BCE Maths approfondies emlyon ECG 2026Sujet, corrigé et rapport du jury

Épreuve de maths approfondies - ECG 2026

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Source : document officiel du concours. Notes publiées par le concours (après harmonisation le cas échéant). Courbe : estimation par une loi normale.

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Annale de maths approfondies BCE emlyon pour la filière ECG, session 2026.

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Code sujet : 295

Conception : emLyon bs
MATHÉMATIQUES APPROFONDIES
FILIÈRE ÉCONOMIQUE ET COMMERCIALE VOIE GÉNÉRALE

Mercredi 22 avril 2026 de 14h à 18h

La présentation, la lisibilité, l'orthographe, la qualité de la rédaction, la clarté et la précision des raisonnements entreront pour une part importante dans l'appréciation des copies.
Les candidats sont invités à encadrer dans la mesure du possible les résultats de leurs calculs.
Aucun document n'est autorisé. L'utilisation de toute calculatrice et de tout matériel électronique est interdite. Seule l'utilisation d'une règle graduée est autorisée.
Si au cours de l'épreuve, un candidat repère ce qui lui semble être une erreur d'énoncé, il la signalera sur sa copie et poursuivra sa composition en expliquant les raisons des initiatives qu'il sera amené à prendre.
Le sujet est composé de deux problèmes.

On suppose, pour toutes les questions en langage Python, les bibliothèques usuelles déjà importées sous leurs raccourcis habituels.
import numpy as np
import numpy.random as rd

Problème 1

Dans tout le problème,

n \in ℕ^*

est un entier fixé et

ℝ^n

est muni du produit scalaire usuel

⟨ \cdot | \cdot ⟩

et de la norme associée, notée

‖ \cdot ‖

. On utilise les mêmes notations pour le produit scalaire et la norme usuels de

ℳ_(n, 1)(ℝ)

. Si

A = (a_(i, j))_(1 ⩽ i, j ⩽ n) \in ℳ_n(ℝ)

, on rappelle que la trace de

A

est définie par

Tr(A) = \sum_(i = 1)^n a_(i, i).

Partie 1 - Un exemple
Dans cette partie et dans cette partie uniquement, on se place dans le cas où

n = 2

et où la matrice

A

est définie par

A = (1, 1; 1, 1).

On note

S_1

le cercle unité du plan

ℝ^2

, défini par :

S_1 = {(x, y) ∈ ℝ^2 : ‖(x, y)‖ = 1}

. On admet que

S_1

est un fermé borné.

1.Déterminer une matrice orthogonale $Q \in ℳ_2(ℝ)$ et une matrice diagonale $D \in ℳ_2(ℝ)$ , dont les coefficients diagonaux sont rangés dans l'ordre décroissant, telles que $A = QD^t Q$ .

On introduit alors la fonction

φ

définie sur l'ouvert

ℝ^2∖{(0, 0)}

par

∀(x, y) ∈ ℝ^2∖{(0, 0)}, φ(x, y) = (x/(√(x^2 + y^2)), y/(√(x^2 + y^2)))A(x/((√(x^2 + y^2))/(√(x^2 + y^2)))).

2.a. Montrer que :
$∀(x, y) ∈ ℝ^2∖{(0, 0)}, φ(x, y) = 1 + (2xy)/(x^2 + y^2).$
En déduire que $φ$ est de classe $𝒞^2$ sur $ℝ^2∖{(0, 0)}$ .
- b.Montrer que $φ$ admet une infinité de points critiques et les expliciter.
- c.Montrer que, pour tout $α \in ℝ^*$ et pour tout $(x, y) ∈ ℝ^2∖{(0, 0)}$ , on a $φ(αx, αy) = φ(x, y)$ .
- d.En déduire que $φ$ présente un maximum global sur $ℝ^2∖{(0, 0)}$ , puis préciser sa valeur et où ce maximum est atteint.

Partie 2 - Une inégalité sur la trace
3. Soient

m \in ℕ^*

un entier et

B = (b_(i, j))_(1 ⩽ i ⩽ n; 1 ⩽ j ⩽ m) \in ℳ_(n, m)(ℝ)

une matrice non nécessairement carrée.

- a.Expliciter, en fonction des coefficients de $B$ , les coefficients des matrices $^t BB$ et $B^t B$ .
- b.En déduire que $Tr(^t BB) = Tr(B^t B)$ .

On note

D = [0, 1]^n

et, pour tout

k ∈ [ [1, n] ], C_k = {(x_1, x_2, …, x_n) ∈ ℝ^n : ∑_(i = 1)^n x_i = k}

.
On admet que, pour tout

k \in [ [1, n] ]

, les ensembles

D

D \cap C_k

sont des ensembles fermés et bornés.

4.Représenter graphiquement, pour $n = 2$ , les ensembles $D, C_1$ et $C_2$ .

Soit

Λ = (λ_1, λ_2, \dots, λ_n) \in ℝ^n

non nul tel que

λ_1 ⩾ λ_2 ⩾ \dots ⩾ λ_n

. On considère la fonction

f_Λ

définie sur

D

par

\forall(x_1, x_2, \dots, x_n) \in D, f_Λ(x_1, x_2, \dots, x_n) = \sum_(i = 1)^n λ_i x_i.

5.Soit $k \in [ [1, n] ]$ . On suppose que $Λ \notin Vect((1, 1, \dots, 1))$ . Montrer que $f_Λ$ admet un maximum global sur $D$ sous la contrainte $C_k$ . Expliciter un point en lequel ce maximum est atteint.
6.Soit $π$ une projection de $ℝ^n$ dont on note $P = (p_(i, j))_(1 ⩽ i, j ⩽ n) \in ℳ_n(ℝ)$ la matrice dans la base canonique.
- a.Montrer que : $rg(P) = Tr(P)$ .
  On pourra commencer par écrire $ℝ^n = F \oplus G$ , pour $F$ et $G$ deux sous-espaces vectoriels de $ℝ^n$ à expliciter et déterminer la matrice de $π$ dans une base adaptée à cette décomposition.
- b.Montrer que, si $π$ est orthogonale, alors : $\forallx \in ℝ^n, ‖π(x)‖ ⩽ ‖x‖$ .
- c.Déduire de la question précédente que, si $π$ est orthogonale, alors : $\foralli \in [ [1, n] ], p_(i, i) \in [0, 1]$ .

Soient

r \in [ [1, n] ]

A \in ℳ_n(ℝ)

une matrice symétrique de rang

r

.
On fixe alors un entier

k ⩽ r

. Soit

M \in ℳ_(n, k)(ℝ)

une matrice dont les colonnes

C_1, \dots, C_k

forment une famille orthonormale de

ℳ_(n, 1)(ℝ)

. On cherche à choisir

M

de sorte à rendre maximale la quantité

Tr(^t MAM).

7.Justifier qu'il existe une matrice orthogonale $Q \in ℳ_n(ℝ)$ et une matrice diagonale $D \in ℳ_n(ℝ)$ dont les coefficients diagonaux sont rangés dans l'ordre décroissant $λ_1 ⩾ λ_2 ⩾ \dots ⩾ λ_n$ telles que
$A = QD^t Q.$

On notera dans la suite

Λ = (λ_1, λ_2, \dots, λ_n)

V_1, V_2, \dots, V_n

les colonnes de

Q

8.Calculer $^t MM$ .
9.On suppose dans cette question, et dans cette question uniquement, que, pour tout $i \in [ [1, n] ], λ_i = λ_1$ , c'est à dire que $Sp(A) = {λ_1}$ . Que dire de $Tr(^t MAM)$ dans ce cas ?
10.On suppose dans la suite que $A$ admet au moins deux valeurs propres distinctes. On pose alors $X = ^t QM \in ℳ_(n, k)(ℝ)$ et $P = X^t X$ .
- a.Montrer que $P$ est la matrice d'une projection orthogonale.
- b.Montrer que $Ker(P) = Ker(^t X)$ . En déduire que $rg(P) = k$ .
- c.Montrer que $Tr(^t MAM) = Tr(PD)$ .
  En déduire que
  $Tr(^t MAM) ⩽ max{f_Λ(x_1, x_1, …, x_n) : (x_1, x_2, …, x_n) ∈ D ∩ C_k}.$
- d.Conclure que, si pour tout $i \in [ [1, k] ]$ , on a $C_i = V_i$ , alors la quantité $Tr(^t MAM)$ est maximale.
- e.Commenter alors le résultat obtenu à la Question 2.d.

L'optimisation des inégalités de trace trouve des applications dans des problèmes d'analyse de données (appelés problèmes de régression) ou autres problèmes d'approximation matricielle.

Problème 2

Dans tout le problème, on considère que les variables aléatoires sont toutes définies sur le même espace probabilisé

(Ω, 𝒜, P)

qu'on ne cherchera pas à expliciter. Si

Y

est une variable aléatoire définie sur

Ω

, on note respectivement (en cas d'existence)

E(Y)

V(Y)

l'espérance et la variance de

Y

Partie 1 - Des résultats préliminaires
Les quatre questions de cette partie sont indépendantes. On démontre, dans chacune de ces questions, un résultat qui sera utilisé dans la Partie 2. On pourra, si besoin, admettre ces résultats.

1.Soit $W$ une variable aléatoire discrète à valeurs entières. On introduit la fonction $G_W$ , définie sur [0,1], par
$\forallt \in [0, 1], G_W(t) = \sum_(n = 0)^(+ \infty)P(W = n)t^n.$
- a.Justifier que $G_W$ est bien définie sur [0, 1].
- b.Montrer que $G_W$ est croissante sur [0, 1].
- c.En déduire l'existence d'un réel $ℓ$ tel que $lim_(t \to 1^-)G_W(t) = ℓ$ .
- d.Montrer que :
  $\forallm \in ℕ^*, \forallt \in [0, 1[, \sum_(n = 0)^m P(W = n)t^n ⩽ G_W(t) ⩽ G_W(1),$
  puis que :
  $\forallm \in ℕ^*, \sum_(n = 0)^m P(W = n) ⩽ ℓ ⩽ G_W(1).$
- e.En déduire que $G_W$ est continue en 1.
- f.Justifier que, pour tout $t \in [0, 1[$ , la série $\sum_(n ⩾ 1)nP(W = n)t^(n - 1)$ est convergente.
  On admet que $G_W$ est de classe $C^1$ sur [0, 1[ et que, pour tout $t \in [0, 1[$ :
  $G_W^'(t) = \sum_(n = 1)^(+ \infty)nP(W = n)t^(n - 1)$

Soit $(A_n)_(n ⩾ 1)$ une suite d'évènements mutuellement indépendants.

- a.Montrer que, pour tout $x \in ℝ$ , on a $1 - x ⩽ exp(- x)$ .
- b.Montrer que, pour tous entiers $m, n$ vérifiant $1 ⩽ n ⩽ m$ , on a:
  $P(⋃_(k = n)^m A_k) ⩾ 1 - exp(- \sum_(k = n)^m P(A_k)).$
- c.On suppose que la série $\sum_(n ⩾ 1)P(A_n)$ diverge.
  Montrer que
  $P(⋂_(n ⩾ 1)⋃_(k ⩾ n)A_k) = 1.$

On vient de montrer que dans le cas où la série $\sum_(n ⩾ 1)P(A_n)$ diverge, alors la probabilité qu'une infinité de ces évènements se réalisent simultanément est égale à 1.
3.Soit $(W_i)_(i ⩾ 1)$ une suite de variables aléatoires discrètes mutuellement indépendantes de même loi. Pour tout $n \in ℕ^*$ et tout $k \in ℕ^*$ , on introduit les vecteurs aléatoires $U_n$ et $V_(n, k)$ définis par
$U_n = (W_1, W_1 + W_2, \dots, \sum_(i = 1)^n W_i), et V_(n, k) = (W_k, W_k + W_(k + 1), \dots, \sum_(i = k)^(n - 1 + k)W_i).$
Montrer que :
$\foralln \in ℕ^*, \forallk \in ℕ^*, \forall(j_1, \dots, j_n) \in ℝ^n, P(U_n = (j_1, j_2, \dots, j_n)) = P(V_(n, k) = (j_1, j_2, \dots, j_n)).$
On admet qu'on vient de montrer que, pour tous $n \in ℕ^*$ et $k \in ℕ^*, U_n$ et $V_(n, k)$ sont des vecteurs aléatoires de même loi.
4.On considère deux séries convergentes, à termes positifs, $\sum_(n ⩾ 1)a_n$ et $\sum_(n ⩾ 0)b_n$ .
Pour tout $n \in ℕ^*$ , on pose $c_n = \sum_(k = 1)^n a_k b_(n - k)$ .
- a.Montrer que, pour tout $n \in ℕ^*$ , on a : $\sum_(k = 1)^n c_k ⩽ (\sum_(i = 1)^n a_i)(\sum_(j = 0)^n b_j) ⩽ \sum_(k = 1)^(2n)c_k$ .
- b.En déduire la convergence de la série $\sum_(k ⩾ 1)c_k$ et qu'on a de plus : $\sum_(k = 1)^(+ \infty)c_k = (\sum_(i = 1)^(+ \infty)a_i)(\sum_(j = 0)^(+ \infty)b_j)$ .

Partie 2 - Une marche aléatoire

On considère une suite

(X_n)_(n ⩾ 1)

de variables aléatoires indépendantes de même loi, telles que, pour tout

n ⩾ 1, X_n(Ω) = { − 1, 1}

P(X_n = 1) = P(X_n = - 1) = 1/2.

On introduit alors

S_0 = 0

et, pour tout

n \in ℕ^*, S_n = \sum_(k = 1)^n X_k

.
La suite

(S_n)_(n ⩾ 0)

est appelée marche aléatoire ; pour tout

n \in ℕ^*, S_n

prend pour valeur la position (sur un axe gradué) d'un marcheur après

n

déplacements aléatoires vers la gauche ou vers la droite en partant de l'origine.

5.a. Déterminer, pour tout $n ⩾ 1, E(X_n)$ et $V(X_n)$ .
- b.En déduire, pour tout $n ⩾ 1$ , les valeurs de $E(S_n)$ et $V(S_n)$ .
6.Montrer que la suite de variables aléatoires $((S_n)/n)_(n ⩾ 1)$ converge en probabilité vers une variable aléatoire certaine dont on précisera la valeur.
7.Simulations sous Python.
- a.Écrire une fonction d'en-tête def simul_X() : qui renvoie une simulation de $X_1$ .

- b.En déduire l'écriture d'une fonction d'en-tête def simul_S(n) : qui prend un argument $n$ entier et renvoie une simulation de $S_n$ .
8.Vérifier que, pour tout $n \in ℕ$ , on a : $S_n = 2\sum_(k = 1)^n(X_k + 1)/2 - n$ .
Quelle est la loi suivie, pour $k \in ℕ^*$ , par la variable aléatoire $(X_k + 1)/2$ ?
9.Soient $n \in ℕ^*$ et $i \in [ [ - n, n] ]$ .
- a.Justifier que, si $i$ et $n$ n'ont pas la même parité, alors $P(S_n = i) = 0$ .
- b.Montrer que, si $i$ a la même parité que $n$ , alors $P(S_n = i) = (n/((n + i)/2))(1/2)^n$ .
10.On admet la formule de Stirling : $n! \sim _(n \to + \infty)\sqrt(2πn)(n/e)^n$ .
- a.Montrer que $P(S_(2n) = 0) \sim _(n \to + \infty)1/(\sqrt(πn))$ .
- b.Conclure, à l'aide de la Question 2.c., que, presque sûrement, la marche aléatoire passe une infinité de fois par 0.

On note

T

la variable aléatoire qui vaut -1 si, pour tout

n \in ℕ^*, [S_n ⩽ 0]

est réalisé, ou sinon, qui prend la valeur du plus petit entier

n ⩾ 1

pour lequel [

S_n > 0

] est réalisé. En particulier,

P(T = 0) = 0

11.a. Calculer $P(T = 1)$ .
- b.Soit $n ⩾ 2$ . Expliquer de manière succincte l'égalité : $[T = n] = (⋂_(j = 1)^(n - 1)[S_j ⩽ 0]) \cap [S_n = 1]$ .
- c.Montrer que, pour tout entier naturel $n$ pair, $P(T = n) = 0$ .
12.On introduit, pour tout $k \in ℕ^*$ , l'évènement
$R_k = [S_1 = - 1] \cap (⋂_(j = 2)^k[S_j ⩽ - 1]) \cap [S_(k + 1) = 0].$
- a.Expliquer par une phrase claire et rigoureuse ce que signifie la réalisation de l'évènement $R_k$ .
- b.Montrer que :
  $\forallk \in ℕ^*, P(R_k) = 1/2P(T = k).$
  On pourra utiliser le résultat de la Question 3.
- c.Montrer que, pour tout $n \in ℕ^*$ ,
  $P(T = n + 1) = \sum_(k = 1)^(n - 1)P(R_k \cap (⋂_(j = k + 2)^n[S_j - S_(k + 1) ⩽ 0]) \cap [S_(n + 1) - S_(k + 1) = 1]).$
- d.Obtenir alors que, pour tout $n \in ℕ^*$ ,
  $P(T = n + 1) = 1/2\sum_(k = 1)^(n - 1)P(T = k)P(T = n - k) = 1/2\sum_(k = 1)^n P(T = k)P(T = n - k).$

13.a. Montrer, à l'aide de la question précédente et de la Question 4.b. que, pour tout $t \in [0, 1]$ , on a
$G_T(t)^2 = \sum_(n = 1)^(+ \infty)(\sum_(k = 1)^n P(T = k)P(T = n - k))t^n,$
où $G_T$ désigne la fonction associée à $T$ comme dans la Question 1. de la Partie 1.
- b.Montrer alors que, pour tout $t \in [0, 1] : tG_T(t)^2 = 2G_T(t) - t$ .
- c.En déduire que $G_T(1) = 1$ puis que $P(T = - 1) = 0$ .
  On vient de montrer que, presque sûrement, il existe un entier $n$ tel que $[S_n = 1]$ est réalisé.
- d.Montrer que : $lim_(t \to 1)G_T^'(t) = + \infty$ .
14.Simulations sous Python.
- a.Écrire une fonction d'en-tête def simul_T() : qui renvoie une simulation de $T$ .
- b.On ajoute les commandes ci-dessous dont l'exécution permet l'affichage ci-contre. Que peut-on conjecturer à propos de $T$ ? (On commencera par préciser ce que fait la fonction mystere.)
```
def mystere(N):
    ech=np.zeros(N)
    for k in range(N):
        ech[k]=simul_T()
    return np.mean(ech)
```
```
for k in range(7):
    print (mystere(1000))
```
Affichage Python
```
\ggg
67.88
1246.38
285.62
8181.62
31.36
4394.42
117.58
```
- c.Émettre une conjecture sur le lien entre l'existence éventuelle de l'espérance de $T$ et les propriétés de la fonction $G_T$ .

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