2[x] défini par Ψ(P)(x) = (x^2 − 1)P^(′′)(x) + 5xP^′(x).
    Écrire la matrice de Ψ dans la base canonique de ℝ_2[x].
• 4.(a) Justifier que Sp(φ) = {k(k + 4), k ∈ [ [0, n] ]}.
  • (b)Montrer que φ admet n + 1 valeurs propres deux à deux distinctes.
    Indication : On pourra étudier la fonction x ↦ x(x + 4).
  • (c)Que peut-on en déduire sur φ ?
  • (d)Montrer que, pour tout entier naturel k de [ [0, n] ], il existe un unique polynôme unitaire noté G_k tel que
    E_(k(k + 4))(φ) = Vect(G_k).
  • (e)Que valent G_0 et G_1 ?
  • (f)Vérifier que G_2(x) = x^2 − 1/6.
  • (g)Montrer que, pour tout entier naturel k de [ [0, n] ], le degré de G_k est k.

• 5.Soit k un entier naturel de [ [0, n] ].
  Soit P un vecteur propre de φ associé à la valeur propre k(k + 4).
  Notons Q le polynôme P(− x).
  • (a)Donner l'expression de Q^′ et de Q^(′′) à l'aide de P^′ et de P^(′′).
  • (b)Montrer que Q est un vecteur propre de φ associé à la valeur propre k(k + 4).
  • (c)En déduire la parité du polynôme G_k en fonction de k.
• 6.Pour tout couple (P, Q) de polynômes de ℝ_n[x], on pose ⟨P, Q⟩ = ∫_(− 1)^1 P(t)Q(t)(1 − t^2)^(3/2) dt.
  Montrer que ⟨, ⟩estunproduitscalairesurℝ_n[x].

• 7.(a) À l'aide du changement de variable t = sin(s) dont on justifiera la validité, montrer que
  ∫_(− 1)^1(1 − t^2)^(3/2) dt = ∫_(− π/2)^(π/2)cos^4(s)ds.
  • (b)Montrer que, pour tout réel s, cos^4(s) = 1/8(cos(4s) + 4cos(2s) + 3).
  • (c)En déduire la valeur de ‖G_0‖^2.
• 8.(a) Soit P ∈ ℝ_n[x]. Déterminer la dérivée de la fonction t ↦ P^′(t)(1 − t^2)^(5/2).
  • (b)Soit (P, Q) un couple de polynômes de ℝ_n[x].
    Montrer que ⟨φ(P), Q⟩ = ∫_(− 1)^1 P^′(t)Q^′(t)(1 − t^2)^(5/2) dt.
  • (c)Que peut-on en déduire sur l'endomorphisme φ ?
  • (d)Justifier que, pour tout entier naturel k de [ [1, n] ], la famille (G_0, …, G_k) est une base orthogonale de ℝ_k[x].
  • (e)En déduire que, pour tout entier naturel k de [ [1, n] ], G_k est orthogonal à tout élément de ℝ_(k − 1)[x].
• 9.(a) Vérifier que, pour tout triplet (P, Q, R) de polynômes de ℝ_n[x], ⟨PQ, R⟩ = ⟨P, QR⟩.
  • (b)Justifier que, pour tout polynôme P de ℝ_n[x] de degré d, P = ∑_(i = 0)^d(⟨P, G_i⟩)/(‖G_i‖^2)G_i.
  • (c)Soit k un entier de [ [1, n − 1] ].
    Montrer qu'il existe un unique triplet de réels (α_k, β_k, γ_k) tel que
    ∀x ∈ ℝ, xG_k(x) = α_k G_(k + 1)(x) + β_k G_k(x) + γ_k G_(k − 1)(x)
  • (d)Montrer que α_k = 1 et β_k = 0.
    Indication : On pourra exploiter les résultats des questions 4d et 5c.
    On admet que γ_k = (k(k + 3))/(4(k + 2)(k + 1)).
  • (e)Déterminer G_3.
• 10.
  En Python, on représente un polynôme de ℝ_n[x] par le tableau numpy de taille n + 1 de ses coefficients suivant les puissances croissantes. Ainsi le polynôme P(x) = x^2 + 2x + 3 est représenté par le tableau de taille n + 1 [3, 2, 1, 0, ⋯, 0].
  On suppose que la bibliothèque numpy est importée comme suit :

  import numpy as np
  

  • (a)
    Compléter la fonction Python suivante afin qu'elle renvoie le tableau correspondant au polynôme xP.

    def Prod(P,n):
        Q=np.zeros(n+1)
        for k in range(...):
            ....
        return Q
    

  • (b)Écrire une fonction, en langage Python, nommée VP qui prend en argument n et un entier naturel k et qui renvoie le tableau numpy associé à G_k.

Problème

Partie I

• 1.(a) Soit x un réel de ]0, 1[.
  Rappeler la valeur de ∑_(k = 1)^r x^k.
  • (b)Soit x un réel de ]0, 1 [.
    Simplifier (1 − x)^2∑_(k = 1)^r kx^(k − 1) et en déduire la valeur de ∑_(k = 1)^r kx^(k − 1).
  • (c)Rappeler la loi de Y, son espérance et sa variance.
  • (d)Vérifier que ℙ(Y > r) = (1/(d + 1))^r.
• 2.On admet que X possède une espérance.
  • (a)Déterminer E(X|[Y > r]).
  • (b)Pour tout entier naturel i de [ [1, r] ], justifier que E(X|[Y = i]) = i + E(X).
• 3.(a) Montrer que E(X) = ∑_(i = 1)^r iℙ(Y = i) + E(X)(1 − ℙ(Y > r)) + rℙ(Y > r).
  • (b)En déduire que E(X) = 1/d((d + 1)^(r + 1) − d − 1).

Partie II

• 4.Pour tout entier naturel n non nul, rappeler la loi de la variable aléatoire U_n et déterminer son espérance.
• 5.(a) Donner S_2(Ω).
  • (b)Montrer que, pour tout entier naturel k de S_2(Ω), ℙ(S_2 = k) = ∑_(i = 0)^d ℙ(U_1 = i)ℙ(U_2 = k − i).
  • (c)Montrer que, pour tout entier naturel k de S_2(Ω), ℙ(S_2 = k) = {(k + 1)/((d + 1)^2), si 0 ⩽ k < d; (2d + 1 − k)/((d + 1)^2), si k ⩾ d
  • (d)Déterminer ℙ(S_2 ⩾ d).

6. Soit T la variable aléatoire égale au plus petit entier naturel n non nul tel que S_n ⩾ d.
   Les bibliothèques suivantes sont importées comme suit :

import numpy as np
import numpy.random as rd
import matplotlib.pyplot as plt

• (a)Écrire une fonction, en langage Python, nommée Atteinte qui prend en entrée l'entier d, simule l'expérience et qui renvoie le plus petit entier naturel n non nul tel que S_n ⩾ d.
• (b)On admet que T admet une espérance.
  Recopier et compléter la fonction, en langage Python, nommée EspT, qui prend en entrée deux entiers naturels d et N et qui renvoie une valeur approchée de l'espérance de T.
  Quel théorème utilisez-vous à travers cette fonction ?

def EspT(d,N):
    E=0
    for k in range (N):
        E = . . .
    return 1/N*E

nbv=250
D=[i+2 for i in range(nbv)]
Esp=[EspT(d,10000) for d in D]
plt.plot(D,Esp,'+')
plt.plot([0,2+nbv],[np.exp(1),np.exp(1)])
plt.show()

Que pouvez-vous conjecturer à l'aide de cette figure ?

On admet que, pour tout entier naturel n non nul, ℙ(T ⩾ n) = (((n + d − 2)/(n − 1)))/((d + 1)^(n − 1)).

• 7.Soit V une variable aléatoire telle que V(Ω) ⊂ IN et ∑_(n ⩾ 1)ℙ(V ⩾ n) converge.
  • (a)Montrer que, pour tout entier naturel N non nul, ∑_(n = 1)^N ℙ(V ⩾ n) = ∑_(i = 1)^N iℙ(V = i) + Nℙ(V ⩾ N + 1).
  • (b)Montrer que V admet une espérance.
  • (c)Montrer que lim_(N → + ∞)Nℙ(V ⩾ N + 1) = 0.
  • (d)Montrer que E(V) = ∑_(n = 1)^(+ ∞)ℙ(V ⩾ n).
• 8.Soit r un entier naturel et h la fonction définie sur [0, 1/2] par
  ∀t ∈ [0, 1/2], h(t) = (r!)/((1 − t)^(r + 1)).
  • (a)Justifier que h est de classe 𝒞^∞ sur [0, 1/2] et, pour tout entier naturel k, déterminer h^((k)), la dérivée k^(ème) de h.
  • (b)Montrer que, pour tout entier naturel n non nul et pour tout réel x de [0, 1/2], |∫_0^x((x − t)^(n − 1))/((1 − t)^(r + n + 1)) dt| ⩽ 2^(r + n + 1)(x^n)/n.
  • (c)Soit x un réel de [0, 1/2[.
    À l'aide de la formule de Taylor avec reste intégral, montrer que la série ∑_(n ⩾ 0)(n + r)…(n + 1)x^n converge et
    ∑_(n = 0)^(+ ∞)(n + r)…(n + 1)x^n = (r!)/((1 − x)^(r + 1)).
  • (d)En déduire que T admet une espérance et vérifier que E(T) = ((d + 1)/d)^d.
  • (e)Déterminer, si elle existe, la limite de E(T) quand d tend vers + ∞.

Partie III

• 9.(a) Rappeler une densité de S_1, son espérance et sa variance.
  • (b)Justifier que, pour tout réel x de ] − ∞, 0[ ∪ [2d, + ∞[, f_2(x) = 0.
  • (c)Montrer que, pour tout réel x de [0, d], f_2(x) = ∫_0^x 1/(d^2) dt.
  • (d)En déduire une expression de f_2(x) pour tout réel x.
• 10.Soit n un entier naturel non nul.
  On suppose que f_n est définie sur ℝ et vérifie
  ∀x ∈ ] − ∞, 0[, f_n(x) = 0,; et ∀x ∈ [0, d], f_n(x) = (x^(n − 1))/((n − 1)!d^n).
  • (a)Justifier que, pour tout réel x de ] − ∞, 0[, f_(n + 1)(x) = 0.
  • (b)Montrer que, pour tout réel x de [0, d], f_(n + 1)(x) = (x^n)/(n!d^(n + 1)).

11. Montrer que, pour tout entier naturel n non nul, ℙ(S_n < d) = 1/(n!).
12. On considère la variable aléatoire T définie par :

• • (a)Que vaut ℙ(T = 1) ?
  • (b)Exprimer, pour tout entier naturel n non nul, [T > n] en fonction de [S_n < d].
  • (c)Établir l'existence de l'espérance E(T) et calculer E(T).